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文档简介
湖北省咸宁市五校2023届高三数学试题第一次适应性测试试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知三棱锥且平面,其外接球体积为()A. B. C. D.2.下列函数中,在定义域上单调递增,且值域为的是()A. B. C. D.3.设全集,集合,,则()A. B. C. D.4.费马素数是法国大数学家费马命名的,形如的素数(如:)为费马索数,在不超过30的正偶数中随机选取一数,则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是()A. B. C. D.5.已知集合,,则等于()A. B. C. D.6.已知斜率为k的直线l与抛物线交于A,B两点,线段AB的中点为,则斜率k的取值范围是()A. B. C. D.7.已知,满足约束条件,则的最大值为A. B. C. D.8.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题;“三百七十八里关,初行健步不为难,次后脚痛递减半,六朝才得到其关,要见每朝行里数,请公仔细算相还.”其意思为:“有一个人走了378里路,第一天健步走行,从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半,走了6天后到达目的地,求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为()A.6里 B.12里 C.24里 D.48里9.已知,则p是q的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件10.若集合,,则()A. B. C. D.11.点为的三条中线的交点,且,,则的值为()A. B. C. D.12.甲乙两人有三个不同的学习小组,,可以参加,若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组,则两人参加同一个小组的概率为()A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图,棱长为2的正方体中,点分别为棱的中点,以为圆心,1为半径,分别在面和面内作弧和,并将两弧各五等分,分点依次为、、、、、以及、、、、、.一只蚂蚁欲从点出发,沿正方体的表面爬行至,则其爬行的最短距离为________.参考数据:;;)14.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生产乙产品1桶需耗原料2千克,原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是__________元.15.在的展开式中,所有的奇数次幂项的系数和为-64,则实数的值为__________.16.如图,在平行四边形中,,,则的值为_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列,,数列满足,n.(1)若,,求数列的前2n项和;(2)若数列为等差数列,且对任意n,恒成立.①当数列为等差数列时,求证:数列,的公差相等;②数列能否为等比数列?若能,请写出所有满足条件的数列;若不能,请说明理由.18.(12分)如图:在中,,,.(1)求角;(2)设为的中点,求中线的长.19.(12分)已知函数(1)若对任意恒成立,求实数的取值范围;(2)求证:20.(12分)如图,已知三棱柱中,与是全等的等边三角形.(1)求证:;(2)若,求二面角的余弦值.21.(12分)某工厂,两条相互独立的生产线生产同款产品,在产量一样的情况下通过日常监控得知,生产线生产的产品为合格品的概率分别为和.(1)从,生产线上各抽检一件产品,若使得至少有一件合格的概率不低于,求的最小值.(2)假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品,以(1)中确定的作为的值.①已知,生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失元和元.若从两条生产线上各随机抽检件产品,以挽回损失的平均数为判断依据,估计哪条生产线挽回的损失较多?②若最终的合格品(包括返工修复后的合格品)按照一、二、三等级分类后,每件分别获利元、元、元,现从,生产线的最终合格品中各随机抽取件进行检测,结果统计如下图;用样本的频率分布估计总体分布,记该工厂生产一件产品的利润为,求的分布列并估算该厂产量件时利润的期望值.22.(10分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,为实数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,曲线与曲线交于,两点,线段的中点为.(1)求线段长的最小值;(2)求点的轨迹方程.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
由,平面,可将三棱锥还原成长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而求解.【详解】由题,因为,所以,设,则由,可得,解得,可将三棱锥还原成如图所示的长方体,则三棱锥的外接球即为长方体的外接球,设外接球的半径为,则,所以,所以外接球的体积.故选:A【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积,考查空间想象能力.2.B【解析】
