2024北京一零九中高二（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京一零九中高二（下）期中数学一、选择题1.（）A.65 B.160 C.165 D.2102.已知函数，设是函数的导函数，则的值为（）A.1 B.2 C.3 D.43.在二项式的展开式中，的系数为（）A.-60 B.60 C.-30 D.304.已知，，等于A. B. C. D.5.将六位教师分配到3所学校，若每所学校分配2人，其中分配到同一所学校，则不同的分配方法共有（）A.12种 B.18种 C.36种 D.54种6.设是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能的是（）A.B.C.D.7.甲口袋中有3个红球，2个白球，乙口袋中有4个红球，3个白球，先从甲口袋中随机取出1球放入乙口袋，分别以，表示从甲口袋取出的球是红球､白球的事件；再从乙口袋中随机取出1球，以表示从乙口袋取出的球是红球的事件，则（）A. B. C. D.8.已知函数，则不等式的解集是（）A. B. C. D.9.某校一场小型文艺晩会有6个节目，类型为：2个舞蹈类､2个歌唱类､1个小品类､1个相声类.现确定节目的演出顺序，要求第一个节目不排小品类，2个歌唱类节目不相邻，则不同的排法总数有（）A.336种 B.360种 C.408种 D.480种10.已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（）A. B.C. D.二、填空题11.的展开式中的常数项为______.12.已知，则______.13.从0，1，2，3，4这5个数中任选3个数，组成没有重复数字的三位数的个数为______．14.将五个学生代表名额分配到四个班级，每班至少有一人，则有______种不同的分配方案．(用数字作答)15.设某学校有甲、乙两个校区和两个食堂，并且住在甲、乙两个校区的学生比例分别为和；在某次调查中发现住在甲校区的学生在食堂吃饭的概率为，而住在乙校区的学生在食堂吃饭的概率为，则任意调查一位同学是在食堂吃饭的概率为________．如果该同学在食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率为________．（结果用分数表示）三、解答题16.袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X．（1）求的值；（2）求随机变量X的分布列和数学期望．17.已知函数．（1）求函数的图象在点处的切线方程；（2）求函数的单调区间．18.如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）若，求二面角的余弦值．19.已知函数.（1）若曲线在点处的切线斜率为1，求实数a的值；（2）当时，求证：；（3）若函数在区间上存在极值点，求实数a的取值范围.20.已知椭圆的一个顶点为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设为原点．直线与椭圆交于两点（不是椭圆的顶点），与直线交于点，直线分别与直线交于点．求证：．21.已知函数．（1）求的单调区间；（2）若对恒成立，求a的取值范围；（3）证明：若在区间上存在唯一零点，则．

参考答案一、选择题1.【答案】C【分析】根据排列数、组合数的公式计算可得.【详解】.故选：.2.【答案】A【分析】利用导数的运算法则求出导数，再代值计算作答.【详解】函数，求导得：，所以.故选：A3.【答案】B【分析】先求出二项展开式的通项公式，再令x的指数为4求解.【详解】∵二项式的展开式的通项公式为：；令可得：；故选：B.【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式，属于基础题.4.【答案】C【详解】试题分析：根据条件概率的定义和计算公式：把公式进行变形，就得到，故选C.考点：条件概率.5.【答案】B【分析】先平均分组，再利用全排列可求不同分配方法的总数.【详解】将余下四人分成两组，每组两人，有种分法，故不同的分配方法共有种，故选：B.6.【答案】C【分析】根据导函数的图象可得的单调性，即可结合选项求解.【详解】由的图象可知：当和时，，所以单调递增，当时，，所以单调递减，结合选项可知，只有C中函数符合要求，故选：C7.【答案】A【分析】分别求出，，再根据全概率公式求出，再根据条件概率公式即可得解.【详解】，，，.故选：A.8.【答案】A【分析】利用导数及导函数的单调性判断极小值点在，再由函数的单调性及可得不等式的解集.【详解】因为单调递增，且，，所以存在唯一，使得，所以当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，又，且，所以由可得，故选：A9.【答案】C【分析】先求第一个节目不排小品类不同的排法种数，再求第一个节目不排小品类且2个歌唱类节目相邻的排法种数，再相减即可.【详解】利用间接法：第一个节目不排小品类，共有种不同的排法，第一个节目不排小品类且2个歌唱类节目相邻，共有种不同的排法，所以第一个节目不排小品类，2个歌唱类节目不相邻，有种不同的排法，故选：C.10.【答案】D【分析】构造函数，由得，进而判断函数的单调性，判断各选项不等式.