2024北京一七一中高二（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京一七一中高二（下）期中数学（时长：120分钟总分值：150分）一、选择题共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（）A. B. C. D.2.的展开式中的系数是（）A.80 B. C.160 D.3.已知函数，其导函数的图象如图，则对于函数的描述正确的是A.在−∞,0上为减函数B.在处取得最大值C.在4,+∞上为减函数D.在处取得最小值4.设随机变量的概率分布列为1234则（）A. B. C. D.5.某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有（）A.种 B.种 C.种 D.种6.下列求导的运算中，正确的是（）A. B.C. D.7.设，若，则展开式中系数最大的项是（）A. B. C. D.8.函数，当x∈0,+∞时，恒成立，则的取值范围是（）A. B. C. D.9.已知双曲线（，）的左焦点为，右顶点为，过作的一条渐近线的垂线，为垂足．若，则的离心率为（）A. B. C. D.10.定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是（）A. B.C. D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分.11.已知的展开式的二项式系数之和为16，则___________；各项系数之和为___________.(用数字作答)12.已知双曲线的左右焦点分别为，，点，则双曲线的渐近线方程为__________；__________.13.已知函数的定义域为，，对任意，则的解集为____________．14.把5件不同产品摆成一排，若产品与产品相邻，且产品与产品不相邻，则不同的摆法有____________种.15.已知函数，.给出下列四个结论：①当时，函数有最小值；②，使得函数在区间上单调递增；③，使得函数没有最小值；④，使得方程有两个根且两根之和小于.其中所有正确结论的序号是___________.三、解答题共6题，共85分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知函数，若曲线在处的切线方程为.（1）求，的值；（2）求函数的单调区间和极值；（3）求函数在上的最大值、最小值.17.如图，在长方体中，，．（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）求点到平面的距离．18.某超市销售种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格（元/管）和市场份额（指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重）如下：牙膏品牌销售价格市场份额（1）从这种不同品牌的牙膏中随机抽取管，估计其销售价格低于元的概率；（2）依市场份额进行分层抽样，随机抽取管牙膏进行质检，其中和共抽取了管．①求的值；②从这管牙膏中随机抽取管进行氟含量检测．记为抽到品牌的牙膏数量，求的分布列和数学期望．（3）品牌的牙膏下月进入该超市销售，定价元/管，并占有一定市场份额．原有个品牌的牙膏销售价格不变，所占市场份额之比不变．设本月牙膏的平均销售价为每管元，下月牙膏的平均销售价为每管元，比较的大小．（只需写出结论）19.已知椭圆经过点，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设过点的直线与椭圆有两个不同的交点（均不与点重合），若以线段为直径的圆恒过点，求的值．20.已知函数,其中．（1）当时,求曲线在点处的切线方程;（2）当时,判断的零点个数,并加以证明;（3）当时,证明:存在实数m,使恒成立．21.已知项数为的有穷数列满足如下两个性质，则称数列具有性质P；①；②对任意的、，与至少有一个是数列中的项．（1）分别判断数列、、、和、、、是否具有性质，并说明理由；（2）若数列具有性质，求证：；（3）若数列具有性质，且不是等比数列，求的值．

