认识一元二次方程（省级赛课公开课一等奖）课件初中九年级数学新人教版上册

认识一元二次方程一元二次方程复习回顾

一元一次方程：

二元一次方程：

分式方程：复习回顾分析已知量、未知量和

等量关系

方程数学问题实际问题抽象分析设未知数

方程的解检验

实际问题的答案解方程知识回顾判断下列式子是否是一元一次方程：一元一次方程1、只含有一个未知数2、未知数的次数都是13、等号两边都是整式3.理解一元二次方程解（根）的概念，并能解决相关问题.1.理解一元二次方程的概念，根据一元二次方程的一般形式，确定各项系数.2.灵活应用一元二次方程概念解决有关问题.学习目标课堂导入要设计一座2

m高的人体雕像，使雕像的上部(腰以上)与下部(腰以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，雕像的下部应设计为多高？

即．解：雕像上部的高度AC，下部的高度BC。

应有如下关系：设雕像下部高xm，可得方程。整理得x2+2x−4=0．

x2=2(2−x)这个方程与我们学过的一元一次方程不同，x的最高次数是2．如何解这类方程？如何用这类方程解决一些实际问题？这就是本章我们要学习的内容．ACB

2mx2-x想一想观察下面等式：102＋112＋122＝132＋142

你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？

如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：根据题意，可得方程x2＋(x＋1)2

＋(x＋2)2＝(x＋3)2

＋(x＋4)2

，

，

，

．

x＋1x＋2x＋3x＋4如图2，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？你能列出怎样的方程？图2解：根据勾股定理，可以计算出滑动前梯子底端距墙6m.设梯子顶端下滑1m时，梯子底端滑动xm，则可以列出方程(x+6)2+72=102，化成一般形式为x2+12x–15=0.观察下列三个方程，它们有什么共同特点？议一议（8－2x）（5－2x）=18;x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2

;(x+6)2+72=102.把ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项和常数项，a，b分别称为二次项系数和一次项系数．上面的方程都是只含有一个未知数x的整式方程，并且可以化成ax2＋bx＋c＝0（a，b，c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.答案不唯一.例如，可设三边长分别为x–1，x，x+1（x>1）,根据题意，得(x－1)2

＋x2=(x＋1)2

，化成一般形式为x2－4x

=0

.1.根据题意列出一元二次方程：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长.2.把方程(3x+2)2＝4(x-3)2化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．答案不唯一.例如，原方程可化为5x2＋36x

-32=0

，这时二次项系数是5，一次项系数是36，常数项是–32.又如，原方程也可以化为﹣5x2－36x

＋32=0

.更一般地，5kx2

＋36kx

-32k=0（k是不等于0的常数）都是原方程的一般形式.

有一根外带有塑料皮长为100

m的电线，不知什么原因中间有一处不通，现给你一只万用表（能测量是否通）进行检查，你怎样快速地找到这一断裂处？与同伴进行交流.

如图1，幼儿园活动教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？8xxxx

（8－2x）（5－2x）18m25解：设所求的宽度为xm。

根据题意，可得方程。

(8–2x)(5–2x)=18

即

2x2–13x+11=0.图1对于方程(8–2x)(5–2x)=18，即2x2–13x+11=0.（1）x可能小于0吗?x可能大于4吗？可能大于2.5吗？说说你的理由，并与同伴进行交流．因为x表示宽度，所以x不可能小于0；根据题意，8–2x和5–2x分别表示地毯的长和宽，所以8–2x＞5–2x＞0，所以x不可能大于4，也不可能大于2.5.（2）根据题目的已知条件，你能确定x的大致范围吗？说说你的理由．通过上面的分析，可以得到0＜x＜2.5.（3）完成下表：x00.511.52(8–2x)(5–2x)410182840对于方程(8–2x)(5–2x)=18，即2x2–13x+11=0.（4）你知道所求的宽度x（m）是多少吗?还有其他求解方法吗?与同伴进行交流．通过分析表格中的数值，估计方程的解；当然学生也可能从数的运算的角度进行思考，将18分解因数为6×3，然后凑出方程(8–2x)(5–2x)=18的解x=1.对于方程(8–2x)(5–2x)=18，即2x2–13x+11=0.用“夹逼”思想解一元二次方程的步骤：（1）在未知数x的取值范围内排除一部分取值；（2）根据题意所列的具体情况再次进行排除；（3）列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选；（4）最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.

如图2，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？x8m1m7m6m10m图2在上一节课的问题中，梯子底端滑动的距离x（m）满足方程(x+6)2+72=102，把这个方程化为一般形式为x2+12x–15=0.（1）小明认为底端也滑动了1m，他的说法正确吗?为什么?（2）底端滑动的距离可能是2m吗?可能是3m吗？为什么?不正确，因为x=1不满足方程.不可能是2m，也不可能是3m.做一做（3）你能猜出滑动距离x（m）的大致范围吗？x的整数部分是几？分位是几？小亮把他的求解过程整理如下：x00.511.52x2+12x–15–15–8.75–25.2513所以1＜x＜1.5.进一步计算：所以1.1＜x＜1.2.因此x的整数部分是1，十分位是1.x1.11.21.31.41.5x2+12x–15–0.590.842.293.765.25五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方.你能求出这五个整数分别是多少吗？A同学的做法：设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为x+1，x+2，x+3，x+4.根据题意，可得方程：x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+4)2.即x2–8x–20=0.x–3–2…910x2–8x–20130…–110所以，x=–2或x=10.因此这五个整数分别为–2，–1，0，1，2或10，11，12，13，14.B同学的做法：设五个连续整数中的中间一个数为x，那么其余四个数依次可表示为x–2，x–1，x+1，x+2.根据题意，可得方程

(x–2)2+(x–1)2+x2=(x+1)2+(x+2)2，

即

x2–12x=0.x–10…1112x2–12x130…–1