2024北京一七一中高一（下）期中数学试题及答案

试题PAGE1试题2024北京一七一中高一（下）期中数学(时长：120分钟总分值：150分)一､选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复平面内表示复数的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.的值是（）A. B. C. D.3.在△ABC中，，则等于（）ABCD4.已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（）A.A，B，D B.A，B，C C.B，C，D D.A，C，D5.已知为锐角，，则（）A. B. C.3 D.6.对函数的图象分别作以下变换： ①向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）； ②向左平移个单位，再将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）； ③将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位； ④将每个点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向左平移个单位； 其中能得到函数的图象的是 A.①③ B.②③ C.②④ D.①④7.已知函数（，）的图象如图所示，则的值为 A. B. C. D.8.如图所示，在四边形中，，E为的中点，且，则（）A．B．C．1D．29.“”是“”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.已知奇函数在上为单调减函数，又，为锐角三角形内角，则 A. B. C. D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)11.已知复数(为虚数单位)，则的共轭复数为

． 12.已知向量，，若与垂直，则

．13.在中，，则

．14.已知函数（，）在区间上单调，且对任意实数均有成立，则.15.一扇中式实木仿古正方形花窗如图1所示,该窗有两个正方形,将这两个正方形(它们有共同的对称中心与对称轴)单独拿出来放置于同一平面,如图2所示.已知AB=6分米,FG=3分米,点P在正方形ABCD的四条边上运动,当AE⋅AP取得最大值时,三．解答题:本题共6小题,共85分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知函数．（1）求的定义域．（2）若，且，求的值．17.已知点，，，是线段的中点．（1）求点和的坐标；（2）若是轴上一点，且满足，求点的坐标．18.如图所示，中，角的对边分别为，且满足.（1）求角的大小；（2）点为边上的一点，记，若，，求与的值.19.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）设，，分别为内角，，的对边，已知，，且，求的值.20.已知分别为内角，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④.（Ⅰ）满足有解三角形的序号组合有哪些？说明理由（Ⅱ）在（Ⅰ）所有组合中任选一组，并求对应的面积.（若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）21.若定义域的函数满足： ①，， ②，，．则称函数满足性质．（1）判断函数与是否满足性质，若满足，求出的值；（2）若函数满足性质判断是否存在实数，使得对任意，都有，并说明理由；（3）若函数满足性质，且．对任意的，都有，求函数的值域．

参考答案1.【答案】C

【解析】解：∵z=i⋅∴复数z在复平面内对应的点(−1,−3)位于第三象限．故选：C.根据已知条件，结合复数的乘法原则和复数的几何意义，即可求解．本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．2.【答案】B

【解析】解：cos故选：B.结合诱导公式及两角和的余弦公式进行化简即可求解．本题主要考查了诱导公式及两角和的余弦公式的应用，属于基础题．3.【答案】D

【解析】解：∵在△ABC中，A：B：C=1：2：3，∴设A=x，则B=2x，C=3x，由A+B+C=π，可得x+2x+3x=π，解之得x=∴A=π6，B=π3且∵sinA=ac因此，a：b：c=1：3：故选：D根据三角形内角和定理，结合A：B：C=1：2：3，算出A=π6，B=π3且C=π2，从而得出△ABC是直角三角形．由三角函数在直角三角形中的定义算出c=2a且b=本题给出三角形三个角的比值，求它的三条边之比．着重考查了三角形内角和定理、三角函数在直角三角形中的定义等知识，属于基础题．4.【答案】B

【解析】解：∵AD∴AD与AB又AD与AB有公共点A，∴A，B，D三点共线，故B正确；∵AC=AB∴A，B，C三点不共线，故A错误，又∵A，B，D三点共线，则A，C，D不共线，B，C，D不共线，故C，D错误．故选：B.证明三点共线，借助向量共线证明即可，故解题目标是验证由三点组成的两个向量共线即可得到共线的三点．本题主要考查了平面向量的线性运算，考查利用向量的共线来证明三点共线的，属于基础题．5.【答案】A

【解析】【分析】本题考查两角和的正切公式在三角函数求值中的应用，属于基础题．直接利用tanβ=解：因为tanα=所以tanβ=故选：A.6.【答案】C

【解析】解：①y=sin②y=sin③y=sin④y=故选：C.根据三角函数沿x轴的平移变换和伸缩变换，看哪个变换可由y=sinx得到本题考查了三角函数沿x轴方向的平移变换和伸缩变换，考查了计算能力，属于基础题．7.【答案】C

【解析】【分析】本题考查由y=Asin由点(0,2)在函数的图象上可求sinφ=22，结合范围|φ|<π2，可得φ=π4，又点(2π,−【解答】解：∵点(0,2)∴sin∵|φ|<π∴可得：φ=π又∵点(2π,−2)∴sin(2πω+π4)=−2∴解得ω=k−14，或ω=k−1则当k=1时，ω的值为1故选：C.8.【答案】C

【解析】【分析】本题考查了向量共线定理和向量的三角形法则、平面向量基本定理，属于基础题．利用向量共线定理和向量的三角形法则即可得出结果．【解答】解：∵E为BC的中点，∴BEBC∴BE=1又AE=xAB+yAD，故选：C.9.【答案】B

【解析】解：sinα=∴β=2kπ±(π2化为：α+β=π2+2kπ，k∈Z，或β−α=−∴“sinα=cosβ“是“α+β=故选：B.sinα=cosβ⇒cos(本题考查了三角函数方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10.【答案】C

