2024北京大兴区高二（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京大兴高二（下）期中数学2024．4本试卷本试卷共页，共两部分，21道小题，满分150分。考试时间120分钟。在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号。3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答。第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）设函数，若，则实数的值为（A）（B）（C）（D）（2）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（A）（B）（C）（D）（3）已知函数，则等于（A）（B）（C）（D）（4）已知数列是等比数列，若，则的值为（A）（B）（C）（D）（5）已知函数在处的导数为，则“”是“是的极值点”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（6）已知数列满足若，则的值为(

)（A）（B）（C）（D）（7）已知数列满足，且，则的最小值是（A）（B）（C）（D）（8）函数的图象如图所示，则等于（A）（B）（C）（D）（9）“斐波那契数列”是由十三世纪意大利数学家斐波那契发现的，具体数列为即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和.已知数列为“斐波那契数列”，为数列的前项和，若，则（A）（B）（C）（D）（10）已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。（11）和的等差中项是

．（12）已知一个物体在运动过程中，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的函数关系为，则物体在到这段时间里的平均速度为

；物体在时的瞬时速度为

．（13）设为等差数列的前项和，公差为，若，则的一个整数值可以为

．（14）对于数列，定义数列为数列的“差数列”.若，数列的“差数列”是首项为，公比为的等比数列，则

；数列的前项和

．（15）设函数①若，则的最大值为

；②若无最大值，则实数的取值范围是

．

三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（16）（本小题共14分）设函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值．（17）（本小题共14分）设为等差数列的前项和，．（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）求；（Ⅲ）若成等比数列，求的值．（18）（本小题共14分）已知数列是首项为的等差数列，数列是公比为的等比数列，且数列的前项和为．再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，并解答下列问题：（Ⅰ）求数列和的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（19）（本小题共14分）已知函数．（Ⅰ）求的极值；（Ⅱ）设函数，当时，求证：．

（20）（本小题共14分）某工厂为扩大生产规模，今年年初新购置了一条高性能的生产线，该生产线在使用过程中的维护费用会逐年增加，第年的维护费用是万元，从第年到第年，每年的维护费用比上一年增加万元，从第年开始，每年的维护费用比上一年增加%．（Ⅰ）设第年该生产线的维护费用为，求的表达式；（Ⅱ）若该生产线前年每年的平均维护费用大于万元时，则需要在下一年年初更新生产线，求该生产线前年每年的平均维护费用，并判断第几年年初需要更新该生产线?（21）（本小题共15分）已知函数．（Ⅰ）求在区间上的最大值；（Ⅱ）求的零点个数．

参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）12345678910CDDDBBACBD二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）（12）；（13）(答案不唯一，满足)（14）；（15）；注：12、14、15题第一空3分，第二空2分.三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共14分）解：(Ⅰ)由题意知，，即切点为，又，所以，所以曲线在点处的切线方程为：，即.…………7分（Ⅱ），令，解得，或.当变化时，，的变化情况如表所示单调递增单调递减函数的极大值，，又，所以在区间上的最大值是，最小值是．…………7分（17）（共14分）解：（Ⅰ）由题意得解得故的通项公式为．…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．…………3分（=3\*ROMANIII）因为成等比数列，所以，即，又因为，则解得．

…………5分（18）（共14分）解：（Ⅰ）由题意，设等差数列的公差为，则，当时，，解得，所以，当时，，即，解得，所以．…………7分（Ⅱ）方案一：选择条件①由（Ⅰ）可得，，则，，两式相减，可得所以．方案二：选择条件②由（Ⅰ）可得，，则所以．方案三：选择条件③由（Ⅰ）可得，，则所以．

…………7分（19）（共14分）解：（Ⅰ）函数的定义域为.由题意，得，令，解得，当变化时，，的变化情况如表所示列表如下：单调递增极大值单调递减所以有极大值，无极小值；…………6分（Ⅱ）证明：，令，则．当时，，从而，又，所以，所以在上单调递增．所以，当时，．所以，当时，成立．………8分（20）（共14分）解：（Ⅰ）当时，数列是首项为，公差为的等差数列.所以，当时，数列是首项为，公比为的等比数列，又，所以，所以的表达式为………6分（Ⅱ）设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得，当时，，当时，由则所以，该生产线前n年每年平均的维护费用：当，数列为递增数列，当时，因为，所以数列也为递增数列．又，综上，数列为递增数列．又因为．所以，第10年年初需要更新该生产线．…………8分（21）（共15分）解：（Ⅰ）因为，所以，令，则，因为，所以，所以在上单调递增，即在上单调递增．又，故存在唯一，使得，当变化时，，的变化情况如表所示列表如下：单调递减极小值单调递增故为在上的极小值，又，故函数在区间上的最大值为．…