数学竞赛一试试题及答案

数学竞赛一试试题及答案姓名：____________________

一、多项选择题（每题2分，共20题）

1.下列数中，属于有理数的是：

A.$\sqrt{2}$

B.$-\frac{3}{4}$

C.$0.101010...$

D.$\pi$

2.若$a>b$且$c>d$，则以下哪个选项正确：

A.$a+c>b+d$

B.$a-c<b-d$

C.$ac>bd$

D.$a/c<b/d$

3.下列函数中，是奇函数的是：

A.$f(x)=x^2$

B.$f(x)=2x+1$

C.$f(x)=|x|$

D.$f(x)=x^3$

4.若$a,b,c$成等差数列，且$a+b+c=9$，则$abc$的值为：

A.27

B.18

C.12

D.6

5.已知等比数列$\{a_n\}$的第一项为$a_1$，公比为$q$，若$a_1+a_2+a_3=6$，$a_4=48$，则$q$的值为：

A.2

B.3

C.4

D.6

6.下列各数中，有最大值的是：

A.$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}$

B.$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$

C.$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}$

D.$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$

7.在$\triangleABC$中，$a=3$，$b=4$，$c=5$，则$\sinA$的值为：

A.$\frac{3}{5}$

B.$\frac{4}{5}$

C.$\frac{5}{4}$

D.$\frac{5}{3}$

8.若$x^2-3x+2=0$，则$x^3-3x^2+2x$的值为：

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.$4$

9.已知$a,b,c$成等比数列，若$a+b+c=12$，$abc=27$，则$a^2+b^2+c^2$的值为：

A.81

B.54

C.36

D.18

10.在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=6$，$c=7$，则$\cosA$的值为：

A.$\frac{5}{7}$

B.$\frac{6}{7}$

C.$\frac{7}{5}$

D.$\frac{7}{6}$

11.若$x^2-2x-3=0$，则$x^3-2x^2-3x$的值为：

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.$4$

12.下列各数中，有最小值的是：

A.$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}$

B.$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$

C.$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}$

D.$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$

13.已知等比数列$\{a_n\}$的第一项为$a_1$，公比为$q$，若$a_1+a_2+a_3=6$，$a_4=48$，则$q$的值为：

A.2

B.3

C.4

D.6

14.下列各数中，有最大值的是：

A.$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}$

B.$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$

C.$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}$

D.$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$

15.在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=6$，$c=7$，则$\cosB$的值为：

A.$\frac{5}{7}$

B.$\frac{6}{7}$

C.$\frac{7}{5}$

D.$\frac{7}{6}$

16.若$x^2-3x+2=0$，则$x^3-3x^2+2x$的值为：

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.$4$

17.已知$a,b,c$成等比数列，若$a+b+c=12$，$abc=27$，则$a^2+b^2+c^2$的值为：

A.81

B.54

C.36

D.18

18.在$\triangleABC$中，$a=5$，$b=6$，$c=7$，则$\cosC$的值为：

A.$\frac{5}{7}$

B.$\frac{6}{7}$

C.$\frac{7}{5}$

D.$\frac{7}{6}$

19.若$x^2-2x-3=0$，则$x^3-2x^2-3x$的值为：

A.$1$

B.$2$

C.$3$

D.$4$

20.下列各数中，有最小值的是：

A.$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{n}$

B.$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{n}$

C.$\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots+\frac{1}{n^2}$

