基本不等式教案

基本不等式教案一、教学目标1.知识与技能目标理解基本不等式的内容及其证明。能够运用基本不等式解决一些简单的最值问题。2.过程与方法目标通过对基本不等式的推导和证明，培养学生的逻辑推理能力。在应用基本不等式解决最值问题的过程中，提高学生的数学建模能力和运算能力。3.情感态度与价值观目标通过探究基本不等式，让学生体会数学的严谨性和简洁性，激发学生学习数学的兴趣。培养学生勇于探索、善于思考的精神，增强学生的数学应用意识。二、教学重难点1.教学重点基本不等式的推导、证明及几何意义。利用基本不等式求最值的条件和方法。2.教学难点对基本不等式等号成立条件的理解和应用。如何引导学生将实际问题转化为可以利用基本不等式解决的数学问题。三、教学方法1.讲授法：讲解基本不等式的概念、证明过程和应用方法，使学生系统地掌握知识。2.讨论法：组织学生讨论基本不等式的推导思路、等号成立条件以及实际问题的解决方法，培养学生的思维能力和合作交流能力。3.练习法：通过针对性的练习题，让学生巩固所学知识，提高运用基本不等式解决问题的能力。四、教学过程（一）导入新课（5分钟）1.展示问题某商店在节前进行商品降价酬宾销售活动，拟分两次降价。有三种降价方案：甲方案是第一次打p折销售，第二次打q折销售；乙方案是第一次打q折销售，第二次打p折销售；丙方案是两次都打(p+q)/2折销售。请问：哪一种方案降价较多？2.引导思考设商品原价为a元，分别计算三种方案降价后的价格，然后比较大小。甲方案降价后的价格为$a\times\frac{p}{10}\times\frac{q}{10}=\frac{apq}{100}$元。乙方案降价后的价格为$a\times\frac{q}{10}\times\frac{p}{10}=\frac{apq}{100}$元。丙方案降价后的价格为$a\times(\frac{p+q}{2}\div10)^2=\frac{a(p+q)^2}{400}$元。比较丙方案与甲、乙方案降价后的价格大小，即比较$\frac{(p+q)^2}{400}$与$\frac{pq}{100}$的大小。对$\frac{(p+q)^2}{400}\frac{pq}{100}$进行化简：\[\begin{align*}\frac{(p+q)^2}{400}\frac{pq}{100}&=\frac{p^2+2pq+q^2}{400}\frac{4pq}{400}\\&=\frac{p^22pq+q^2}{400}\\&=\frac{(pq)^2}{400}\end{align*}\]因为$(pq)^2\geq0$，所以$\frac{(p+q)^2}{400}\geq\frac{pq}{100}$，当且仅当$p=q$时取等号。由此引出本节课的主题基本不等式。（二）讲解新课（25分钟）1.基本不等式的推导展示一个直角三角形，直角边分别为a和b，斜边为c。根据勾股定理$c^2=a^2+b^2$。以斜边c为边长构造一个正方形，其面积为$c^2$。将直角三角形进行拼接，得到两个以a和b为边长的小正方形，其面积之和为$a^2+b^2$。显然，正方形的面积大于两个小正方形的面积之和，即$c^2\geqa^2+b^2$，当且仅当$a=b$时取等号。对$c^2=a^2+b^2$进行变形，可得$c=\sqrt{a^2+b^2}$。又因为直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，而四个直角三角形的面积之和小于等于正方形的面积，即$4\times\frac{1}{2}ab\leqc^2$，也就是$2ab\leqa^2+b^2$，当且仅当$a=b$时取等号。两边同时除以2，得到$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$，当且仅当$a=b$时取等号。强调：这里的a和b都是正数。2.基本不等式的内容若$a,b\inR^+$，那么$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$（当且仅当$a=b$时取"="号）。我们把$\frac{a+b}{2}$叫做a,b的算术平均数，把$\sqrt{ab}$叫做a,b的几何平均数。所以基本不等式又可以表述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。3.基本不等式的证明方法一：比较法要证$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$，只需证$a+b2\sqrt{ab}\geq0$，即证$(\sqrt{a}\sqrt{b})^2\geq0$。因为任何实数的平方都大于等于0，所以$(\sqrt{a}\sqrt{b})^2\geq0$成立，当且仅当$\sqrt{a}=\sqrt{b}$，即$a=b$时取等号。方法二：分析法要证$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$，从结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件。即要证$a+b\geq2\sqrt{ab}$，只需证$a+b2\sqrt{ab}\geq0$，也就是证$(\sqrt{a}\sqrt{b})^2\geq0$。