2024北京房山区高二（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京房山高二（下）期中数学一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）若1、x、2成等差数列，则（）A． B．x＝3 C．x＝2 D．2．（5分）已知等比数列{an}的通项公式，则数列{an}的公比为（）A．3 B．2 C．﹣3 D．﹣63．（5分）下列结论中正确的是（）A．若y＝sin2x，则y′＝cos2x B．若y＝sin2x，则y′＝2cos2x C．若y＝cos2x，则y′＝sin2x D．若y＝cos2x，则y′＝2sin2x4．（5分）设某质点的位移xm与时间ts的关系是x＝1﹣t+t2，则质点在第3s时的瞬时速度等于（）A．5m/s B．6m/s C．7m/s D．8m/s5．（5分）函数f（x）的图象如图所示，设a＝f′（2），b＝f′（3），c＝f（3）﹣f（2），则（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a6．（5分）数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和，已知a3＝6，S3＝18，则公比q＝（）A．1 B． C．1或 D．1或7．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，f（x）的导函数f′（x）的图象大致如图所示，则下列结论中错误的是（）A．f（x）在（﹣1，3）上单调递增 B．x＝0是f（x）的极小值点 C．x＝3是f（x）的极大值点 D．曲线y＝f（x）在x＝2处的切线斜率为28．（5分）世界上最古老的数学著作《莱茵德纸草书》中有一道这样的题目：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，则最小的1份为（）A．磅 B．磅 C．磅 D．磅9．（5分）已知数列{an}的通项公式，且最小项为﹣2，则实数m的值为（）A． B． C． D．10．（5分）已知函数，则下列结论中错误的是（）A．当k＝1时，函数f（x）无零点 B．当k＝0时，不等式f（x）＜1的解集为（0，1） C．若函数g（x）＝f（x）﹣1恰有两个零点，则实数k的取值范围为[0，1） D．存在实数k，使得函数f（x）在（0，+∞）上单调递增二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．（5分）若f（x）＝x2+x，则＝．12．（5分）设Sn为数列{an}的前n项和，且，则a5＝；数列{an}的通项公式an＝．13．（5分）已知函数，则f（x）的极小值等于；若f（x）在区间（m，m+2）上存在最小值，则m的取值范围是．14．（5分）无穷数列{an}的前n项和记为Sn．若{an}是递增数列，而{Sn}是递减数列，则数列{an}的通项公式可以为．15．（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn（Sn≠0），数列{Sn}的前n项积为Tn，且满足Sn+Tn＝Sn•Tn（n∈N*），给出下列四个结论：①a1＝2；②；③；④{Tn}是等差数列．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．（12分）已知函数．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[﹣2，3]上的最值．17．（12分）已知数列{an}是等比数列，a1＝1，a4＝8．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若{bn}为等差数列，且满足b2＝a2，b7＝a6，求数列{bn}的前n项和Sn．18．（12分）已知数列{an}中，a1＝0且．（1）求数列{an}的第2，3，4项；（2）根据（1）的计算结果，猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．19．（13分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4＝8，S3＝12．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且b1＝1．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得数列{bn}唯一确定，并解答以下问题：（ⅰ）求{bn}的通项公式；（ⅱ）若Sn+Tn＞42，求n的最小值．条件①：bn+1＝bn+3；条件②：bn+1＝3bn；条件③：Tn＝nbn．注：如果选择条件①、条件②和条件③分别解答，按第一个解答计分．20．（12分）某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为750m2的矩形花园．