第07讲 二次根式（知识解读+题型精讲+随堂检测）（解析版）

第07讲二次根式知识点1：二次根式二次根式的概念一般地，我们把形如的式子的式子叫做二次根式，称为称为二次根号．二次根式满足条件：必须含有二次根号被开方数必须是非负数如二次根式满足条件：必须含有二次根号被开方数必须是非负数【题型1：根据二次根式概念判断二次根式】【典例1】（2023春•青秀区校级期中）下列式子属于二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意；B．不是二次根式，故本选项不符合题意；C．是二次根式，故本选项符合题意；D．中被开方数﹣7＜0，不是二次根式，故本选项不符合题意；故选：C．【变式1-1】（2022秋•诏安县期中）给出下列各式：；②6；；④（m≤0）；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解答】解：①∵3＞0，∴是二次根式；②6不是二次根式；②∵﹣12＜0，∴不是二次根式；④∵m≤0，∴﹣m≥0，∴是二次根式；⑤∵a2+1＞0，∴是二次根式；⑥是三次根式，不是二次根式．所以二次根式有3个．故选：B．【变式1-2】（2022春•顺平县期中）若是二次根式，则a，b应满足的条件是（）A．a，b均为非负数 B．a，b同号 C．a≥0，b＞0 D．【答案】D【解答】解：∵是二次根式，∴≥0，A、a、b可以都是负数，故本选项错误；B、a＝0可以，故本选项错误；C、a、b可以都是负数，故本选项错误；D、≥0，故本选项正确；故选：D．【题型2：根据二次根式的定义求字母的值】【典例2】（2022春•都安县校级月考）已知是整数，则正整数n的最小值为（）A．3 B．4 C．6 D．12【答案】A【解答】解：∵＝2，是整数，∴3n是一个完全平方数．∴n的最小值是3．故选：A．【变式2-1】（2022春•朝阳区期末）若是整数，则正整数n的最小值是（）A．3 B．7 C．9 D．63【答案】B【解答】解：∵＝3，且是整数；∴3是整数，即7n是完全平方数；∴n的最小正整数值为7．故选：B．【变式2-2】（2022春•桦南县校级月考）若是整数，则a能取的最小整数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【解答】解：∵成立，∴4a+1≥0，解得，又∵是整数，∴a能取的最小整数为0，故选：A．【变式2-3】（2022春•荔城区校级期中）已知是整数，则正整数n的最小值是6．【答案】6．【解答】解：24＝22×6，∵是整数，∴正整数n的最小值是6．故答案为：6．【变式2-4】（2022春•曾都区校级期中）已知是整数，则正整数n的最小值为2．【答案】见试题解答内容【解答】解：由题意可知：50n≥0，∴n≥0，∵＝5是整数，故是整数，∴n的最小值为2，故答案为：2知识点2：二次根式有无意义的条件条件字母表示二次根式有意义被开方数为非负数二次根式无意义被开方数为负数【题型3：根据二次根式有意义条件求范围】【典例3】（2023春•浏阳市期末）要使二次根式有意义，则x的取值范围为（）A．x≠8 B．x＞﹣8 C．x≥8 D．x≤8【答案】C【解答】解：根据题意得：x﹣8≥0，即x≥8．故选：C．【变式3-1】（2022•海曙区校级开学）若x＝2能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A．当x＝2时，x﹣1＝2﹣1＝1＞0，有意义，符合题意；B．当x＝2时，1﹣x＝1﹣2＝﹣1＜0，无意义，不符合题意；C．当x＝2时，x﹣3＝2﹣3＝﹣1＜0，无意义，不符合题意；D．当x＝2时，﹣x＝﹣2＜0，无意义，不符合题意；故选：A．【变式3-2】（2022•包头模拟）在y＝中，x的取值范围为x＞﹣3．【答案】见试题解答内容【解答】解：根据题意得：2x+6＞0，解得：x＞﹣3．故答案为：x＞﹣3．【变式3-3】（2022春•潼关县期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是x≥．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵二次根式有意义，∴2x﹣1≥0，解得：x≥．故答案为：x≥．【题型4：根据二次根式有意义求值】【典例4】（2023春•包河区校级月考）已知：，则x+y的值是（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【解答】解：由题意得，，∴x＝4，∴，∴x+y＝4+5＝9．故选：A．【变式4-1】（2023春•潮南区期中）已知x、y为实数，且y＝+1，则x+y的值是（）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【解答】解：∵x﹣2023≥0，2023﹣x≥0，∴x﹣2023＝0，∴x＝2023，∴y＝1，∴x+y＝2023+1＝2024，故选：C．