第05讲 五种直线方程（九大题型）（原卷版）

第05讲五种直线方程【题型归纳目录】题型一：点斜式直线方程题型二：斜截式直线方程题型三：两点式直线方程题型四：截距式直线方程题型五：中点坐标公式题型六：直线的一般式方程题型七：直线方程的综合应用题型八：判断动直线所过定点题型九：直线与坐标轴形成三角形问题【知识点梳理】知识点一：直线的点斜式方程方程由直线上一定点及其斜率决定，我们把叫做直线的点斜式方程，简称点斜式．知识点诠释：1、点斜式方程是由直线上一点和斜率确定的，点斜式的前提是直线的斜率存在．点斜式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线；2、当直线的倾斜角为时，直线方程为；3、当直线倾斜角为时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表示．这时直线方程为：．4、表示直线去掉一个点；表示一条直线．知识点二：直线的斜截式方程如果直线的斜率为，且与轴的交点为，根据直线的点斜式方程可得，即．我们把直线与轴的交点的纵坐标叫做直线在轴上的截距，方程由直线的斜率与它在轴上的截距确定，所以方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．知识点诠释：1、b为直线在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；2、斜截式方程可由过点的点斜式方程得到；3、当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式．4、斜截式的前提是直线的斜率存在．斜截式不能表示平行于y轴的直线，即斜率不存在的直线．5、斜截式是点斜式的特殊情况，在方程中，是直线的斜率，是直线在轴上的截距．知识点三：直线的两点式方程经过两点（其中）的直线方程为，称这个方程为直线的两点式方程，简称两点式．知识点诠释：1、这个方程由直线上两点确定；2、当直线没有斜率（）或斜率为时，不能用两点式求出它的方程．3、直线方程的表示与选择的顺序无关．4、在应用两点式求直线方程时，往往把分式形式通过交叉相乘转化为整式形式，从而得到的方程中，包含了或的情况，但此转化过程不是一个等价的转化过程，不能因此忽略由、和、是否相等引起的讨论．要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．知识点四：直线的截距式方程若直线与轴的交点为，与y轴的交点为，其中，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程．a叫做直线在x轴上的截距，b叫做直线在y轴上的截距．知识点诠释：1、截距式的条件是，即截距式方程不能表示过原点的直线以及不能表示与坐标轴平行的直线．2、求直线在坐标轴上的截距的方法：令x=0得直线在y轴上的截距；令y=0得直线在x轴上的截距．知识点五：直线方程几种表达方式的选取在一般情况下，使用斜截式比较方便，这是因为斜截式只需要两个独立变数，而点斜式需要三个独立变数．在求直线方程时，要根据给出的条件采用适当的形式．一般地，已知一点的坐标，求过这点的直线，通常采用点斜式，再由其他条件确定斜率；已知直线的斜率，常用斜截式，再由其他条件确定在y轴上的截距；已知截距或两点选择截距式或两点式．从结论上看，若求直线与坐标轴所围成的三角形的面积或周长，则选择截距式求解较方便，但不论选用哪一种形式，都要注意各自的限制条件，以免遗漏．知识点六：直线方程的一般式关于x和y的一次方程都表示一条直线．我们把方程写为，这个方程（其中A、B不全为零）叫做直线方程的一般式．知识点诠释：1、A、B不全为零才能表示一条直线，若A、B全为零则不能表示一条直线．当时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．当，时，方程可变形为，即，它表示一条与轴垂直的直线．由上可知，关于、的二元一次方程，它都表示一条直线．2、在平面直角坐标系中，一个关于、的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于、的一次方程．知识点七：直线方程的不同形式间的关系名称方程的形式常数的几何意义适用范围点斜式是直线上一定点，是斜率不垂直于轴斜截式是斜率，是直线在y轴上的截距不垂直于轴两点式，是直线上两定点不垂直于轴和轴截距式是直线在x轴上的非零截距，是直线在y轴上的非零截距不垂直于轴和轴，且不过原点一般式、、为系数任何位置的直线直线方程的五种形式的比较如下表：知识点诠释：在直线方程的各种形式中，点斜式与斜截式是两种常用的直线方程形式，要注意在这两种形式中都要求直线存在斜率，两点式是点斜式的特例，其限制条件更多，应用时若采用的形式，即可消除局限性．截距式是两点式的特例，在使用截距式时，首先要判断是否满足“直线在两坐标轴上的截距存在且不为零”这一条件．直线方程的一般式包含了平面上的所有直线形式．一般式常化为斜截式与截距式．若一般式化为点斜式，两点式，由于取点不同，得到的方程也不同．【典例例题】题型一：点斜式直线方程【例1】（2023·高二课时练习）一直线过点，它的倾斜角等于直线的倾斜角的两倍，则这条直线的点斜式方程为______．【对点训练1】（2023·山东青岛·高二校考阶段练习）过点斜率为3的直线的点斜式方程是______.【对点训练2】（2023·高二课时练习）已知直线l经过点，倾斜角为，且，则直线l的点斜式方程为______．题型二：斜截式直线方程【例2】（2023·高二课时练习）倾斜角为，且过点的直线斜截式方程为__________．【对点训练3】（2023·天津北辰·高二统考期中）经过点，且倾斜角为的直线的斜截式方程为______．【对点训练4】（2023·上海浦东新·高二华师大二附中校考阶段练习）过点且与坐标轴围成的三角形面积为1的直线l的斜截式方程是______．题型三：两点式直线方程【例3】（2023·上海金山·高二华东师范大学第三附属中学校考阶段练习）已知，，则直线的两点式方程为__．【对点训练5】（2023·高二课时练习）过点，直线的两点式方程为______．【对点训练6】（2023·高二课时练习）已知直线l的两点式方程为，则l的斜率为______．题型四：截距式直线方程【例4】（2023·高二课时练习）过两点，的截距式方程为（