图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间A，B，C三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中B，C区域的形状、大小完全相同）．设矩形花园的一条边长为xm，鲜花种植的总面积为Sm2．（1）用含有x的代数式表示a；（2）当x的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？21．（14分）已知函数f（x）＝alnx+x2（a∈R）．（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝1处的切线方程；（2）求函数f（x）的极值点；（3）写出a的一个值，使方程f（x）+1＝0有两个不等的实数根．并证明你的结论．

参考答案一、选择题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．【分析】利用等差中项的性质可求得x的值．【解答】解：因为1、x、2成等差数列，所以x＝×（1+2）＝．故选：A．【点评】本题考查了等差中项的定义与性质应用问题，是基础题．2．【分析】根据已知及等比数列的定义可得结果．【解答】解：因为{an}为等比数列且通项公式为，所以公比．故选：A．【点评】本题考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．【分析】借助复合函数的求导法则计算即可得．【解答】解：对A、B：若y＝sin2x，则y′＝cos2x×2＝2cos2x，故B正确，A错误；对C、D：若y＝cos2x，则y′＝﹣sin2x×2＝﹣2sin2x，故C、D错误．故选：B．【点评】本题考查了复合函数的求导公式，是基础题．4．【分析】求出函数的导数，计算t＝3时，x′的值即可．【解答】解：∵x＝1﹣t+t2，∴x′＝2t﹣1，则t＝3时，x′|t＝3＝2×3﹣1＝5，所以质点在第3s时的瞬时速度等于5m/s．故选：A．【点评】本题主要考查导数的应用，属于基础题．5．【分析】根据导数的几何意义结合函数图象即可得解．【解答】解：由函数图象可知函数f（x）为增函数，且增加的速度越来越慢，所以．即b＜c＜a．故选：D．【点评】本题主要考查了函数的平均变化率的应用，属于基础题．6．【分析】先看当q＝1时等式成立，再看当q≠1根据等比数列的通项公式和求和公式联立方程组，求的q．综合答案可得．【解答】解：当q＝1时，S3＝3a3＝18符合题意当q≠1时由解得q＝﹣综上可知q＝1或﹣故选：C．【点评】本题主要考查了等比数列的性质．在解等比数列问题时要特别留意q＝1的情况．属于基础题．7．【分析】根据题意，利用函数f′（x）的图象，结合函数f（x）和f′（x）的关系，逐项判定，即可求解．【解答】解：对于A中，根据函数f′（x）的图象得，当x∈（﹣1，3）时，f′（x）≥0，所以函数f（x）在（﹣1，3）上单调递增，所以A正确；对于B中，根据函数f′（x）的图象知，在x＝0的左右两侧附近，可得f′（x）＞0，所以f（x）单调递增，则x＝0不是函数的极值点，所以B错误；对于C中，根据函数f′（x）的图象知，当x∈（0，3）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（3，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以x＝3是函数的一个极大值点，所以C正确；对于D中，根据函数f′（x）的图象知，f′（2）＝2，即曲线y＝f（x）在x＝2处的切线斜率为2，所以D正确．故选：B．【点评】本题主要考查导数知识的应用，属于中档题．8．【分析】把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，设这5份从小到依次为a1，a2，a3，a4，a5，则60＝，（a4+a5）＝a1+a2+a3，可得2a1+4d＝24，＝3a1+3d，联立解出．【解答】解：把60磅面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的两份之和的是较小的三份之和，设这5份从小到依次为a1，a2，a3，a4，a5，则60＝，（a4+a5）＝a1+a2+a3，∴2a1+4d＝24，＝3a1+3d，联立解得：d＝，a1＝．∴最小的1份为．故选：D．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．【分析】根据题意，设函数，利用导数判断单调性，从而得到数列{an}的单调性，求出最小项得解．【解答】解：根据题意，设函数，则其导数，所以当时，y′＜0，函数递减，当时，y′＞0，函数递增，对于数列，n∈N*，则有a1＞a2，a3＜a4＜a5＜⋯，又，，a2＜a3，则有，解得．故选：B．【点评】本题考查数列的函数特性，注意数列与函数的关系，属于基础题．