2024北京和平街一中高二（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京和平街一中高二（下）期中数学第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.函数的导数为（）A. B. C. D.2.已知随机变量的分布列为：X01Pa则的数学期望的值是（）A. B. C. D.3.从1，2，3，4，5中不放回地抽取2个数，则在第1次抽到奇数的条件下，第2次又抽到奇数的概率是（）A. B. C. D.4.是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（）A. B. C. D.5.在的展开式中，常数项为（

）A. B. C.120 D.1606.已知函数在定义域D内导数存在，且，则“”是“是的极值点”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件7.如图，中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱，假设中国空间站要安排甲，乙，丙，丁，戊，己6名航天员开展实验，其中天和核心舱安排3人，问天实验舱安排2人，梦天实验舱安排1人.若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有（）A.12种 B.16种 C.20种 D.24种8.已知函数，则下列选项正确的是（）.A. B.C. D.9.反射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目不断减少，但其子体的原子数目将不断增加，假设在某放射性同位素的衰变过程中，其含量N（单位：贝克）与时间t（单位：天）满足函数关系（e为自然对数的底数），其中为时该同位素的含量，已知当时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为，则（）A.12贝克 B.12e贝克 C.24贝克 D.24e贝克10.已知函数，下列命题正确的是（）①是奇函数；②在R上是增函数；③方程有且仅有1个实数根；④如果对任意，都有，那么的最大值为2.A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.设函数，则__________．12.把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B不相邻，则不同的摆法有_____________种.13.的展开式中的系数是________，二项式系数的和是________.14.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为______．15.已知偶函数在区间上单调递减，且，则不等式的解集为__________.16.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.每个瓶子的造价P1（单位：元）、瓶内饮料的获利P2（单位：元）分别与瓶子的半径r（单位：cm，）之间的关系如图甲、乙所示.设制造商的利润为，给出下列四个结论：①当时，；②在区间上单调递减；③在区间上存在极小值；④在区间上存在极小值.其中所有正确结论的序号是_________.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）17.已知函数．（1）求的单调区间；（2）求在上的最值．18.已知箱中装有2个白球，1个红球和3个黑球，现从该箱中任取（无放回，且每球取到的机会均等）3个球，（1）求取出的三个球的颜色互不相同的概率；（2）记随机变量X为取出3球中白球的个数，求X的分布列及期望．19.第届冬季奥林匹克运动会于年月日在北京、张家口盛大开幕．为保障本届冬奥会顺利运行，共招募约万人参与赛会志愿服务．赛会共设对外联络服务、竞赛运行服务、媒体运行与转播服务、场馆运行服务、市场开发服务、人力资源服务、技术运行服务、文化展示服务、赛会综合服务、安保服务、交通服务、其他共类志愿服务．（1）甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，每人只参加一类志愿服务．已知甲被分配到对外联络服务，求乙被分配到场馆运行服务的概率是多少？（2）已知来自某中学的每名志愿者被分配到文化展示服务类的概率是，设来自该中学的名志愿者被分配到文化展示服务类的人数为，求的分布列与期望；（3）万名志愿者中，岁人群占比达到，为了解志愿者对某一活动方案是否支持，通过分层抽样获得如下数据：岁人群其它人群支持不支持支持不支持方案人人人人假设所有志愿者对活动方案是否支持相互独立．将志愿者支持方案的概率估计值记为，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）20.已知，．（1）求曲线在点处的切线；（2）若函数在区间上存在极值，求的取值范围；（3）若，设，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由．21.设函数．（1）若，①求曲线在点处的切线方程；②当时，求证：．（2）若函数在区间上存在唯一零点，求实数的取值范围．

参考答案第I卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1.【答案】B【分析】由常用函数的导数公式和导数的运算法则即可得答案.【详解】，故选：B.2.【答案】A【分析】根据分布列的性质可求出，再根据期望公式即可求出随机变量的数学期望.【详解】根据分布列的性质，得，解得，所以随机变量的数学期望为．故选：A.3.【答案】C【分析】根据条件概型的知识求得正确答案.【详解】在第1次抽到奇数的条件下，余下个奇数和个偶数，再次抽取时，抽到奇数的概率为.故选：C4.【答案】C【分析】根据导函数的正负与原函数单调性的关系，结合图象进行判断即可.【详解】由导函数的图象可知：当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，只有选项C符合，故选：C5.【答案】A【分析】先求出通项，然后令的指数为零求出，再代入计算可得．【详解】二项式展开式的通项为（且），令解得，故常数项为.故选：A6.【答案】B【分析】先验证充分性，不妨设，在处有，但为单调递增函数，不是极值点；再验证必要性，即可得结果．【详解】充分性：不妨设，则，在处有，但是，为单调递增函数，在处不是极值，故充分性不成立．