《备考指南一轮·数学·》课件-第8章 第2讲

立体几何第八章第2讲空间点、线、面的位置关系高考要求考情分析1.理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解可以作为推理依据的公理和定理．3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题高考中判断两条直线的位置关系居多，直接求异面直线所成的角的大小，考查直观想象和逻辑推理的核心素养栏目导航01基础整合自测纠偏03追踪命题直击高考02重难突破能力提升04配套训练基础整合自测纠偏11．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在此平面内．(2)公理2：过______________________的三点，有且只有一个平面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有______公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．(4)公理2的三个推论：推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条______直线有且只有一个平面；推论3：经过两条______直线有且只有一个平面．两点不在同一条直线上一个相交平行2．空间点、直线、平面之间的位置关系3．平行公理(公理4)和等角定理平行公理：平行于同一条直线的两条直线____________．等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角_____________．4．异面直线所成的角(1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的_____________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)范围：________.互相平行相等或互补锐角(或直角)

1．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(

)A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C2．(多选题)下列结论中正确的是(

)A．在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行B．与同一直线都相交的三条平行线在同一平面内C．一条直线与两条平行直线中的一条相交，那么它也与另一条相交D．空间四条直线a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c【答案】BD

【解析】A错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可能异面；B显然正确；C错，若一条直线和两条平行直线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；由平行直线的传递性可知D正确．故选BD．3．(2019年贵阳调研)α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是(

)A．垂直 B．相交C．异面 D．平行【答案】D

【解析】依题意，m∩α＝A，n⊂α，所以m与n异面或相交(垂直是相交的特例)，一定不平行．4．若直线a⊥直线b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是________．【答案】b与α相交或b∥α或b⊂α5．设P表示一个点，a，b表示两条直线，α，β表示两个平面，给出下列三个命题，其中真命题是________．(填序号)①P∈a，P∈α⇒a⊂α；②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β；③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α.【答案】③【答案】(1)×

(2)√

(3)×

(4)×重难突破能力提升2平面的基本性质及应用

如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AA1的中点．求证：(1)E，C，D1，F四点共面；(2)CE，D1F，DA三线共点．【证明】(1)如图所示，连接EF，CD1，A1B.因为E，F分别是AB，AA1的中点，所以EF∥A1B.又A1B∥CD1，所以EF∥CD1.所以E，C，D1，F四点共面．(2)因为EF∥CD1，EF<CD1，所以CE与D1F必相交，设交点为P.由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，所以P∈直线DA.所以CE，D1F，DA三线共点．【规律方法】共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．【跟踪训练】1．如图，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(

)A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面【答案】A

【解析】连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1.因为M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1.又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上．同理O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线．空间点、线位置关系的判断

若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(

)A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交C．l至多与l1，l2中的一条相交1 D．l至少与l1，l2中的一条相交【答案】D

【解析】如图1所示，l1与l2是异面直线，l1与l平行，l2与l相交，故A，B不正确；如图2所示，l1与l2是异面直线，l1，l2都与l相交，故C不正确．【规律方法】平面的基本性质是立体几何的基本理论基础，对点、线位置关系的判断，要对各种关系都进行考虑，要充分发挥模型的直观性作用．【跟踪训练】2．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是(

)A．MN与CC1垂直 B．MN与AC垂直C．MN与BD平行 D．MN与A1B1平行【答案】D

【解析】如图所示，连接C1D，必过点N.在△C1DB中，MN∥BD，故C正确；因为CC1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以CC1⊥BD，所以MN⊥CC1，故A正确；因为AC⊥BD，MN∥BD，所以MN⊥AC，故B正确；因为A1B1与BD异面，MN∥BD，所以MN与A1B1不可能平行，故D错误．异面直线所成的角【规律方法】平移法求异面直线所成角的步骤：平移平移的方法一般有三种类型：(1)利用图中已有的平行线平移；(2)利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；(3)补形平移证明证明所作的角是异面直线所成的角或其补角寻找在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之取舍因为异面直线所成角θ的取值范围是0°＜θ≤90°，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角追踪命题直击高考3【典例精析】

【考查角度】异面直线及其所成的角．【考查角度】考查空间想象能力、推理能力与计算能力，体现了逻辑推理和数学运算的核心素养．【思路导引】如图所示，设AB＝2，连接D1A.AB⊥D1A，AB∥CD.可得∠AED1为异面直线D1E与DC所成的角．即可得出．【拓展延伸】1．异面直线的判定方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线．(2)反证法：证明两直线不可能平行、相交或证明两直线不可能共面，从而可得两直线异面．2．3个公理的作用(1)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内；④由直线的直刻画平面的平．(2)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．(3)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．【真题链接】

1．(2017年新课标Ⅲ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(

)A．A1E⊥DC1

B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1

D．A1E⊥AC【答案】C

【解析】对于A，若A1E⊥DC1，那么D1E⊥DC1，显然不成立；对于B，若A1E⊥BD，那么BD⊥AE，显然不成立；对于C，若A1E⊥BC1，那么BC1⊥B1C，成立，反过来BC1⊥B1C时，也能推出BC1⊥A1E，所以C成立；对于D，若A1E⊥AC，则AE⊥AC，显然不成立．故选C．