D.$\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}$

二、判断题（每题2分，共10题）

1.平方根的定义中，被开方数必须大于等于0。（）

2.在等差数列中，任意两项之和等于它们中间项的两倍。（）

3.函数$y=\sqrt{x}$的定义域是$x\geq0$。（）

4.等比数列的通项公式为$a_n=a_1\cdotq^{n-1}$。（）

5.在直角三角形中，勾股定理成立。（）

6.函数$y=x^2$是偶函数。（）

7.若$a,b,c$成等差数列，则$a^2+b^2+c^2=3ab$。（）

8.在$\triangleABC$中，$a^2+b^2=c^2$，则$\triangleABC$是直角三角形。（）

9.函数$y=\frac{1}{x}$的图象是双曲线。（）

10.在实数范围内，任意两个实数的平方和都大于0。（）

三、简答题（每题5分，共4题）

1.简述等差数列和等比数列的性质，并举例说明。

2.请解释什么是函数的奇偶性，并举例说明。

3.如何判断一个三角形是否为直角三角形？请给出两种方法。

4.简述勾股定理的内容，并说明其在实际生活中的应用。

四、论述题（每题10分，共2题）

1.论述函数图像的变换规律，包括平移、伸缩、对称等变换，并举例说明这些变换对函数性质的影响。

2.论述勾股定理在解决实际问题中的应用，例如在建筑设计、工程测量、天文学等领域的重要性，并结合具体实例进行说明。

试卷答案如下：

一、多项选择题（每题2分，共20题）

1.B

解析思路：$\sqrt{2}$和$\pi$都是无理数，$0.101010...$是无限循环小数，因此是有理数。

2.A

解析思路：由不等式的性质，两边同时加上相同的数或乘以相同的正数，不等号的方向不变。

3.D

解析思路：奇函数满足$f(-x)=-f(x)$，$x^3$满足这一性质。

4.B

解析思路：等差数列中，中间项的两倍等于相邻两项之和，即$2b=a+c$。

5.A

解析思路：根据等比数列的通项公式和已知条件，列方程求解。

6.D

解析思路：调和级数大于等差级数，而等差级数大于几何级数。

7.A

解析思路：根据勾股定理，直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和。

8.A

解析思路：根据多项式除法，将$x^3$除以$x^2-3x+2$。

9.A

解析思路：根据等比数列的性质，$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2ab-2bc-2ca$。

10.B

解析思路：根据余弦定理，$\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$。

11.A

解析思路：根据多项式除法，将$x^3$除以$x^2-2x-3$。

12.B

解析思路：交错级数中，绝对值最大的项决定了级数的极限。

13.A

解析思路：根据等比数列的通项公式和已知条件，列方程求解。

14.D

解析思路：调和级数大于等差级数，而等差级数大于几何级数。

15.B

解析思路：根据余弦定理，$\cosB=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$。

16.A

解析思路：根据多项式除法，将$x^3$除以$x^2-3x+2$。

17.A

解析思路：根据等比数列的性质，$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-2ab-2bc-2ca$。

18.B

解析思路：根据余弦定理，$\cosC=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$。

19.A

解析思路：根据多项式除法，将$x^3$除以$x^2-2x-3$。

20.B

解析思路：交错级数中，绝对值最大的项决定了级数的极限。

二、判断题（每题2分，共10题）

1.×

解析思路：平方根的定义中，被开方数可以为负数，但结果为虚数。

2.√

解析思路：等差数列中，任意两项之和等于它们中间项的两倍，这是等差数列的定义。

3.√

解析思路：函数$y=\sqrt{x}$的定义域是$x\geq0$，因为负数的平方根在实数范围内没有意义。

4.√

解析思路：等比数列的通项公式为$a_n=a_1\cdotq^{n-1}$，这是等比数列的基本公式。

5.√

解析思路：勾股定理适用于所有直角三角形，即直角三角形的斜边平方等于两直角边平方和。

6.√

解析思路：偶函数满足$f(-x)=f(x)$，$x^2$满足这一性质。

7.×

解析思路：若$a,b,c$成等差数列，则$a^2+b^2+c^2=(a+b+c)^2-3ab$。

8.√

解析思路：根据勾股定理，若$a^2+b^2=c^2$，则$\triangleABC$是直角三角形。

9.√

解析思路：函数$y=\frac{1}{x}$的图象是双曲线，因为其满足双曲线的定义。

10.√

解析思路：在实数范围内，任意两个实数的平方和都大于0，因为实数的平方总是非负的。

三、简答题（每题5分，共4题）

1.等差数列的性质：等差数列中，任意两项之差是常数；等比数列的性质：等比数列中，任意两项之比是常数。例如，等差数列$1,4,7,10,\ldots$中，任意两项之差为3，等比数列$2,6,18,54,\ldots$中，任意两项之比为3。

2.函数的奇偶性：如果对于函数$f(x)$，满足$f(-x)=f(x)$，则称$f(x)$为偶函数；如果满足$f(-x)=-f(x)$，则称$f(x)$为奇函数。例如，$f(x)=x^2$是偶函数，因为$f(-x)=(-x)^2=x^2