【变式4-2】（2023春•上高县校级月考）若y＝﹣3，则（x+y）2021等于（）A．1 B．5 C．﹣5 D．﹣1【答案】D【解答】解：由题意可得：x﹣2≥0且2﹣x≥0，解得：x＝2，故y＝﹣3，则（x+y）2021＝﹣1．故选：D．【变式4-3】（2023•佛冈县二模）设x，y为实数，且，则（x﹣2y）2022的值是1．【答案】1．【解答】解：∵x，y为实数，且，∴，∴x＝3，∴y＝2，∴（x﹣2y）2022＝（3﹣2×2）2022＝（﹣1）2022＝1，故答案为：1知识点3：二次根式的性质1.的性质符号语言文字语言一个非负数的算数平方根是非负数提示有最小值，为02.的性质符号语言应用正用：逆用：若a≥0，则提示逆用可以再实数范围内分解因式：如3.的性质符号语言a（a＞0）0（a=0)-a(a＜0）文字语言任意一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值应用正用：逆用：【题型5：利用二次根式的性质化简（数字型）】【典例5】（2023春•虞城县期末）下列各式计算错误的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：A、，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C符合题意；D、，故D不符合题意；故选：C．【变式5-1】（2023春•金乡县期末）下列各式中，正确的是（）A． B．﹣ C． D．【答案】B【解答】解：∵＝|﹣3|＝3，∴A选项的结论不正确；∵﹣＝﹣3，∴B选项的结论正确；∵＝|﹣3|＝3，∴C选项的结论不正确；∵＝3，∴D选项的结论不正确，故选：B．【变式5-2】（2023春•肇源县期末）在下列各式中，计算正确的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A．＝3，因此选项A不符合题意；B．＝＝6，因此选项B不符合题意；C．﹣＝﹣（﹣3）＝3，因此选项C不符合题意；D．3﹣2＝（3﹣2）＝，因此选项D符合题意；故选：D．【变式5-3】（2023春•嘉定区期末）下列运算中，正确的是（）A．＝﹣3 B．﹣＝5 C．＝a D．＝5【答案】D【解答】解：A、＝3，故此选项错误；B、﹣＝﹣5，故此选项错误；C、＝|a|，故此选项错误；D、＝5，正确．故选：D．【题型6：根据二次根式性质化简（字母及复合型）】【典例6】（2023春•乌鲁木齐期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简+结果为（）A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定【答案】A【解答】解：由数轴可知：5＜a＜10，∴a﹣4＞1，a﹣11＜﹣1，∴原式＝|a﹣4|+|a﹣11|＝（a﹣4）﹣（a﹣11）＝a﹣4﹣a+11＝7，故选：A．【变式6-1】（2023春•莱芜区期末）实数a在数轴上对应点的位置如图所示，则+1﹣|a﹣1|＝​（）A．2 B．﹣2a C．2a D．2a+2【答案】C【解答】解：由题意得，0＜a＜1，∴原式＝a+1﹣（1﹣a）＝a+1﹣1+a＝2a．故选：C．【变式6-2】（2023春•合川区期末）实数m对应的点在数轴上的位置如图，则化简的结果为（）A．2m﹣9 B．﹣5 C．5 D．9﹣2m【答案】C【解答】解：由数轴可得3＜m＜4，那么m﹣2＞0，m﹣7＜0，原式＝|m﹣2|+|m﹣7|＝m﹣2+7﹣m＝5，故选：C．【变式6-3】（2022秋•恩施市期中）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果是（）A．﹣2b B．﹣2a C．0 D．2b﹣2a【答案】A【解答】解：由数轴可得：a＜0＜b，a﹣b＜0，∴原式＝|a|﹣|b|﹣|a﹣b|＝﹣a﹣b+a﹣b＝﹣2b．故选：A．【变式6-4】（2023•宁南县校级模拟）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：根据数轴图可知a﹣b＜0，a+b＜0，∴＝＝＝＝＝．故选：C．【题型7：根据参数范围及二次根式的性质化简二次根式】【典例7】（2023•新化县三模）当1＜a＜2时，代数式+|a﹣2|的值是（）A．﹣1 B．1 C．2a﹣3 D．3﹣2a【答案】B【解答】解：+|a﹣2|，＝|1﹣a|+|a﹣2|，＝a﹣1+2﹣a，＝1，故选：B．【变式7-1】（2023春•禹州市期中）已知1＜a＜2，则化简的结果为（）A．2a﹣4 B．4﹣2a C．2 D．﹣2【答案】C【解答】解：∵1＜a＜2，∴＝3﹣a+a﹣1＝2．故选：C．【变式7-2】（2023春•莘县期末）若2＜a＜3，则等于（）A．5﹣2a B．1﹣2a C．2a﹣5 D．2a﹣1【答案】C【解答】解：∵2＜a＜3，∴＝a﹣2﹣（3﹣a）＝a﹣2﹣3+a＝2a﹣5．故选：C．