高考数学复习第八章立体几何初步专题探究课四高考中立体几何问题的热点题型

1/37高考导航1.立体几何是高考考查主要内容，每年高考试题中基本上都是“一大一小”两题，即一个解答题，一个选择题或填空题，题目难度中等偏下；2.高考试题中选择题或填空题主要考查学生空间想象能力及计算能力，解答题则主要采取“论证与计算”相结合模式，即首先是利用定义、定理、公理等证实空间线线、线面、面面平行或垂直，再利用空间向量进行空间角计算，重在考查学生逻辑推理能力及计算能力，热点题型主要有平面图形翻折、探索性问题等；3.处理立体几何问题要用数学思想方法主要有：(1)转化与化归(空间问题转化为平面问题)；(2)数形结合(依据空间位置关系利用向量转化为代数运算).2/37热点一空间点、线、面位置关系及空间角计算(教材VS高考)

空间点、线、面位置关系通常考查平行、垂直关系证实，普通出现在解答题第(1)问，解答题第(2)问常考查求空间角，普通都能够建立空间直角坐标系，用空间向量坐标运算求解.3/374/37(1)证实：直线CE∥平面PAB；(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M－AB－D余弦值.教材探源本题源于教材选修2－1P109例4，在例4基础上进行了改造，删去了例4第(2)问，引入线面角求解.5/37满分解答

(1)证实取PA中点F，连接EF，BF，因为E是PD中点，所以EF∥AD，6/377/378/379/3710/37❶得步骤分：抓住得分点解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，作辅助线→证实线线平行→证实线面平行；第(2)问中，建立空间直角坐标系→依据直线BM和底面ABCD所成角为45°和点M在直线PC上确定M坐标→求平面ABM法向量→求二面角M－AB－D余弦值.❷得关键分：(1)作辅助线；(2)证实CE∥BF；(3)求相关向量与点坐标；(4)求平面法向量；(5)求二面角余弦值，都是不可少过程，有则给分，无则没分.❸得计算分：解题过程中计算准确是得满分根本确保，如(得分点4)，(得分点5)，(得分点6)，(得分点7).11/37利用向量求空间角步骤第一步：建立空间直角坐标系.第二步：确定点坐标.第三步：求向量(直线方向向量、平面法向量)坐标.第四步：计算向量夹角(或函数值).第五步：将向量夹角转化为所求空间角.第六步：反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范.12/3713/37解

(1)在Rt△ADC中，∠ADC为直角，14/37又AF∥CD，AF∩AG＝A，∴平面CDM∥平面AFG，又CM

平面CDM，∴CM∥平面AFG.(2)分别以DA，AF，AP为x，y，z轴正方向，A为原点，建立空间直角坐标系A－xyz，如图所表示，15/3716/37热点二立体几何中探索性问题

这类试题普通以解答题形式展现，常包括线、面平行、垂直位置关系探究或空间角计算问题，是高考命题热点，普通有两种处理方式： (1)依据条件作出判断，再深入论证； (2)利用空间向量，先假设存在点坐标，再依据条件判断该点坐标是否存在.17/37(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点位置，并证实；若不存在，说明理由.18/37∴PA2＋AD2＝PD2，即PA⊥AD.又PA⊥CD，AD∩CD＝D，AD，CD

平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD.19/37设平面AEC法向量为n＝(x，y，z)，20/37探究提升

(1)对于存在判断型问题求解，应先假设存在，把要成立结论看成条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点坐标是否有解，是否有要求范围内解”等.(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.21/37【训练2】

(·河北“五个一”名校二模)如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，四边形BFED是以BD为直角腰直角梯形，DE＝2BF＝2，平面BFED⊥平面ABCD. (1)求证：AD⊥平面BFED；22/37(1)证实在梯形ABCD中，∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠BCD＝120°，∴AB＝2，在△DCB中，由余弦定理得BD2＝DC2＋BC2－2DC·BCcos∠BCD＝3，∴AB2＝AD2＋BD2，∴BD⊥AD.∵平面BFED⊥平面ABCD，平面BFED∩平面ABCD＝BD，AD

平面ABCD，∴AD⊥平面BFED.23/37(2)解存在.理由以下：假设存在满足题意点P，∵AD⊥平面BFED，∴AD⊥DE，以D为原点，DA，DB，DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所表示空间直角坐标系，24/3725/37设平面PAB法向量为m＝(x，y，z)，26/37热点三立体几何中折叠问题

将平面图形沿其中一条或几条线段折起，使其成为空间图形，这类问题称为立体几何中折叠问题，折叠问题常与空间中平行、垂直以及空间角相结合命题，考查学生空间想象力和分析问题能力.27/3728/37(1)证实由已知得AC⊥BD，AD＝CD.29/3730/37所以可取m＝(4，3，－5).设n＝(x2，y2，z2)是平面ACD′法向量，31/37探究提升

立体几何中折叠问题，关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系改变情况，普通地翻折后还在同一个平面上性质不发生改变，不在同一个平面上性质发生改变.32/37(1)证实：CD⊥平面A1OC；(2)若平面A1BE⊥平面BCDE，求直线BD与平面A1BC所成角正弦值.33/37所以四边形ABCE为正方形，四边形BCDE为平行四边形，所以BE⊥AC.在题图(2)中，BE⊥OA1，BE⊥OC，又OA1∩OC＝O，OA1，OC

平面A1OC，从而BE⊥平面A1OC.又CD∥BE，所以CD⊥平面A1OC.34/37(2)解