2024北京五十五中高二（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京五十五中高二（下）期中数学本试卷共4页，共150分，调研时长120分钟第一部分（选择题共40分）一．选择题．共10小题，每小题4分，共40分．每题4个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.2.的展开式中含的项的系数为（）A.24 B. C.6 D.3.下列给出四个求导的运算：①；②；③；④．其中运算结果正确的是（）A.①④ B.①③ C.①②④ D.②③④4.某校地理小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图，则下列说法不正确的是（）A.气压与海拔高度呈正相关 B.沸点与气压呈正相关C.沸点与海拔高度呈负相关 D.沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强5.已知是的导函数，的图象如图所示，则的图象只可能是（）A. B.C. D.6.某年级共200人参加进行物理测试，满分100分，（参考数据：，，）学生的抽测结果服从正态分布，其中60分为及格线，80分为良好线，90分为优秀线，则抽测结果在及格线以上学生人数大约为（）A.137 B.168 C.191 D.1957.一个盒中有10个球，其中红球7个，黄球3个，随机抽取两个，则至少有一个黄球的概率为（）A. B. C. D.8.甲、乙两选手进行乒乓球比赛的初赛，已知每局比赛甲获胜的概率是0.3，乙获胜的概率是0.7，若初赛采取三局两胜制，则乙最终获胜的概率是（）A.0.216 B.0.432 C.0.648 D.0.7849.已知函数，若存在，使，则m的取值范围是（）A. B.C. D.10.二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二进制数(）对应的十进制数记为，即其中，，则在中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为（）A.1910 B.1990 C.12252 D.12523第二部分（非选择题共110分）二．填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11.双曲线的左右焦点分别是与是双曲线右支的一点，且，则______．12.袋中有大小相同的4个红球和2个白球．若从中不放回地取球2次，每次任取1个球，记“第一次取到红球”为事件，“第二次取到红球”为事件，则______．13.已知的展开式中，各项系数之和为，则二项式系数之和为___________.14.某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6堂课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，不同排法种数是________；15.设函数，①若有两个零点，则实数的一个取值可以是______；②若是上的增函数，则实数的取值范围是______．三．解答题：共6小题，共85分．16.为提升学生综合素养，某中学为高二年级提供了“书法”和“剪纸”两门选修课．为了了解选择“书法”或“剪纸”是否与性别有关，调查了高二年级1500名学生的选择倾向，随机抽取了100名，统计选择两门课程人数如下表．选书法选剪纸合计男生4050女生合计30（1）补全列联表；（2）根据小概率值的独立性检验，在犯错概率不超过的前提下，是否可以认为选择“书法”或值“剪纸”与性别有关？（计算结果保留到小数点后三位）参考公式：，其中．0.1000.0500.0252.7063.8415.02417.某地区2019年至2023年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份20192020202120222023年份代号x12345人均纯收入2.33.34.14.44.9（1）由表可知与具有线性相关关系，求关于的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2025年农村居民家庭人均纯收入；（3）用（1）中所求线性回归方程得到与对应的人均纯收入预测值，当数据对应残差的绝对值时，将该数据称作一个“好数据”，经过计算统计得到这5个数据中“好数据”有2个，不是“好数据”的有3个，现从5个数据中任选3个，求恰好有两个“好数据”的概率.附：参考数据及公式：.18.某学校为了解学生的睡眠情况，从高一和高二年级中随机抽取各40名学生，统计他们一周平均每天的睡眠时间作为样本，统计结果如图.（1）从该校高一年级学生中随机抽取1人，估计该生平均每天的睡眠时间不少8小时的概率；（2）从该校高二年级学生中随机抽取2人，这2人中平均每天的睡眠时间为8小时或8.5小时的人数记为求的分布列和数学期望；（3）从该校高一年级学生中任取1人，其平均每天的睡眠时间记为，从该校高二年级学生中任取1人，其平均每天的睡眠时间记为，试比较方差与的大小．（只需写出结论）19.椭圆的左右顶点分别为、，点在上且面积最大值为2.过点和点的直线与交于另外一点，且关于轴的对称点为.（1）求椭圆的标准方程；（2）试判断直线MC是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；（3）线段MC的长度能否为下列值：、？请直接写出结论.20.已知函数.（1）求曲线的斜率为1的切线方程；（2）证明：；（3）设，求在区间上的最大值和最小值.21.已知，，，记，用表示有限集合的元素个数.（I）若，，，求；（II）若，，则对于任意的，是否都存在，使得？说明理由；（III）若，对于任意的，都存在，使得，求的最小值.