【题型8：含隐含条件的参数范围化简二次根式】【典例8】（2023春•赵县期末）已知，ab＞0，化简二次根式a的正确结果是（）A． B． C．﹣ D．﹣【答案】D【解答】解：∵ab＞0，∴a＝a×＝﹣．故选：D．【变式8-1】（2023春•张店区期中）把根号外的因式移入根号内，化简的结果是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：由已知可得，x﹣1＜0，即1﹣x＞0，所以，＝﹣＝﹣．故选：D．【变式8-2】（2022春•阿拉善左旗期末）若xy＜0，则化简后的结果是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵x2y≥0，∴y≥0，∵xy＜0，∴x＜0，y＞0，∴＝﹣x．故选：D．【变式8-3】（2023春•蓬莱区期末）化简二次根式得（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵二次根式有意义，∴3﹣x＞0，＝＝＝＝故选：C．1．（2022春•宁波期中）要使二次根式有意义，x的值可以是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【答案】A【解答】解：由题意可知：x﹣2≥0，∴x≥2，故选：A．2．（2022春•重庆期中）下列式子一定是二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵x2≥0，∴x2+2≥2，∴一定是二次根式，而、和中的被开方数均不能保证大于等于0，故不一定是二次根式，故选：C．3．（2022春•澄城县期末）若是整数，则正整数n的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【解答】解：∵＝＝3，且是整数；∴3是整数，即7n是完全平方数；∴n的最小正整数值为7．故选：D．4．（2022•宁海县校级开学）若x，y为实数，且++2y＝4，则x+y的值为（）A．2 B．3 C．5 D．不确定【答案】B【解答】解：由题意，得x﹣1≥0，1﹣x≥0，解得x＝1，2y＝4y＝2．x+y＝1+2＝3．故选：B．5．（2022秋•福田区校级期中）在下列各式中，计算正确的是（）A．＝﹣9 B．3＝3 C．（﹣）2＝﹣2 D．＝﹣1【答案】D【解答】解：A．＝9，故此选项不合题意；B．3﹣＝2，故此选项不合题意；C．（﹣）2＝2，故此选项不合题意；D．＝﹣1，故此选项符合题意．故选：D．6．（2022秋•安溪县校级月考）把代数式（a﹣1）中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（）A．﹣ B． C． D．﹣【答案】A【解答】解：（a﹣1）＝﹣（1﹣a）＝﹣．故选：A．7．（2022春•大观区校级期中）实数a，b在数轴上的对应点如图所示，化简+|a+b|的结果为（）A．2a﹣b B．﹣3b C．b﹣2a D．3b【答案】B【解答】解：根据数轴可知b＜a＜0，且|b|＞|a|，所以a﹣2b＞0，a+b＜0，∴+|a+b|＝﹣（a+b）＝a﹣2b﹣a﹣b＝﹣3b．故选：B．8．（2022春•曾都区校级期中）把x根号外的因数移到根号内，结果是（）A． B． C．﹣ D．﹣【答案】C【解答】解：由x可知x＜0，所以x＝﹣＝﹣，故选：C．9．（2022春•博山区校级期中）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简+﹣的结果是（）A．0 B．﹣2 C．﹣2a D．2b【答案】B【解答】解：由题意得：a＜﹣1，b＞1，∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴原式＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+b﹣1﹣（b﹣a）＝﹣a﹣1+b﹣1﹣b+a＝﹣2．故选：B．10．（2022春•安新县期末）若＝3﹣b，则b满足的条件是（）A．b＞3 B．b＜3 C．b≥3 D．b≤3【答案】D【解答】解：∵＝3﹣b，∴3﹣b≥0，解得：b≤3．故选：D．11．（2022春•定远县校级期末）如果y＝++5，那么yx的值是25．【答案】25．【解答】解：∵x﹣2≥0，2﹣x≥0，∴x＝2，∴y＝5，∴yx＝52＝25．故答案为：25．12．（2022春•隆安县期中）阅读下面解题过程，并回答问题．化简：解：由隐含条件1﹣3x≥0，得x∴1﹣x＞0∴原式＝（1﹣3x）﹣（1﹣x）＝1﹣3x﹣1+x＝﹣2x按照上面的解法，试化简：．【答案】见试题解答内容【解答】解：由隐含条件2﹣x≥0，得x≤2，则x﹣3＜0，所以原式＝|x﹣3|﹣（2﹣x）＝﹣（x﹣3）﹣2+x＝﹣x+3﹣2+x＝1．13．（2022春•海淀区期中）阅读下列解题过程例：若代数式的值是2，求a的取值范围．解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