参考答案一、选择题共10题，每题4分，共40分.在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.【答案】C【分析】根据准线方程为，可知抛物线的焦点在轴的正半轴，再设抛物线的标准形式为，根据准线方程求出的值，代入即可得到答案.【详解】由题意可知抛物线的焦点在轴的正半轴，设抛物线标准方程为：，∵抛物线的准线方程为，∴，∴，∴抛物线的标准方程为：，故选：C.【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程、抛物线的简单性质，属于基础题.2.【答案】A【分析】根据二项式展开式求解即可.【详解】展开式中x的项为.故选：A.3.【答案】C【详解】分析：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0，然后根据单调性与导数的关系以及极值的定义可进行判定即可．详解：根据函数f（x）的导函数f′（x）的图象可知：f′（0）=0，f′（2）=0，f′（4）=0当x＜0时，f′（x）＞0，f（x）递增；当0＜x2时，f′（x）＜0，f（x）递减；当2＜x＜4时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞4时，f′（x）＜0，f（x）递减．可知C正确，A错误；由极值的定义可知，f（x）在x=0处函数f（x）取到极大值，x=2处函数f（x）的极小值点，但极大值不一定为最大值，极小值不一定是最小值；可知B、D错误．故选C．点睛：由导函数图象推断原函数的性质，由f′（x）＞0得增区间，由f′（x）＜0得减区间，由f′（x）=0得到的不一定是极值点，需判断在此点左右f′（x）的符号是否发生改变.4.【答案】B【详解】试题分析：，故选B考点：概率分布5.【答案】C【分析】分四种情况，利用分类计数原理即可求出结果.【详解】从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选一种，有种，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选二种，有种，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选三种，有种，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药全选，有种，所以从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选一种，共有种，故选：C.6.【答案】A【分析】根据复合函数的导数公式逐个判断即可【详解】对A，，故A正确；对B，，故B错误；对C，，故C错误；对D，，故D错误；故选：A7.【答案】D【分析】利用二项展开式的基本定理确定的数值，再求展开式中系数最大的项．【详解】在中，令，得，令，得，；展开式中系数最大的项为．故选：D．8.【答案】C【分析】将当x∈0,+∞时，恒成立，转化为x∈0,+∞时恒成立，再令，用导数法求最小值即可.【详解】因为函数，当x∈0,+∞时，恒成立，所以x∈0,+∞时，恒成立，令，，当时，，当时，，所以当时取得最小值e.所以.故选：C【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.9.【答案】B【分析】首先利用，求点的坐标，再利用与渐近线垂直，构造关于的齐次方程，求离心率.【详解】由条件可知，，由对称性可设条件中的渐近线方程是，线段的中垂线方程是，与渐近线方程联立方程，解得，，即，因为与渐近线垂直，则，化简为，即，即，两边同时除以，得，解得：（舍）或.故选：B【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出，然后利用公式求解；2.公式法：，3.构造法：根据条件，可构造出的齐次方程，通过等式两边同时除以，进而得到关于的方程.10.【答案】D【分析】求出每个选项中函数，判断每个选项中方程是否有解，由此可得合适的选项.【详解】对于A选项，，则，由，即，，因此，存在“自足点”，A满足条件；对于B选项，，则，由，可得，其中，令，则，，所以，函数在上存在零点，即函数存在“自足点”，B选项满足条件；对于C选项，，则，其中，因为，故函数存在“自足点”，C选项满足条件；对于D选项，，则，由，可得，因为，，所以，，所以，方程无实解，D选项不满足条件.故选：D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5题，每题5分，共25分.11.【答案】①.4②.81【分析】根据二项式系数和的公式，求解；再根据赋值法求各项系数之和.【详解】展开式中的二项式系数的和是，所以，令，，即各项系数和为.故答案为：；12.【答案】①.②.【分析】根据双曲线的方程，求得半实轴a、半虚轴b的值，代入渐近线方程，即可求得答案；根据M点在双曲线的左支上，根据双曲线的定义，即可求得答案.【详解】因为双曲线，半实轴，半虚轴,所以渐近线方程为，即；因为满足双曲线方程，且在双曲线的左支上，根据双曲线的定义得，所以-2.故答案为：；-213.【答案】.【分析】构造，根据题意得到在为单调递增函数，又由，得到，进而得到时，，即可求解.【详解】设，可得，因为对任意，所以，所以在为单调递增函数，又由，可得，所以当时，，即不等式的解集为.故答案为：.14.【答案】36【详解】试题分析：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有种摆法，又当A、B相邻又满足A、C相邻，有种摆法，故满足条件的摆法有种.