《高考备考指南 理科数学》课件-第11章 第1讲

计数原理、概率、随机变量及其分布第十一章第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理【考纲导学】1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．会用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断1两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有__________．在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要__________．做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有N＝______种不同的方法完成这件事共有N＝______种不同的方法两类方案两个步骤m＋nm×n1．李芳有4件不同颜色的衬衣，3件不同花样的裙子，另有两套不同样式的连衣裙．“五一”节需选择一套服装参加歌舞演出，则李芳不同的选择方式有(

)A．24种 B．14种C．10种 D．9种【答案】B3．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{5,6,7}，C＝{8,9}．现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成的集合的个数为(

)A．24个 B．36个C．26个 D．27个【答案】C4．(教材习题改编)5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，则不同的报名方法有________种．【答案】321．分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．2．混合问题一般是先分类再分步．3．分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)：(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．(

)(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．(

)(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．(

)(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．(

)【答案】(1)×

(2)√

(3)√

(4)×课堂考点突破2分类加法计数原理的应用

(1)高三一班有学生50人，男生30人，女生20人；高三二班有学生60人，男生30人，女生30人；高三三班有学生55人，男生35人，女生20人．①从高三一班或二班或三班中选一名学生任学生会主席，有________种不同的选法；②从高三一班、二班男生中，或从高三三班女生中选一名学生任学生会体育部长，有________种不同的选法．【答案】(1)①165

②80

(2)5

(3)20【解析】(1)①完成这件事有三类方法：第一类，从高三一班任选一名学生，共有50种选法；第二类，从高三二班任选一名学生，共有60种选法；第三类，从高三三班任选一名学生，共有55种选法．根据分类加法计数原理，任选一名学生任学生会主席共有50＋60＋55＝165(种)选法．②完成这件事有三类方法：第一类，从高三一班男生中任选一名共有30种选法；第二类，从高三二班男生中任选一名共有30种选法；第三类，从高三三班女生中任选一名共有20种选法．综上知，共有30＋30＋20＝80(种)选法．(2)分3类：第一类，直接由A到O，有1种走法；第二类，中间过一个点，有A→B→O和A→C→O2种不同的走法；第三类，中间过两个点，有A→B→C→O和A→C→B→O2种不同的走法，由分类加法计数原理可得共有1＋2＋2＝5种不同的走法．(3)当m＝1时，n＝2,3,4,5,6,7，共6种；当m＝2时，n＝3,4,5,6,7，共5种；当m＝3时，n＝4,5,6,7，共4种；当m＝4时，n＝5,6,7，共3种；当m＝5时，n＝6,7，共2种，故共有6＋5＋4＋3＋2＝20种．【易错警示】利用分类加法计数原理解题时的注意事项：(1)根据问题的特点确定一个合适的分类标准，分类标准要统一，不能遗漏；(2)分类时，注意完成这件事件的任何一种方法必须属于某一类，不能重复．【跟踪训练】1．袋中有大小相同的5个球，分别标有1,2,3,4,5五个号码，现在有放回抽取的条件下依次取出两个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能取值的个数是(

)A．5

B．9

C．10

D．25【答案】B

【解析】根据题意，号码之和可能的情况为：2,3,4,5,6,7,8,9,10，共9种．故选B．2．(2016年红桥区测试)某同学从4本不同的科普杂志，3本不同的文摘杂志，2本不同的娱乐新闻杂志中任选一本阅读，则不同的选法共有(

)A．24种 B．9种C．3种 D．26种【答案】B

【解析】共有4＋3＋2＝9种不同的选法，故选B．分步乘法计数原理的应用

有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；(2)每项限报一人且每人至多参加一项；(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．【解析】(1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36＝729(种)．(2)每项限报一人且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种)．【规律方法】利用分步乘法计数原理的原则：(1)要按事件发生的过程合理分步，即考虑分步的先后顺序．(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这个事件．(3)对完成各步的方法数要准确确定．【跟踪训练】3．某城市的电话号码，由六位升为七位(首位数字均不为零)，则该城市可增加的电话部数是(

)A．9×8×7×6×5×4×3B．8×96C．9×106D．81×105【答案】D

【解析】由题意知本题是一个分步计数问题，电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9×105部，同理，升为七位数字时为9×106部．∴可增加的电话部数是9×106－9×105＝81×105.故选D．两个原理的综合应用【考向分析】两个计数原理的应用是高考命题的一个热点，以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题．常见命题角度有：(1)与数字有关的问题；(2)选派或分配问题；(3)涂色问题．【解析】(1)由于丙、丁两位操作人员的技术问题，要完成“从4个操作人员中选3人去操作这三种型号的电脑”这件事，则甲、乙两人至少要选派一人，可分四类：第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作的电脑的型号，有2×2＝4(种)方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作的电脑的型号有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作的电脑的型号只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法．根据分类加法计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8(种)选派方法．(2)①第一节课若安排A，则第四节课只能安排C，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有4×3＝12(种)排法．②第一节课若安排B，则第四节课可由A或C上，第二节课从剩余4人中任选1人，第三节课从剩余3人中任选1人，共有2×4×3＝24(种)排法．因此不同的安排方案共有12＋24＝36(种)．123456789【答案】D

【解析】首先看图形中的3,5,7，有3种可能，当1与5颜色相同时，2,4共有4种可能，当1与5颜色不同时，有2种可能，1,4共1种可能，共6种可能.6,8及9与2,4及1一样有6种可能，故符合条件的所有涂法共有3×6×6＝108种，故选D．【规律方法】(1)注意在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步．在分步时可能又用到分类加法计数原理．(2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化．课后感悟提升32个区别——两个计数原理的区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一每类办法都能独立完成这件事．它是独立的、一次的且每次得到的是最后的结果，只需一种方法就完成每一步得到的只是其中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步都不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事区别二各类办法之间是互斥的，并列的，独立的各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏3个注意点——利用计数原理的三个注意点(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法；(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律；(3)复杂问题一般是先分类再分步．1．(2014年辽宁)6把椅子排成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(

)A．144

B．120C．72

D．24【答案】D

【解析】使用“插空法”．第一步，三个人先坐成一排，有A＝6种；第二步，由于三个人必须隔开，因此必须先在1号位置与2号位置之间摆放一张凳子，2号位置与3号位置之间摆放一张凳子，剩余一张凳子可以选择三个人的左右共4个空档，随便摆放即可，即有4种办法．根据分步计数原理，共有6×4＝24种．故选D．2．(2014