【详解】依题意令，则，因为在上恒成立，所以在上恒成立，故在上单调递减，所以，，故A不正确；所以，即，即，故B不正确；又，即，即，故C错误；因为，即，即，故D正确；故选：D.【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是根据题意构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可比较函数值的大小.二、填空题11.【答案】【分析】利用二项式展开式的通项公式计算,即可得出答案.【详解】的展开式的通项公式，当即时，故的展开式中的常数项为.故答案为：12.【答案】【分析】赋值法求系数和即可.【详解】令得，所以.故答案为：13.【答案】【分析】根据题意，结合分步计数原理，先安首位数字，再安第二、三位的数字，即可求解.【详解】由题意，从0，1，2，3，4这5个数中任选3个数，组成没有重复数字的三位数的个数，根据分步计数原理，先安首位数字，再安第二、三位的数字，可得.故答案为：.14.【答案】4【分析】由题意转化为选一个班安排2个名额问题即可得解.【详解】因为只有一个班2个名额，所以安排方法为种，故答案为：415.【答案】①.②.【分析】根据条件，结合全概率公式，以及条件概率公式，即可求出结果.【详解】记为事件“该同学住在甲校区”，为事件“该同学在食堂吃饭”，则，，故，如果该同学在食堂吃饭，则他是住在甲校区的概率为，故答案为：；.三、解答题16.【答案】（1）（2）分布列见解析；期望为【分析】（1）直接利用古典概型求解概率即可.（2）得出的可能取值，求出对应的概率，列出分布列，即可得出数学期望.【小问1详解】根据题意可知，“”指事件“取出的个球中，恰有个白球”，所以.【小问2详解】根据题意可知，的可能取值为：．；；．所以随机变量X的分布列为：则的数学期望．17.【答案】（1）（2）单调递减区间为，单调递增区间为.【分析】（1）根据题意，利用导数的几何意义，即可求得切线方程；（2）求得，结合导数的符号，即可求解函数的单调区间.【小问1详解】解：由函数，可得，可得，因为切点为，所以切线方程为，即.【小问2详解】解：由函数，其定义域为，且，当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增；所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为.18.【答案】（1）证明见解析（2）【分析】（1）根据线线平行证明面面平行；（2）向量法求二面角.【小问1详解】如图，连接，设，连接．因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以为的中点．因为为的中点，所以．又因为平面，平面，所以平面．【小问2详解】因为，，又，平面，平面，所以平面，又因平面，所以．又，所以，，两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系，则，，，．所以，．设平面的法间量为，则即，令，则，于是．因为平面，所以是平面的一个法向量．所以．由题设，二面角的平面角为钝角，所以二面角的余弦值为．19.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可；（2）利用导数得出函数的单调性，进而得出其最小值，即可证明；（3）分类讨论的值，利用导数得出的单调性，结合题意，即可得出实数a的取值范围.【详解】解：（1）因为，所以.由题知，解得.（2）当时，，所以当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增；所以是在区间上的最小值.所以.（3）由（1）知，.若，则当时，，在区间上单调递增，此时无极值.若，令，则.因为当时，，所以在上单调递增.因为，而，所以存在，使得.和的情况如下：x0极小值因此，当时，有极小值.综上，a的取值范围是.【点睛】本题主要考查了利用导数证明不等式，导数几何意义的应用等，属于中档题.20.【答案】（1）（2）证明见解析【分析】（1）结合题意，列出方程组计算即可得；（2）设直线为，联立椭圆方程可得与横坐标有关韦达定理，借助、两点坐标可表示出、，计算可得，即可得解.【小问1详解】由题意可得，解得，所以椭圆的方程为；【小问2详解】由题意可知直线的斜率存在，设其方程为．则，直线的方程为，由，得，由，得，设，则，直线的方程为，联立直线和得，解得，同理可得，所以，因为，所以，即点和点关于原点对称，所以．.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.21.【答案】（1）答案见解析（2）（3）证明见解析【分析】（1）讨论、，结合导数的符号确定单调区间；（2）由，讨论、研究导数符号判断单调性，进而判断题设不等式是否恒成立，即可得参数范围；（3）根据（2）结论及零点存在性确定时在上存在唯一零点，由零点性质及区间单调性，应用分析法将问题转化为证在上恒成立，即可证结论.【小问1详解】由题设，当时，，则在R上递增；当时，令，则，若，则，在上递减；若，则，在上递增；综上，时的递增区间为R，无递减区间；时的递减区间为，递增区间为.【小问2详解】由，当时，在上恒成立，故在上递增，则，满足要求；当时，由（1）知：在上递减，在上递增，而，所以在上递减，在上