考点：排列组合，容易题.15.【答案】①②④【分析】利用函数的最值与单调性的关系可判断①③的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断②的正误；取，利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理可判断④的正误.【详解】对于①，当时，，则，由可得，由可得或，此时，函数的增区间为、，减区间为，当或时，，当时，，故函数在处取得最小值，①对；对于②，，令，其中，则，所以，函数在上单调递增，所以，，则，由可得，构造函数，其中，则，令，其中，则，所以，函数在上单调递减，故当时，，则，即在上单调递减，，则，解得，②对；对于③，，，因为函数在上单调递增，，，所以，存在，使得，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，对任意的实数，函数有最小值，③错；对于④，令，不妨令，即取，由③可知，函数在上单调递减，在上单调递增，因为，则，，所以，存在，使得，此时函数的零点之和为，④对.故答案为：①②④.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.三、解答题共6题，共85分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.【答案】（1）（2）答案见详解（3）【分析】（1）根据题意结合导数的几何意义可知，列式求解即可；（2）求导利用导数判断原函数的单调区间和极值.（3）利用导数判断原函数的单调区间和极值结合边界函数值判断即可.【小问1详解】由题意可知：，则因为曲线y=fx在处的切线方程为，则，即，解得.【小问2详解】因为，当时，f'x>0；当时，f可知函数的单调递增区间为和1,+∞；函数的单调递减区间为，的极大值为，的极小值为f1=0.【小问3详解】函数y=fx在，上单调递增，在上单调递减，且，函数y=fx在上的最大值,最小值.17.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）由线面平行的判断定理可得答案；（2）建立空间直角坐标系，平面的法向量、平面ABCD的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案；（3）直接利用向量根据点到平面的距离公式得到答案.【小问1详解】因为，平面，平面，故平面.【小问2详解】如图所示：以分别为轴建立空间直角坐标系，故，，，，，,设平面的法向量为，则，取得到，，即，易知平面ABCD的一个法向量为，则，根据图象知二面角的平面角为锐角，故平面与平面ABCD所成角的余弦值为.【小问3详解】由（2），，故B到平面的距离为.18.【答案】（1）；（2）①；②分布列见解析；期望为；（3）．【分析】（1）求出销售价格低于元的频率，用频率来衡量概率；（2）①利用分层抽样的定义求解即可，②随机变量的可能取值为，然后求出各自对应的概率，即可列出分布列，求出期望；（3）求出平均值比较即可【详解】解：（1）记“从该超市销售的牙膏中随机抽取管，其销售价格低于元”为事件．由题设，．（2）①由题设，品牌的牙膏抽取了管，品牌的牙膏抽取了管，所以．（ⅱ）随机变量的可能取值为．；；．所以的分布列为：的数学期望为．（3）．（理由：，设品牌的市场占有额为，市场占有额分别为，则）19.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）利用椭圆的性质计算即可；（2）设点坐标及设直线方程，利用结合韦达定理计算即可.【小问1详解】由题意可知，又离心率为，即椭圆方程为：；【小问2详解】设直线，Ax1则，因为以线段为直径的圆恒过点，所以，联立直线与椭圆，所以，则，由，，整理得或，易知时不符题意，所以.20.【答案】（1）（2）1个（3）证明见解析【分析】(1)根据代入解析式,求出,根据点斜式写出切线方程即可;(2)对函数求导求单调性,观察到,根据单调性分析零点个数即可;(3)先对函数求导,再通分,令再对新函数求导判断单调性即值域情况,分析的正负,即的正负,进而求出的单调性及最值,若恒成立,只需即可,有最小值,即存在实数m,使恒成立.【小问1详解】解:由题知,,,,故在点处的切线方程为,即;【小问2详解】由题,,,,,故在上单调递增,,故有1个零点;【小问3详解】由题,,,令,,即在上单调递增,,且,故,使得,即在上单调递增,即,单调递减,即,单调递增,故,若恒成立,只需，即即可,故存在实数m,使恒成立.【点睛】方法点睛:此题考查导数的综合应用,属于难题,应用了隐零点,关于隐零点的方法有:(1)对函数进行求导后,进行因式分解,写成几个因式的乘积;(2)然后将容易判断正负的先进行判断,不好判断的令为一个新的函数;(3)对新的函数进行求导求单调性;(4)取区间内的点代入新函数中判断函数值正负,直到函