交大线性代数试题及答案

交大线性代数试题及答案姓名：____________________

一、多项选择题（每题2分，共20题）

1.设矩阵A是一个n阶可逆矩阵，下列命题正确的是：

A.A的行列式值不为0

B.A的逆矩阵存在

C.A的转置矩阵是可逆的

D.A的伴随矩阵是可逆的

2.设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组也线性无关的是：

A.α1，α2，α3，2α1

B.α1，α2，α3，α1+α2

C.α1，α2，α3，2α1+α2

D.α1，α2，α3，α1-α2

3.设A是一个n阶矩阵，且满足A^2=A，则下列命题正确的是：

A.A是可逆矩阵

B.A的特征值只有0和1

C.A的行列式值为1

D.A的行列式值为0

4.设矩阵A的秩为r，则下列命题正确的是：

A.A的零空间的维数是n-r

B.A的列空间的维数是r

C.A的行空间的维数是r

D.A的行空间的维数是n-r

5.设A是一个m×n矩阵，B是一个n×p矩阵，C是A与B的乘积矩阵，则下列命题正确的是：

A.C的秩小于等于A的秩

B.C的秩小于等于B的秩

C.C的秩等于A的秩与B的秩之和

D.C的秩等于A的秩与B的秩之差

6.设向量组α1，α2，α3线性相关，则下列命题正确的是：

A.α1，α2，α3中至少有一个向量是零向量

B.α1，α2，α3中至少有两个向量线性相关

C.α1，α2，α3中至少有一个向量是线性无关的

D.α1，α2，α3中至少有一个向量与其它向量线性相关

7.设A是一个n阶矩阵，且A的行列式值不为0，则下列命题正确的是：

A.A的逆矩阵存在

B.A的特征值只有非零值

C.A的转置矩阵是可逆的

D.A的伴随矩阵是可逆的

8.设向量组α1，α2，α3线性相关，则下列命题正确的是：

A.α1，α2，α3中至少有一个向量是零向量

B.α1，α2，α3中至少有两个向量线性相关

C.α1，α2，α3中至少有一个向量是线性无关的

D.α1，α2，α3中至少有一个向量与其它向量线性相关

9.设A是一个m×n矩阵，B是一个n×p矩阵，C是A与B的乘积矩阵，则下列命题正确的是：

A.C的秩小于等于A的秩

B.C的秩小于等于B的秩

C.C的秩等于A的秩与B的秩之和

D.C的秩等于A的秩与B的秩之差

10.设A是一个n阶矩阵，且满足A^2=A，则下列命题正确的是：

A.A是可逆矩阵

B.A的特征值只有0和1

C.A的行列式值为1

D.A的行列式值为0

11.设A是一个n阶矩阵，且A的行列式值不为0，则下列命题正确的是：

A.A的逆矩阵存在

B.A的特征值只有非零值

C.A的转置矩阵是可逆的

D.A的伴随矩阵是可逆的

12.设向量组α1，α2，α3线性相关，则下列命题正确的是：

A.α1，α2，α3中至少有一个向量是零向量

B.α1，α2，α3中至少有两个向量线性相关

C.α1，α2，α3中至少有一个向量是线性无关的

D.α1，α2，α3中至少有一个向量与其它向量线性相关

13.设A是一个m×n矩阵，B是一个n×p矩阵，C是A与B的乘积矩阵，则下列命题正确的是：

A.C的秩小于等于A的秩

B.C的秩小于等于B的秩

C.C的秩等于A的秩与B的秩之和

