专题6　图形变化问题

数学

贵州专版2025第二部分

贵州中考专题突破专题六图形变化问题栏目导航折叠变化类型一旋转变化类型二例1折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题.数学活动课上，同学们以”矩形的折叠“为主题开展了数学活动.【操作】如图1，在矩形ABCD中，点M在边AD上，将矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，使点D落在点D'处，MD'与BC交于点N.折叠变化(8年2考：2022·25，2017·15)类型一典例精析典例精析【猜想】MN＝CN.【验证】请将下列证明过程补充完整：∵矩形纸片ABCD沿MC所在的直线折叠，∴∠CMD＝________________.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC(矩形的对边平行).∴∠CMD＝______________(________________________).∴________________＝______________(等量代换).∴MN＝CN(____________).∠CMD'∠MCN两直线平行，内错角相等∠CMD'∠MCN等角对等边【应用】如图2，继续将矩形纸片ABCD折叠，使AM恰好落在直线MD'上，点A落在点A'处，点B落在点B'处，折痕为ME.(1)猜想MN与EC的数量关系，并说明理由；解：EC＝2MN，理由如下：∵由四边形ABEM折叠得到四边形A'B'EM，∴∠AME＝∠A'ME.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC(矩形的对边平行).∴∠AME＝∠MEN(两直线平行，内错角相等).∴∠A'ME＝∠MEN.∴MN＝EN(等角对等边).∵MN＝CN，∴MN＝EN＝NC.又∵EC＝EN＋NC，∴EC＝2MN.第一步：根据折叠的性质得到∠AME＝∠A'ME；第二步：根据矩形的性质推出∠AME＝∠MEN，则∠A'ME＝∠MEN；第三步：根据等角对等边可得MN＝EN，结合MN＝CN即可得解.(2)若CD＝2，MD＝4，求EC的长.

第一步：根据矩形的性质、折叠的性质得出∠D＝∠D'＝90°，DC＝D'C＝2，MD＝MD'＝4；第二步：设MN＝NC＝x，则ND'＝4－x，根据勾股定理求解即可.

针对训练

(2)问题探究：如图2，当∠BAD＝45°，将△ABE沿BE翻折后，使EF∥BM，求∠ABE的度数，并求出此时m的最小值；

(3)拓展延伸：当∠BAD＝30°，将△ABE沿BE翻折后，若EF⊥AD，且AE＝MD，根据题意在备用图中画出图形，并求出m的值.

例2(2024枣庄)一副三角板分别记作△ABC和△DEF，其中∠ABC＝∠DEF＝90°，∠BAC＝45°，∠EDF＝30°，AC＝DE.作BM⊥AC于点M，EN⊥DF于点N，如图1.旋转变化(8年2考：2023·25，2020·25)类型二(1)求证：BM＝EN；

利用等腰直角三角形与含30°角的直角三角形的性质可得结论.(2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点C与点E重合记为C，点A与点D重合，将图2中的△DCF绕C按顺时针方向旋转α后，延长BM交直线DF于点P.①当α＝30°时，如图3，求证：四边形CNPM为正方形；证明：∵∠D＝30°，CN⊥DF，∴∠CND＝90°，∠DCN＝90°－30°＝60°.∵α＝∠ACD＝30°，∴∠ACN＝90°.∵BM⊥AC，∴∠PMC＝∠BMC＝90°.∴四边形CNPM为矩形.由(1)知BM＝EN，即BM＝CN，而BM＝CM，∴CM＝CN.∴四边形CNPM是正方形.第一步：证明∠CND＝90°，∠DCN＝90°－30°＝60°，可得∠ACN＝90°；第二步：证明∠PMC＝∠BMC＝90°，可得四边形CNPM为矩形；第三步：结合BM＝EN，即BM＝CN，而BM＝CM，可得CM＝CN，从而可得结论.②当30°＜α＜60°时，写出线段MP，DP，CD的数量关系，并证明；当60°＜α＜120°时，直接写出线段MP，DP，CD的数量关系.

2.(2023贵州25，12分)如图1，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形ABC中，CA＝CB，∠C＝90°，过点B作射线BD⊥AB，垂足为B，点P在CB上.针对训练(1)【动手操作】如图2，若点P在线段CB上，画出射线PA，并将射线PA绕点P逆时针旋转90°与BD交于点E，根据题意在图中画出图形，图中∠PBE的度数为_________度；解：画出图形如答图1.135

(2)【问题探究】根据(1)所画图形，探究线段PA与PE的数量关系，并说明理由；解：PA＝PE，理由如下：过点P作PM∥AB交AC于点M，如答图2，∴∠MPC＝∠ABC＝45°.∴△PCM是等腰直角三角形.∴CP＝CM，∠PMC＝45°.∴CA－CM＝CB－CP，即AM＝BP，∠AMP＝135°＝∠PBE.∵∠APE＝90°，∴∠EPB＝90°－∠AP