2024-2025学年江苏省南京市燕子矶中学高二下学期3月学分认定数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江苏省南京市燕子矶中学高二下学期3月学分认定数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间直角坐标系中，已知点A(1,3,−4)关于原点中心对称的点为B，而点B关于x轴对称的点为C，则AC=(

)A.(−2,0,0) B.(−2,3,0) C.(−2,0,−4) D.(1,0,−4)2.若函数f(x)=x(x−c)2在x=1处有极大值，则常数c为(

)A.1 B.3 C.1或3 D.−1或−33.已知空间向量a=2,−1,2,b=1,2,1，则向量bA.49,−29,49 B.4.现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有(

)A.120 B.60 C.30 D.205.已知函数f(x)=(x−2025)x−2026，则fx的图象在x=2025处的切线方程为(

)A.2x+y−4050=0 B.x+y−2025=0

C.2x−y−4050=0 D.x−y−2025=06.已知数列an的前n项和Sn=n2，则数列1aA.20224045 B.40464047 C.404440457.如图，将标号为A、B、C、D、E的五块区域染上红，黄，蓝三种颜色，要求相邻区域不同色，共有不同的染色方法有(

)

A.30种 B.36种 C.27种 D.18种8.已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2，过FA.2 B.423 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.3名学生，2名教师站成一排参加文艺汇演，则下列说法正确的是(

)A.任意站成一排，有120种排法 B.学生不相邻，有24种排法

C.教师相邻，有48种排法 D.教师不站在两边，有72种排法10.已知数列an是公差不为0的等差数列，a4=5，且a1、a3、a7A.a8=9 B.b9=0

C.b4k−1+b11.已知E是棱长都是2的正四棱锥P−ABCD的棱PC的中点，空间中一点M满足CM=xPA+yPB+z−1PC，x,y,z∈R且A.▵PMC为等边三角形

B.EM=1

C.EM与底面ABCD所成角是π4

D.四棱锥P−ABCD的外接球的体积为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.若An4=12Cn313.已知数列an的前n项和为Sn，a1=−11，a2=−9，且S14.若直线y=t与两个函数y=ex与y=2x−1的图象的交点分别为A,B，则AB四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)如图，在四棱锥P−ABCD中，侧棱PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD//BC，AB⊥AD，PA=AB=BC=2，AD=1，E是棱PB的中点．

(1)求异面直线AE和PD所成角的余弦值；(2)求点B到平面CDE的距离；16.(本小题15分)已知首项为1的等差数列an满足：a(1)求数列an(2)若数列bn满足：a1bn+a2b17.(本小题15分)如图，在四棱锥S−ABCD中，四边形ABCD是矩形，▵SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AB=1，P为棱AD的中点，四棱锥S−ABCD的体积为2

(1)若E为棱SB的中点，求直线PE与平面SBC所成角的余弦值；(2)在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SBC所成夹角的余弦值为1010？若存在，求出线段AM18.(本小题17分已知点A−2,0,B2,0，动点Mx,y满足直线AM与BM的斜率之积为12(1)求C的方程，并说明C是什么曲线;(2)直线l过定点D6,0，与曲线C在第一，四象限交于两点，分别记为H，N两点，且满足HD(3)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE交C于点G.证明：kPG19.(本小题17分)若函数fx=λln(1)当λ=1时，求函数fx与g(2)求a的最小值；(3)求证：当x>0时，x1−λlnx参考答案1.A

2.B

3.A

4.B

5.B

6.D

7.A

8.C

9.AC

10.ACD

11.BC

12.5

13.an14.1

15.解：(1)因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，所以以点A为坐标原点，AD、AB、AP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

因为PA=AB=BC=2，AD=1，E是棱PB的中点，AD//BC，则A0,0,0，B0,2,0，D1,0,0，P0,0,2，则AE=0,1,1，所以AE⋅PD=0×1+1×0+1×−2=−2设异面直线AE和PD所成角为θ，则cosθ=(2)因为D1,0,0，E0,1,1，所以CD=−1,−2,0，设平面CDE的法向量为n=则n⋅CD=−x−2y=0n⋅DE=−x+y+z=0，取x=2又因为BE=所以点B到平面CDE的距离为d=BE16.解：(1)设an公差为d，又a所以a2又a1=1，即1+d2=2+2d，解得而d=−1时，不满足a1,a所以an(2)令Dn所以Dn+1两式相减有：Dn+1所以数列bn的前n+1项和为2⋅3n又D1=a所以Tn17.解：(1)在等边▵SAD中，P为AD的中点，所以SP⊥AD，又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD=AD,SP⊂平面SAD，∴SP⊥平面ABCD，则SP是四棱锥S−ABCD的高，设AD=m(m>0)，则SP=∴V四棱锥S−ABCD=以点P为原点，PA,AB,

则P0,0,0故BC设平面SBC的一个法向量为n=则n⋅BC=−2x=0,直线PE与平面SBC所成角为θ，则sinθ=所以cosθ=(2)假设在棱SA上存在点M满足题意，如图：连接SP，MP，MB，故PA=设AM=λ∴PM设平面PMB的一个法向量为n1则n1⋅PM由(1)知平面SBC的一个法向量为n2∴cosn2Δ=64−8=56>0，λ1+λ而题意中0≤λ≤1，故不存在点M满足题意．

18.解：(1)直线AM的斜率为yx+2(x≠−2)，直线BM的斜率为由题意可知：yx+2所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，不包括左右两顶点的双曲线，其方程为x2(2)设直线l的方程为x=my+6，由题意知m>0，HD因为HD=2DNx=my+6联立上式可得m=±25，因为m>0直线l的方程为x=(3)[方法一]依题意设Px直线PQ的斜率为k(k>0)，则kPG所以kPG又kGQ=k进而有kPG[方法二]由题意设Px0,因为Q，E，G三点共线，所以y1又因为点P，G在双曲线上，所以x0两式相减得kPG所以kPQ⋅k

19.解：(1)当λ=1时，fx=lnx，设x0,yf′x=1x,g′x∴fx与gx在公共点处的切线方程为(2)设Px0,y0为，由②⇒