【解析】解：∵奇函数y=f(x)在[−1,0]上为单调递减函数，∴f(x)在[0,1]上为单调递减函数，∴f(x)在[−1,1]上为单调递减函数，又α、β为锐角三角形的两内角，∴α+β>π∴α>π∴sin∴f(故选C.由“奇函数y=f(x)在[−1,0]上为单调递减函数”可知f(x)在[0,1]上为单调递减函数，再由“α、β为锐角三角形的两内角”可得到α+β>π2，转化为α>π题主要考查奇偶性和单调性的综合运用，还考查了三角函数的单调性．属中档题．11.【答案】12【解析】解：复数z=2−i所以z的共轭复数为1故答案为：1先利用复数的四则运算化简z，再利用共轭复数的概念求解．本题主要考查了复数的运算，考查了共轭复数的定义，属于基础题．12.【答案】2

【解析】【分析】本题考查向量数量积的坐标计算，关键是求出x的值．根据题意，由向量坐标计算公式可得2a−b的坐标，由向量垂直与向量数量积的关系可得(2【解答】解：根据题意，向量a=(1,x)，b则2a若2a−b与b解得：x=±则|a故答案为：2.13.【答案】π4或3π【解析】解：由正弦定理得，ABsin所以1sin解得sinB=又因为AC>AB，所以B>C，又B∈(0,π)，所以B=π4故答案为：π4或直接利用正弦定理求解．本题主要考查了正弦定理的应用，属于基础题．14.【答案】π6【解析】解：∵函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)

在区间(∴12且π3是f(x)的最大值点，4π3是函数由五点法作图可得1×π3+φ=故答案为：π由题意利用正弦函数的图象和性质，先求出ω，再根据五点法作图，可得φ的值．本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．15.【答案】2【解析】【分析】本题主要考查向量夹角的求法，考查向量数量积的运算与性质，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，分类讨论P点的位置，根据平面向量数量积的坐标表示可求出结果．【解答】解：以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系：则A(0,0)，E(32,AE=(32设P(x,y).AP=(x,y)，当y=0时，0≤x≤6，AE⋅AP=当x=6时，0≤y≤6，AE⋅AP=当y=6时，0≤x≤6，AE⋅AP=当x=0时，0≤y≤6，AE⋅AP=由以上可知，当x=6，y=6时，AE⋅AP取得最大值36，此时P(6,6)，设

AE与AP的夹角为θ，则cos故答案为：216.【答案】解：(Ⅰ)由题意可知sinx≠0∴x≠kπ(k∈Z)，∴f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}.(Ⅱ)f(x)=1−∵f(θ)=2∴sin又∵θ∈(π2,π)∴tan【解析】(Ⅰ)由sinx≠0即可求出f(x)(Ⅱ)先化简函数f(x)的解析式，再代入f(θ)=255，得到本题主要考查了三角函数的恒等变形及化简，考查了同角三角函数间的基本关系，是基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)∵A(5,−2)，B(−1,4)，M是线段AB的中点，∴M(5−1AB=(Ⅱ)设D(x,0)，则BD=(x+1,−4)，CM∵∴(x+1)⋅(−2)−(−4)⋅∴点D的坐标是(−3,0).

【解析】(Ⅰ)根据向量的运算性质计算即可；(Ⅱ)根据向量的线性运算计算即可．本题考查了向量的坐标运算，考查平行向量，是基础题．18.【答案】(本题满分为12分)解：(Ⅰ)∵3sinCcos∵sinC>0，∴∵0<B<π，∴B=π6…(Ⅱ)在△BCD中，∵CD∴2sin30∘=∵θ为钝角，∴∠ADC为锐角，∴cos∴在△ADC中，由余弦定理，可得：b=AD2【解析】(Ⅰ)由正弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanB=33，结合范围(Ⅱ)在△BCD中，由正弦定理可得CDsinB=BCsin∠BDC=asinθ，解得本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，诱导公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．19.【答案】解：(1)函数f(x)===sin令2kπ−π2≤2x+解得kπ−π3≤x≤kπ+所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+(2)△ABC中，f(A)=12，所以由0<A<π，得π6所以2A+π6=又AB⋅AC=9，所以cb又2a=b+c，由余弦定理得a2解得a=3【解析】(1)化函数f(x)为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求出f(x)的单调递增区间；(2)根据f(A)=12求出A的值，再根据AB⋅AC=9本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了平面向量和余弦定理应用问题，是中档题．20.【答案】解：(I)由①cosB=−6由②cos2A+2cos2解可得，cosA=−1(舍)或cos由A为三角形的内角可得A=1①②不能同时成立，所以满足有解三角形的序号组合有①③④或②③④，(Ⅱ)选择①③④，由余弦定理可得，b2所以8=6+c2+2解可得，c=S△ABC选②③④，由余弦定理可得，a2∴6=8+c解可得，c=S△ABC【解析】(I)结合二倍角公式进行化简可求A，B，从而可判断；(II)结合所选条件，结合余弦定理进行化简，然后结合三角形的面积公式可求．本题主要考查了二倍角公式，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档试题21.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=2x为增函数，满足性质①，对于②，由∀x∈R，f(x+T)=f(x)+1有2(x+T)=2x+1，所以2T=1，T=1所以函数f(x)=2x满足性质P(函数g(x)=sinx(Ⅱ)存在，理由如下：由∀x∈R，f(x+2)=f(x)+1.可得f(x+2n)=f(x+2n−2)+1=f(x+2n−4)+2=f(x+2n−6)+3=…=f(x)+n(n∈N∗)，即f(x+2n)−f(x)=n，令n=2021，得a=2n=4042.(Ⅲ)依题意，对任意的x∈(−2,2)，都有f(−x)=−f(x)，所以f(0)=0，因为函数f(x)满足性质P(4)，由①可得，在区间[−2,0]上有f(−2)≤f(x)≤f(0)，又因为f(−2)=0，所以0≤f(x