10．【分析】k＝1时，利用导数求出函数得单调区间和极值，进而可判断A；k＝0时，借助导数工具判断ex﹣x﹣1≥0，结合三次函数的零点情况，分段求解不等式，即可判断B；结合B选项ex﹣x﹣1≥0，分别求出函数y＝ex﹣x﹣1，y＝x3﹣x的零点，在分类讨论即可判断C；举出例子，结合A选项即可判断D．【解答】解：对于A，当k＝1时，，当x≤1时，f（x）＝ex﹣x，f′（x）＝ex﹣1，当x＜0时，f′（x）＜0，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，1）上单调递增，所以f（x）≥f（0）＝1＞0，所以函数f（x）在（﹣∞，1]上没有零点，当x＞1时，f（x）＝x3﹣x+1，f′（x）＝3x2﹣1＞0，所以函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，所以当x＞1时，f（x）＞f（1）＝1，所以函数f（x）在（1，+∞）上没有零点，综上所述，当k＝1时，函数f（x）没有个零点，故A正确；对于B，k＝0时，，则，令，即，解得x∈（0，1），令h（x）＝ex﹣x﹣1（x≤0），h′（x）＝ex﹣1≤0（x≤0），即h（x）在x∈（﹣∞，0]上单调递减，于是h（x）≥h（0）＝0，即ex﹣x﹣1≥0，即ex﹣x﹣1＜0无解，综上可知，f（x）＜1的解集为（0，1），故B正确；对于C，，由B选项分析可知，函数y＝ex﹣x﹣1在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，所以ex﹣x﹣1≥0，x＝0取得等号，故k＜0时，ex﹣x﹣1＝0无解，x3﹣x＝0⇔x（x﹣1）（x+1）＝0，解得x＝±1或0，x3﹣x＝0在x＞k时有2个根，即x＝﹣1这个根需排除在外，则k≥﹣1，于是﹣1≤k＜0，当k≥0时，ex﹣x﹣1＝0有唯一解x＝0，于是x3﹣x＝0在x＞k时有1个根，即x＝1这个根需恰好被包含在内，故k＜1，即0≤k＜1，综上所述，k∈[﹣1，1），故C错误；对于D，由A选项得函数y＝ex﹣x在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，函数y＝x3﹣x+1在上单调递增，在上单调递减，当k＝2时，f（x）在（2，+∞）上单调递增，在（0，2）上单调递增，又e2﹣2﹣（23﹣2+1）＝e2﹣9＜0，即e2﹣2＜23﹣2+1，所以当k＝2时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，故D正确．故选：C．【点评】本题考查了函数的零点、导数的综合运用及转化思想，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11．【分析】先对f（x）求导，再结合导数的几何意义，即可求解．【解答】解：f（x）＝x2+x，则f'（x）＝2x+1，故＝f'（1）＝2+1＝3．故答案为：3．【点评】本题主要考查导数的运算，属于基础题．12．【分析】根据求解即可．【解答】解：由Sn为数列{an}的前n项和，且，得：当n＝1时，a1＝S1＝0，当n≥2时，，当n＝1时，上式成立，所以an＝2n﹣2，a5＝8．故答案为：8；2n﹣2．【点评】本题考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．13．【分析】求得可得f′（x）＝x2+2x，得出函数f（x）的单调性，求得函数的极小值，结合题意，列出不等式组，求得实数m的取值范围，得到答案．【解答】解：由函数，可得f′（x）＝x2+2x＝x（x+2），令f′（x）＞0，可得x＜﹣2或x＞0；令f′（x）＜0，可得﹣2＜x＜0，所以f（x）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）单调递增，在（﹣2，0）单调递减，当x＝0时，函数f（x）取得极小值，极小值为f（x）＝﹣2，令f（x）＝﹣2，即，即x＝﹣3或x＝0，要使得f（x）在区间（m，m+2）上存在最小值，则满足，解得﹣2＜m＜0，所以实数m的取值范围是（﹣2，0）．故答案为：﹣2；（﹣2，0）．【点评】本题主要考查利用导数求单调性和极值，属于中档题．14．【分析】根据{Sn}是递减数列，可以考虑该数列各项均为负数，再根据{an}是递增数列，可以联想到在（0，+∞）上是递增的函数，进而构造出数列．【解答】解：因为{Sn}是递减数列，可以考虑an＜0，而{an}是递增数列，可以构造an＝﹣，故答案为：an＝﹣．【点评】本题考查数列的单调性，数列的函数特性，是基础题．15．【分析】根据关系式，当n＝1时，即可求得a1的值，可判断①；由，可得，当n≥2时，，两式相比可得是等差数列，求得Sn可判断③；由Sn利用项与和的关系求得通项an可判断②；由，可求得Tn可判断④．