D.C的秩等于A的秩与B的秩之差

14.设A是一个n阶矩阵，且满足A^2=A，则下列命题正确的是：

A.A是可逆矩阵

B.A的特征值只有0和1

C.A的行列式值为1

D.A的行列式值为0

15.设A是一个n阶矩阵，且A的行列式值不为0，则下列命题正确的是：

A.A的逆矩阵存在

B.A的特征值只有非零值

C.A的转置矩阵是可逆的

D.A的伴随矩阵是可逆的

16.设向量组α1，α2，α3线性相关，则下列命题正确的是：

A.α1，α2，α3中至少有一个向量是零向量

B.α1，α2，α3中至少有两个向量线性相关

C.α1，α2，α3中至少有一个向量是线性无关的

D.α1，α2，α3中至少有一个向量与其它向量线性相关

17.设A是一个m×n矩阵，B是一个n×p矩阵，C是A与B的乘积矩阵，则下列命题正确的是：

A.C的秩小于等于A的秩

B.C的秩小于等于B的秩

C.C的秩等于A的秩与B的秩之和

D.C的秩等于A的秩与B的秩之差

18.设A是一个n阶矩阵，且满足A^2=A，则下列命题正确的是：

A.A是可逆矩阵

B.A的特征值只有0和1

C.A的行列式值为1

D.A的行列式值为0

19.设A是一个n阶矩阵，且A的行列式值不为0，则下列命题正确的是：

A.A的逆矩阵存在

B.A的特征值只有非零值

C.A的转置矩阵是可逆的

D.A的伴随矩阵是可逆的

20.设向量组α1，α2，α3线性相关，则下列命题正确的是：

A.α1，α2，α3中至少有一个向量是零向量

B.α1，α2，α3中至少有两个向量线性相关

C.α1，α2，α3中至少有一个向量是线性无关的

D.α1，α2，α3中至少有一个向量与其它向量线性相关

二、判断题（每题2分，共10题）

1.矩阵的秩等于其行数（×）

2.两个矩阵的乘积的行列式等于它们行列式的乘积（√）

3.任何矩阵都可以通过初等行变换化为行阶梯形矩阵（√）

4.一个矩阵的逆矩阵存在当且仅当该矩阵是可逆的（√）

5.向量组的秩等于该向量组中线性无关向量的个数（√）

6.两个线性无关的向量组，其并集也一定是线性无关的（×）

7.两个矩阵的秩相等，则它们等价（√）

8.一个矩阵的转置矩阵的行列式等于原矩阵的行列式（√）

9.两个矩阵的乘积的逆矩阵等于它们的逆矩阵的乘积（×）

10.一个矩阵的伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的平方（×）

三、简答题（每题5分，共4题）

1.简述矩阵的初等行变换及其作用。

2.如何判断一个向量是否属于一个矩阵的列空间？

3.简述矩阵的秩的定义及其性质。

4.解释什么是矩阵的等价关系，并给出两个矩阵等价的充要条件。

四、论述题（每题10分，共2题）

1.论述矩阵的秩与矩阵的行空间和列空间的关系，并解释为什么一个矩阵的秩等于其行空间的维数。

2.论述矩阵的伴随矩阵在求解线性方程组中的作用，并说明为什么矩阵的伴随矩阵与逆矩阵之间存在着特定的关系。

试卷答案如下

一、多项选择题（每题2分，共20题）

1.A,B,C,D

解析思路：根据可逆矩阵的定义，A正确；逆矩阵存在是可逆矩阵的充分必要条件，B正确；转置矩阵与原矩阵可逆性相同，C正确；伴随矩阵是可逆的当且仅当原矩阵是可逆的，D正确。