参考答案第一部分（选择题共40分）一．选择题．共10小题，每小题4分，共40分．每题4个选项中只有一个选项是符合题目要求的．1.【答案】D【分析】抛物线交点坐标为，算出即可.【详解】由，得，故抛物线的焦点坐标为.故选：D.【点睛】本题考查抛物线的定义及方程，求抛物线焦点坐标时，一定要注意将方程标准化，本题是一道基础题.2.【答案】A【分析】写出展开式的通项，从而计算可得.【详解】二项式展开式的通项为（且），所以展开式中含的项为，即展开式中含的项的系数为.故选：A3.【答案】C【分析】根据导数四则运算法则及复合函数求导公式即可判断．【详解】，故①正确；，故②正确；，故③错误；，故④正确，故选：C．4.【答案】A【分析】利用散点图的规律分析气压与高度、沸点与气压、沸点与海拔高度的相关性即可判定．【详解】由图1知气压随海拔高度的增加而减小，由图2知沸点随气压的升高而升高，所以气压与海拔高度呈负相关，沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关．由于两个散点图中的点都呈线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故B，C，D正确，A错误．故选：A．5.【答案】D【分析】由导数的几何意义可知，原函数先增长“迅速”，后增长“缓慢”.【详解】由题中的图象可以看出，在内，，且在内，单调递增，在内，单调递减，所以函数在内单调递增，且其图象在内越来越陡峭，在内越来越平缓．故选：D．6.【答案】B【分析】根据正态分布的概率分布即可求解.【详解】因为服从正态分布，所以，所以抽测结果在及格线以上学生人数所占比例为，所以人数为.故选：B.7.【答案】D【分析】记抽取黄球的个数为X，则由题意可得X服从超几何分布，然后根据超几何分布的概率公式求解即可.【详解】记抽取黄球的个数为X，则X服从超几何分布，其分布列为，，1，2．所以，．或．故选：D．8.【答案】D【分析】根据题意结合独立事件概率公式运算求解.【详解】两局结束比赛，乙获胜的概率为；三局结束比赛，则前两局乙胜一局，甲胜一局，第三局乙获胜，故乙获胜的概率为；所以乙最终获胜的概率为.故选：D.9.【答案】C【分析】将题意转化为，，令，即，对求导，求出在的最大值即可得出答案.【详解】若存在，使，即，所以，令，，，令，解得：，令，解得：，所以在上单调递增，在上单调递减，所以所以.故选：C.10.【答案】D【分析】利用等比数列前n项和以及组合数问题可解【详解】根据题意得，因为在中恰好有2个0的有=28种可能，即所有符合条件的二进制数的个数为28．所以所有二进制数对应的十进制数的和中，出现=28次，，…，2，均出现=21次，所以满足中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的和为故选：D．第二部分（非选择题共110分）二．填空题：共5小题，每小题5分，共25分．11.【答案】1【分析】根据双曲线的定义即可求解.【详解】由双曲线的定义可知，，所以.故答案为：1.12.【答案】##【分析】由题得和，由条件概率公式计算即可．【详解】由题可知，，，故，故答案为：．13.【答案】【分析】令，结合二项式各项系数和可求得的值，进而可求得该二项式系数之和.【详解】因为的展开式中，各项系数之和为，令，可得，解得，因此，二项式系数之和为.故答案为：.14.【答案】【分析】先排数学、体育，再排其余4节，利用乘法原理，即可得到结论．【详解】解：由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，有种再排其余4节，有种，根据乘法原理，共有种方法，故答案为：．15.【答案】①.（内的值都可以）②.或【分析】①分析函数的性质，确定零点所在的区间，通过解方程的方法，即可求解；②根据分段函数的形式，确定两段函数都是单调递增，并根据分界点处函数值的关系不等式，即可求解.