《高考备考指南 理科数学》课件-第8章 第7讲

立体几何第八章第7讲立体几何中的向量方法(二)【考纲导学】1．能用向量方法解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角的计算问题．2．了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．栏目导航01课前基础诊断03课后感悟提升02课堂考点突破04配套训练课前基础诊断13．求二面角的大小(1)如图①，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝____________.(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉．图①

图②

图③

1．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为(

)A．45°

B．135°C．45°或135°

D．90°【答案】C

【解析】分别以DA、DC、DD1所在直线为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系如图．设正方体的棱长为2，得C1(0,2,2)，E(1,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)4．(2017年惠州模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同．2．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．【答案】(1)×

(2)×

(3)×

(4)√课堂考点突破2求异面直线所成的角

如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点E是正方形BCC1B1的中心，点F，G分别是棱C1D1，AA1的中点，设点E1、G1分别是点E，G在平面DCC1D1内的正投影．(1)证明：直线FG1⊥平面FEE1；(2)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值．【规律方法】(1)向量法求异面直线所成的角的方法有两种①基向量法：利用线性运算．②坐标法：利用坐标运算．(2)注意向量的夹角与异面直线所成角的区别当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．利用向量求直线与平面所成的角

如图所示，在直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD＝90°，AC⊥BD，BC＝1，AD＝AA1＝3.(1)证明：AC⊥B1D；(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值．【解析】(1)证明：方法一：∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BB1.又AC⊥BD，∴AC⊥平面BB1D.又B1D⊂平面BB1D，从而AC⊥B1D.【规律方法】利用平面的法向量求线面角的注意点(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角即为所求．(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求．【跟踪训练】2．(2016年郑州二模)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC＝60°，∠BCA＝90°.(1)求证：A1B⊥AC1；(2)已知点E是AB的中点，BC＝AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．【解析】(1)证明：取AC的中点O，连接A1O，因为四边形AA1C1C是菱形，且∠A1AC＝60°，所以△A1AC为等边三角形．所以A1O⊥AC.又平面ABC⊥平面AA1C1C，所以A1O⊥平面ABC.所以A1O⊥BC.又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C.所以AC1⊥BC.在菱形AA1C1C中，AC1⊥A1C，所以AC1⊥平面A1BC.所以A1B⊥AC1.利用空间向量求二面角

(2016年天津一模)如图所示，在四棱锥A－EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点．【规律方法】利用向量求二面角的方法(1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．(2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．【跟踪训练】3．(2016年株洲一模)如图所示，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB，且F是CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE；(3)求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．(2)证明：∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD.∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，∴DE⊥平面ACD，又AF⊂平面ACD，∴DE⊥AF.又AF⊥CD，CD∩DE＝D，∴AF⊥平面CDE.又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE.又∵BP⊂平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.课后感悟提升32个关系——异面直线所成的角及二面角与向量夹角的关系(1)异面直线所成角与向量夹角的关系当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角．(2)二面角与向量夹角的关系设二面角的