显然$(\sqrt{a}\sqrt{b})^2\geq0$成立，当且仅当$a=b$时取等号。方法三：综合法因为$(\sqrt{a}\sqrt{b})^2\geq0$，展开可得$a2\sqrt{ab}+b\geq0$，即$a+b\geq2\sqrt{ab}$。两边同时除以2，得到$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$，当且仅当$a=b$时取等号。4.基本不等式的几何意义以线段AB长为$a+b$，以AB为直径作圆，在直径AB上取一点C，使$AC=a$，$CB=b$。过点C作垂直于AB的弦DD'，连接AD、BD。由射影定理可知$CD^2=AC\cdotCB=ab$，即$CD=\sqrt{ab}$。而圆的半径为$\frac{a+b}{2}$，显然圆的半径大于等于弦长的一半，即$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$，当且仅当点C与圆心重合，即$a=b$时取等号。（三）例题讲解（20分钟）1.例1：已知$x\gt0$，求$y=x+\frac{1}{x}$的最小值。分析：根据基本不等式$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$，当$a=x$，$b=\frac{1}{x}$时，有$y=x+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{x\cdot\frac{1}{x}}=2$。当且仅当$x=\frac{1}{x}$，即$x=1$时取等号。所以$y=x+\frac{1}{x}$的最小值为2。2.例2：已知$x\lt0$，求$y=x+\frac{1}{x}$的最大值。分析：因为$x\lt0$，所以$x\gt0$。则$y=x+\frac{1}{x}=\left[(x)+\frac{1}{x}\right]$。根据基本不等式，$(x)+\frac{1}{x}\geq2\sqrt{(x)\cdot\frac{1}{x}}=2$，所以$y=\left[(x)+\frac{1}{x}\right]\leq2$。当且仅当$x=\frac{1}{x}$，即$x=1$时取等号。所以$y=x+\frac{1}{x}$的最大值为2。3.例3：已知$a,b\inR^+$，且$a+b=1$，求$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值。分析：将$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$进行变形，得到$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{a+b}{a}+\frac{a+b}{b}=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}$。根据基本不等式，$\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq2\sqrt{\frac{b}{a}\cdot\frac{a}{b}}=2$。所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2+\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geq2+2=4$。当且仅当$\frac{b}{a}=\frac{a}{b}$，即$a=b=\frac{1}{2}$时取等号。所以$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$的最小值为4。（四）课堂练习（15分钟）1.已知$x\gt0$，当$x$取何值时，$y=4x+\frac{9}{x}$有最小值？最小值是多少？2.已知$x\gt2$，求$y=x+\frac{1}{x2}$的最小值。3.已知$a,b\inR^+$，且$2a+b=1$，求$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值。（五）课堂小结（5分钟）1.基本不等式的内容：若$a,b\inR^+$，那么$\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}$（当且仅当$a=b$时取"="号）。2.基本不等式的证明方法：比较法、分析法、综合法。3.基本不等式的几何意义。4.利用基本不等式求最值的方法和条件："一正、二定、三相等"。（六）布置作业（5分钟）1.书面作业已知$x\gt0$，求$y=\frac{x^2+5}{\sqrt{x^2+4}}$的最小值。已知$a,b,c\inR^+$，且$a+b+c=1$，求证：$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq9$。2.拓展作业某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为$4800m^3$，深为3m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样