）A． B． C． D．【对点训练7】（2023·高二课时练习）直线的截距式方程是（

）A． B．C． D．【对点训练8】（2023·全国·高二专题练习）已知三顶点坐标，为的中点，为的中点，则中位线所在直线的截距式方程为()A． B．C． D．题型五：中点坐标公式【例5】（2023·重庆永川·高二重庆市永川北山中学校校考期末）直线过点且与轴､轴分别交于，两点，若恰为线段的中点，则直线的方程为__________.【对点训练9】（2023·安徽亳州·高二安徽省亳州市第一中学校考阶段练习）已知点，，线段PQ的中点为，则直线PQ的方程为______.题型六：直线的一般式方程【例6】（2023·高二课时练习）过点且在坐标轴上的截距相等的直线一般式方程为__________．【对点训练10】（2023·新疆喀什·高二新疆维吾尔自治区喀什第二中学校考期末）过点的直线方程（一般式）为_____．【对点训练11】（2023·上海浦东新·高二校考期末）经过点且斜率为2的直线的一般式方程为__．题型七：直线方程的综合应用【例7】（2023·江苏·高二假期作业）已知直线和直线都过点，求过点和点的直线方程.【对点训练12】（2023·江苏·高二假期作业）已知在第一象限，若，，，，求：(1)AB边所在直线的方程；(2)AC边所在直线的点斜式方程.【对点训练13】（2023·江西九江·高二校考阶段练习）已知的三个顶点分别为，，，求边上的中线所在直线的方程．题型八：判断动直线所过定点【例8】（2023·高二课时练习）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（

）A． B． C． D．【对点训练14】（2023·高二课时练习）不论m取何值，直线都过定点（

）A． B． C． D．【对点训练15】（2023·高二课时练习）直线恒过定点（

）A． B． C． D．题型九：直线与坐标轴形成三角形问题【例9】（2023·江苏·高二假期作业）求经过点且与两坐标轴所围成的三角形面积为的直线的方程.【对点训练16】（2023·浙江杭州·高二学军中学校考期中）已知直线的方程为：.(1)求证：不论为何值，直线必过定点；(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程.【对点训练17】（2023·全国·高二专题练习）已知直线的方程为：．(1)求证：不论为何值，直线必过定点；(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．【过关测试】一、单选题1．（2023·高二校考课时练习）若直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，则实数的值为（

）A．2 B．4 C． D．2．（2023·高二校考课时练习）若直线l的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，且直线l经过点,则直线l的方程为()A． B． C． D．3．（2023·四川泸州·高二统考期末）直线l经过点，在x轴上的截距的取值范围是，则其斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．4．（2023·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知直线方程：，若不经过第二象限，则的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（2023·上海浦东新·高二统考期中）若直线l经过点、，则以下不是直线l的方程的为（

）A． B．C． D．6．（2023·河南平顶山·高二统考期末）已知直线l过点且方向向量为，则l在x轴上的截距为（

）A． B．1 C． D．57．（2023·上海·高二专题练习）如果且，那么直线不经过第（）象限A．一 B．二 C．三 D．四8．（2023·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知向量，，且．若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（

）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·江苏·高二假期作业）过点，且斜率的直线方程为（

）A． B．C． D．10．（2023·贵州·高二校联考阶段练习）对于直线：，下列说法错误的是（

）A．直线恒过定点B．直线斜率必定存在C．时直线与两坐标轴围成的三角形面积为D．时直线的倾斜角为11．（2023·山东日照·高二校考阶段练习）下面说法中错误的是（）A．经过定点的直线都可以用方程表示B．经过定点的直线都可以用方程表示C．不经过原点的直线都可以用方程表示D．经过任意两个不同的点、的直线都可以用方程表示12．（2023·湖南益阳·高二统考期末）已知直线，其中为实常数，则（

）A．直线过一定点B．无论m取何值，直线不经过原点C．当时，直线与轴交于它的负半轴D．当时，直线与坐标轴围成的三角形的面积是三、填空题13．（2023·江苏·高二假期作业）直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距小1，且过定点，则直线l的方程为________________.14．（2023·江苏·高二假期作业）已知直线在x轴上的截距是它在y轴上截距的4倍，则________.15．（2023·高二课时练习）已知直线经过点，且它在x轴上的截距为1，则直线的方程为__________．16．（2023·浙江嘉兴·高二统考期末）已知直线与直线和的交点分别为，若点是线段的中点，则直线的方程为_______.四、解答题17．（2023·高二课时练习）已知直线l经过点，，求直线l的方程，并求直线l在y轴上的截距.18．（2023·江苏·高二假期作业）如图，射线OA、OB分别与x轴成45°角和30°角，过点作直线AB分别与OA，OB交于点A、B，当AB的中点为P时，求直线AB的方程.

19．（2023·江苏·高二假期作业）已知在第一象限的中，，，，，求直线BC