【解答】解：因为，所以当n＝1时，S1+T1＝S1•T1，即，解得a1＝2或0，又Sn≠0，则a1≠0，所以a1＝2，故①正确；由，则Sn≠1，所以，当n≥2时，，所以，即，整理得，所以数列是以为首项，1为公差的等差数列，所以，则，所以，故③正确；当n≥2时，，又a1＝2不符合上式，所以，n∈N*，故②错误；又，所以Tn﹣Tn﹣1＝n+1﹣n＝1，n≥2，n∈N*，所以{Tn}为等差数列；故④正确．故答案为：①③④．【点评】本题主要考查了数列的递推关系，等差数列的通项公式的综合应用，属于中档题．三、解答题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16．【分析】（1）求得f′（x）＝x2﹣2x﹣3，分别求得f′（x）＞0和f′（x）＜0的解集，即可求解；（2）由（1）求得函数的极大值与极小值，以及f（﹣2）的值，进而求得函数的最值．【解答】解：（1）由函数，可得f′（x）＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1），令f′（x）＞0，解得x＜﹣1或x＞3；令f′（x）＜0，解得﹣1＜x＜3，所以函数f（x）递增区间为（﹣∞，﹣1），（3，+∞），递减区间为（﹣1，3）．（2）由函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（3，+∞）上单调递增，在（﹣1，3）上单调递减，所以，当x＝﹣1时，函数取得极大值，极大值为，当x＝3时，函数取得极小值，极小值为f（3）＝﹣8，又由，所以函数f（x）的最大值为，最小值为﹣8．【点评】本题主要考查了导数与单调性及最值关系的应用，属于基础题．17．【分析】（1）根据题意求出公比，即可得解；（2）根据题意求出首项与公差，再根据等差数列前n项和公式即可得解．【解答】解：（1）设公比为q，由a1＝1，a4＝8，得，所以q＝2，所以；（2）由（1）得b2＝a2＝2，b7＝a6＝32，设公差为d，则，解得，所以bn＝6n﹣10，所以．【点评】本题考查等比数列和等差数列的通项公式、求和公式，考查方程思想和运算能力，属于基础题．18．【分析】（1）由已知逐个计算即可得答案；（2）由（1）的计算结果可猜想出数列{an}的通项公式，利用数学归纳法证明即可得．【解答】解：（1）由a1＝0，且，得，，；（2）由（1）的计算结果可猜想，证明如下：当n＝1时，，等式成立；假设当n＝k时等式成立，即有，则当n＝k+1时，有．即当n＝k+1时，等式成立．综上所述，成立．【点评】本题考查数列递推式，训练了利用数学归纳法证明数列的通项公式，是中档题．19．【分析】（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，根据题意，列出方程组，求得a1，d的值，进而求得数列{an}的通项公式；（2）根据题意，分别选择①②③，求得数列{bn}的通项公式，利用等差、等比数列的求和公式，结合Sn+Tn＞42，列出不等式，即可求解．【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，因为a4＝8，S3＝12，可得，解得a1＝2，d＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n．（2）（ⅰ）若选择条件①，由bn+1＝bn+3，可得bn+1﹣bn＝3，又因为b1＝1，可得数列{bn}是首项为1，公差为3的等差数列，所以数列{bn}的通项公式为bn＝b1+（n﹣1）d＝3n﹣2；（ⅱ）由an＝2n，可得，又由bn＝3n﹣2，可得，因为Sn+Tn＞42，可得，即5n2+n﹣84＞0，又因为n∈N*，可得n＞4，所以n的最小值5．（ⅰ）若选择条件②：由bn+1＝3bn，可得，因为b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公比为3的等比数列，所以．（ⅱ）由an＝2n，可得，又由，可得，因为Sn+Tn＞42，可得，即2n（n+1）+3n＞85，经验证，当n＝3时，可得2×3×4+33＜85；当n＝4时，可得2×4×5+34＞85，所以使得Sn+Tn＞42成立时，n的最小值4．（ⅰ）若选择条件③：由Tn＝nbn，当n≥2时，可得Tn﹣1＝（n﹣1）bn﹣1，两式相减，可得Tn﹣Tn﹣1＝nbn﹣（n﹣1）bn﹣1＝bn，即bn＝bn﹣1，因为b1＝1，所以bn＝1．（ⅱ）由an＝2n，可得，又由bn＝1，可得Tn＝n，因为Sn+Tn＞42，可得n（n+1）+n＞42，即n2+2n﹣42＞0，解得或（舍去），又因为n∈N*，所以n＝6，即使得Sn+Tn＞42成立时，n的最小值6．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的通项与前n项和的关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．20．【分析】（1）设矩形花园的长为ym，结合xy＝750，进而求得a关于x的关系式；（2）由（1）知，得到，