2.A,B

解析思路：线性无关的定义是任意向量不能由其它向量线性表示，因此只有选项A和B满足条件。

3.B

解析思路：由A^2=A知，A是投影矩阵，其特征值只能是0或1。

4.A,B

解析思路：矩阵的秩等于其列空间的维数，而列空间的维数等于零空间的维数。

5.A,B

解析思路：矩阵乘积的秩小于等于参与乘积的矩阵的秩。

6.A,B

解析思路：线性相关的定义是至少有一个向量可以被其它向量线性表示。

7.A,B,D

解析思路：可逆矩阵的定义是存在逆矩阵，且行列式不为0。

8.A,B

解析思路：与第6题相同，线性相关的定义是至少有一个向量可以被其它向量线性表示。

9.A,B

解析思路：与第5题相同，矩阵乘积的秩小于等于参与乘积的矩阵的秩。

10.B

解析思路：由A^2=A知，A是投影矩阵，其特征值只能是0或1。

11.A,B,D

解析思路：与第7题相同，可逆矩阵的定义是存在逆矩阵，且行列式不为0。

12.A,B

解析思路：与第6题相同，线性相关的定义是至少有一个向量可以被其它向量线性表示。

13.A,B

解析思路：与第5题相同，矩阵乘积的秩小于等于参与乘积的矩阵的秩。

14.B

解析思路：与第10题相同，由A^2=A知，A是投影矩阵，其特征值只能是0或1。

15.A,B,D

解析思路：与第11题相同，可逆矩阵的定义是存在逆矩阵，且行列式不为0。

16.A,B

解析思路：与第6题相同，线性相关的定义是至少有一个向量可以被其它向量线性表示。

17.A,B

解析思路：与第5题相同，矩阵乘积的秩小于等于参与乘积的矩阵的秩。

18.B

解析思路：与第14题相同，由A^2=A知，A是投影矩阵，其特征值只能是0或1。

19.A,B,D

解析思路：与第15题相同，可逆矩阵的定义是存在逆矩阵，且行列式不为0。

20.A,B

解析思路：与第6题相同，线性相关的定义是至少有一个向量可以被其它向量线性表示。

二、判断题（每题2分，共10题）

1.×

解析思路：矩阵的秩等于其行数或列数，而不是行数。

2.√

解析思路：两个矩阵的乘积的行列式等于它们行列式的乘积，这是行列式的乘法性质。

3.√

解析思路：初等行变换是改变矩阵的行，但不会改变矩阵的秩。

4.√

解析思路：逆矩阵存在是可逆矩阵的充分必要条件。

5.√

解析思路：向量组的秩等于该向量组中线性无关向量的个数。

6.×

解析思路：两个线性无关的向量组，其并集可能是线性相关的。

7.√

解析思路：两个矩阵等价意味着它们有相同的秩。

8.√

解析思路：矩阵的转置矩阵的行列式等于原矩阵的行列式。

9.×

解析思路：两个矩阵的乘积的逆矩阵不等于它们的逆矩阵的乘积。

10.×

解析思路：矩阵的伴随矩阵的行列式等于原矩阵的行列式的n-1次方，而不是平方。

三、简答题（每题5分，共4题）

1.矩阵的初等行变换及其作用：

解析思路：初等行变换包括交换两行、某行乘以非零常数、某行加上另一行的倍数。作用是简化矩阵，例如化为行阶梯形矩阵，便于求解线性方程组。

2.如何判断一个向量是否属于一个矩阵的列空间：

解析思路：一个向量属于一个矩阵的列空间，当且仅当该向量可以表示为该矩阵列向量的线性组合。

3.简述矩阵的秩的定义及其性质：

解析思路：矩阵的秩是矩阵的行空间或列空间的维数。性质包括：秩不超过矩阵的行数和列数；矩阵的秩等于其转置矩阵的秩；两个矩阵的乘积的秩小于等于各矩阵的秩。

4.解释什么是矩阵的等价关系，并给出两个矩阵等价的充要条件：

解析思路：矩阵的等价关系是指两个矩阵可以通过一系列的初等行变换相互转化。充要条件是两个矩阵的秩相等。

四、论述题（每题10分，共2题）

1.论述矩阵的秩与矩阵的行空间和列空间的关系，并解释为什么一个矩阵的秩等于其行空间的维数：

解析思路：矩阵的秩是矩阵的行空间或列空间的维数。一个矩阵的秩等于其行空间的维数，因为行空间中的向量可以由矩