【详解】①函数在上单调递增，，所以函数在区间上无零点，则函数在上有2个零点，即，，则，或或，，则，解得：，所以的一个值是；②函数在上单调递增，则在上，也单调递增，且，若函数在在区间单调递增，则，即在区间上恒成立，即，即，不等式，解得：或，综上可知，或.故答案为：（内的值都可以）；或三．解答题：共6小题，共85分．16.【答案】（1）表格见解析（2）能认为.【分析】（1）根据题意与表中数据计算即可补全列联表.（2）根据题意求出，与临界值比较即可.【小问1详解】根据题意，共抽取了100人，则补全列联表如表所示.选书法选剪纸合计男生401050女生302050合计7030100【小问2详解】设零假设：选择“书法”或值“剪纸”与性别无关.由表中数据，可得，根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立，即能认为选择“书法”或值“剪纸”与性别有关，此推断犯错的概率不超过.17.【答案】（1）（2）千元（3）【分析】（1）根据已知数据，结合参考数据，分别求得与，即可求得结果；（2）令，即可求得结果；（3）根据题意求得好数据个数，再结合组合数，根据古典概型的概率计算公式求解即可.【小问1详解】根据已知数据以及参考数据可得：，；又，故，，故所求线性回归方程为：.【小问2详解】根据（1）所求可得：，令，解得，故预测该地区2025年农村居民家庭人均纯收入为千元.【小问3详解】根据题意，结合所求线性回归方程可得如下表格：年份20192020202120222023年份代号x12345人均纯收入2.33.34.14.44.92.543.173.84.435.060.240.130.30.030.16根据“好数据”定义，故组数据中，“好数据”有2组，不是“好数据”的有3组，设从5个数据中任选3个，恰好有两个“好数据”是事件，则.18.【答案】（1）（2）分布列见解析，（3）【分析】（1）根据古典概型概率计算公司号求得正确答案.（2）先求得高二学生平均每天的睡眠时间为小时或小时的概率，然后根据二项分布的知识求得的分布列和数学期望.（3）通过观察条形图求得正确答案.【小问1详解】记事件为“从该校高一学生中随机抽取1人，该生平均每天的睡眠时间不少于8小时”，样本中高一学生人数为：，其中平均每天的睡眠时间不少于小时的人数为，则.【小问2详解】从高二年级学生中随机抽取1人，其平均每天的睡眠时间为小时或小时的概率为.的可能取值为，故；；.则的分布列为：.【小问3详解】通过观察条形图可知，高一年级和高二年级的统计数据有对称性，根据方差的定义可知：.19.【答案】（1）（2）直线MC过定点，定点坐标（3）线段MC的长度能为，不能为【分析】（1）当在短轴的端点时，取得面积的最大值，表示出的面积即可求出的值，即可求出椭圆E的标准方程；（2）联立直线的方程和椭圆方程，化简写出根与系数关系，求得直线的方程，结合根与系数关系来判断出直线过定点.（3）求出的最大值和最小值即可得出答案.【小问1详解】当在短轴的端点时，取得面积的最大值，则，所以椭圆E的标准方程为：.【小问2详解】，依题意可知直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，设，,消去并化简得，需满足，则，直线的方程为，根据椭圆的对称性可知，若直线过定点，则定点在轴上，由此令得，即，所以定点为.【小问3详解】因为直线MC过点，所以的最小值为过点且垂直轴时的弦长，令，则，解得，故.的最大值为长轴长，故，所以，所以线段MC的长度能为，不能为.20.【答案】（1）（2）证明见解析（3），【分析】（1）求出函数的导函数，令求出，即可求出切点的横坐标，从而求出切点坐标，即可求出切线方程；（2）求出函数的单调性，即可求出函数的最小值，即可得证；（3）求出函数的导函数，即可求出函数的单调性，从而求出