必要性：根据极值点的性质可知，极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点，因为函数在定义域内可导，所以不存在不可导的点，因此导数为零的点就是极值点，故必要性成立．故选：B7.【答案】B【分析】按照元素甲、乙所在舱位进行讨论，特殊元素优先考虑即可求解.【详解】按照甲、乙两人同时在天和核心舱或问天实验舱两种情况讨论：①若甲、乙两人同时在天和核心舱，则需要从剩余4人中再选1人，剩下的3人去剩下的两个舱位，则有种可能；②若甲、乙两人同时在问天实验舱，则剩下的4人选3人去天和核心舱即可，共有种可能，根据分类加法计算原理，共有种可能，故选：B.8.【答案】D【分析】利用导数判断的单调性，结合单调性比较大小.【详解】因为在上恒成立，可知在上单调递增，又，所以.故选：D.9.【答案】C【分析】求出关于的导函数，由求得，再计算即得．【详解】由题意，，，．故选：C．10.【答案】B【分析】对于①，根据奇函数的定义判断，对于②，对函数求导后利用导数判断，对于③，令，可得，再结合零点存在性定理分析判断，对于④,问题转化为恒成立，构造函数，求导后分析判断.【详解】对于①，因为的定义域为，且，所以是奇函数，所以①正确，对于②，由，得，所以在上是增函数，所以②正确，对于③，令，因为，所以方程所以有一个根为0，因为，，所以方程在至少有一个根，所以③错误，对于④，若对任意，都有，即恒成立，令，则，，当且仅当，即时取等号，因为，所以取不到等号，所以，若，则恒成立，所以在上递增，所以，即恒成立，若，则存在使，所以当时，，当时，，所以在上递减，在上递增，所以在上，有不合题意，综上，，所以的最大值为2，所以④正确，故选：B【点睛】关键点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查导数的应用，第④个解的关键是将问题转化为恒成立，然后构造函数，利用导数结合基本不等式讨论.第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）11.【答案】【分析】由的导数为，将代入，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以.故答案为：.12.【答案】72【分析】利用间接法求出5件不同的产品排成一排及产品与产品相邻的情况，即可得出结论.【详解】5件不同的产品摆成一排共有，产品与产品相邻，把和看做一个元素,使得它与另外3个元素排列，再者和之间还有一个排列，共有，所以产品与产品不相邻，不同的摆法有.故答案为：7213.【答案】①.10②.32【分析】写出二项式展开式的通项公式，令即可求出的系数，二项式系数的和为，代入的值即可求解．【详解】的展开式的通项公式为，令，得的系数为，二项式系数的和为.故答案为：10；32.14.【答案】【分析】根据导数的性质，结合常变最分离法、反比例函数的单调性进行求解即可.【详解】由题意得，，则由题意可知在上，恒成立，即在上恒成立，所以在上恒成立，因为在上，，所以．故答案为：15.【答案】【分析】根据函数的单调性和奇偶性求解抽象不等式即可.【详解】由题知：在区间上单调递减，在上单调递增，且，当时，，，，符合题意，当时，，，，不符合题意，当时，，，，符合题意，当时，，，，不符合题意，综上的解集为故答案为：16.【答案】①③④【分析】根据函数在某点处的几何意义可逐一判断.【详解】由图可知：当时，，故，故①正确；,当时，由图象可知，在处的切线斜率大于在处的切线斜率，故，因此在区间上单调递增，②错；根据图象可知：图象先快后慢，而图象先慢后快，所以可得在上的变化是先减后增，故由极小值，③正确；，当趋近于时，在处的切线斜率明显大于在处的切线斜率，而当趋近于0时，在处的切线斜率明显大于在处的切线斜率，所以可得在上的变化是先减后增，故由极小值，故④正确.故答案为：①③④三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.）17.【答案】（1）减区间为，增区间为和（2）最大值为，最小值为【分析】（1）求出，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的增区间和减区间；（2）求出函数在区间上的极大值和极小值，再与、比较大小，即可得出结论.【小问1详解】解：因为，其中，则，由可得，由可得或，所以，函数的减区间为，增区间为和.【小问2详解】解：列表如下：增极大值减极小值增又因为，，则，因此，函数在上的最大值为，最小值为.18.【答案】（1）；（2）分布列见解析，.【分析】（1）通过古典概型公式及组合方法即可求出答案；（2）通过超几何分布求概率的方法求出概率及分布列，进而根据期望公式求出期望即可.【小问1详解】设取出的三个球的颜色互不相同的事件为M，∴.【小问2详解】由题意得X取0，1，2，则，，．所以X的分布列为X012P∴.19.【答案】（1）（2）分布列见解析，（3）【分析】（1）根据古典概型的计算公式直接计算；（2）分别计算概率并列出分布列，并求期望；（3）根据古典概型计算公式分别计算与，并比较大小.【小问1详解】由已知共类志愿服务，甲被分配到对外联络服务，且甲、乙两名志愿者被随机分配到不同类志愿服务中，故乙可被分配的志愿服务共，所以乙被分配到场馆运行服务的概率为；【小问2详解】由已知可得随机变量的可能取值为，，，故，，，分布列如下：期望；【小问3详解】由已知得志愿者支持方案的概率估计值记为，去掉其它人群志愿者，支持方案的概率估计值记为，故.20.【答案】（1）（2）（3）函数在区间上的单调递减.【分析】（1）根据导数的几何意义得曲线在点处的切线方程为，再结合题意得，进而得答案；（2）由题知在区间上有变号零点，进而分和两种情况讨论求解即可；（3）由题知，进而判断的单调性并进而结合得函数在上恒成立，进而判断单调性.【小问1详解】因为，所以，，则，所以函数在出的切线方程为，即.【小问2详解】由（1）得，因为函数在区间上存在极值，所以在区间上有变号零点，当时，在区间上单调递增，，故不符合题意；当时，在区间上单调递减，且当趋近于时，趋近于，故要使在区间上有变号零点，则，即，综上，，即的取值范围是.【小问3详解】函数在区间上单调递减，理由如下：，，，所以，令，则在恒成立，所以函数在上单调递减，由于，所以函数在上恒成立，所以函数在区间上的单调递减.21.【答案】（1）①；②证明见解；（2）.【分析】（1）①当时，求得，得到，进而求得曲线在点处的切线方程；②令，利用导数求得在单调递减，得到，即可求解；（2）求得，令，分和两种情况，结合和单调性，求得，设使得，利用