分别作出各个选项中的函数的图象,根据图象观察可得结果.【详解】对于,图象如下图所示:则函数在定义域上不单调,错误;对于,的图象如下图所示:则在定义域上单调递增,且值域为,正确;对于,的图象如下图所示:则函数单调递增,但值域为,错误;对于,的图象如下图所示:则函数在定义域上不单调,错误.故选:.【点睛】本题考查函数单调性和值域的判断问题,属于基础题.3.B【解析】
可解出集合,然后进行补集、交集的运算即可.【详解】,,则,因此,.故选:B.【点睛】本题考查补集和交集的运算,涉及一元二次不等式的求解,考查运算求解能力,属于基础题.4.B【解析】
基本事件总数,能表示为两个不同费马素数的和只有,,,共有个,根据古典概型求出概率.【详解】在不超过的正偶数中随机选取一数,基本事件总数能表示为两个不同费马素数的和的只有,,,共有个则它能表示为两个不同费马素数的和的概率是本题正确选项:【点睛】本题考查概率的求法,考查列举法解决古典概型问题,是基础题.5.B【解析】
解不等式确定集合,然后由补集、并集定义求解.【详解】由题意或,∴,.故选:B.【点睛】本题考查集合的综合运算,以及一元二次不等式的解法,属于基础题型.6.C【解析】
设,,,,设直线的方程为:,与抛物线方程联立,由△得,利用韦达定理结合已知条件得,,代入上式即可求出的取值范围.【详解】设直线的方程为:,,,,,联立方程,消去得:,△,,且,,,线段的中点为,,,,,,,,把代入,得,,,故选:【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系,考查了韦达定理的应用,属于中档题.7.D【解析】
作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合即可得到结论.【详解】作出不等式组表示的平面区域如下图中阴影部分所示,等价于,作直线,向上平移,易知当直线经过点时最大,所以,故选D.【点睛】本题主要考查线性规划的应用,利用目标函数的几何意义,结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.8.C【解析】
设第一天走里,则是以为首项,以为公比的等比数列,由题意得,求出(里,由此能求出该人第四天走的路程.【详解】设第一天走里,则是以为首项,以为公比的等比数列,由题意得:,解得(里,(里.故选:C.【点睛】本题考查等比数列的某一项的求法,考查等比数列等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是基础题.9.B【解析】
根据诱导公式化简再分析即可.【详解】因为,所以q成立可以推出p成立,但p成立得不到q成立,例如,而,所以p是q的必要而不充分条件.故选:B【点睛】本题考查充分与必要条件的判定以及诱导公式的运用,属于基础题.10.A【解析】
用转化的思想求出中不等式的解集,再利用并集的定义求解即可.【详解】解:由集合,解得,则故选:.【点睛】本题考查了并集及其运算,分式不等式的解法,熟练掌握并集的定义是解本题的关键.属于基础题.11.B【解析】
可画出图形,根据条件可得,从而可解出,然后根据,进行数量积的运算即可求出.【详解】如图:点为的三条中线的交点,由可得:,又因,,.故选:B【点睛】本题考查三角形重心的定义及性质,向量加法的平行四边形法则,向量加法、减法和数乘的几何意义,向量的数乘运算及向量的数量积的运算,考查运算求解能力,属于中档题.12.A【解析】依题意,基本事件的总数有种,两个人参加同一个小组,方法数有种,故概率为.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
根据空间位置关系,将平面旋转后使得各点在同一平面内,结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解.【详解】棱长为2的正方体中,点分别为棱的中点,以为圆心,1为半径,分别在面和面内作弧和.将平面绕旋转至与平面共面的位置,如下图所示:则,所以;将平面绕旋转至与平面共面的位置,将绕旋转至与平面共面的位置,如下图所示:则,所以;因为,且由诱导公式可得,所以最短距离为,故答案为:.【点睛】本题考查了空间几何体中最短距离的求法,注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法,三角函数诱导公式的应用,综合性强,属于难题.14.1元【解析】设分别生产甲乙两种产品为桶,桶,利润为元
则根据题意可得目标函数,作出可行域,如图所示作直线然后把直线向可行域平移,
由图象知当直线经过时,目标函数的截距最大,此时最大,
由可得,即此时最大,
即该公司每天生产的甲4桶,乙4桶,可获得最大利润,最大利润为1.【点睛】本题考查用线性规划知识求利润的最大值,根据条件建立不等式关系,以及利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键.15.3或-1【解析】
设,分别令、,两式相减即可得,即可得解.【详解】设,令,则①,令,则②,则①-②得,则,解得或.故答案为:3或-1.【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了运算能力,属于中档题.16.【解析】
根据ABCD是平行四边形可得出,然后代入AB=2,AD=1即可求出的值.【详解】∵AB=2,AD=1,∴=1﹣4=﹣1.故答案为:﹣1.【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则,相等向量和相反向量的定义,向量数量积的运算,考查了计算能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)①见解析②数列不能为等比数列,见解析【解析】
(1)根据数列通项公式的特点,奇数项为等差数列,偶数项为等比数列,选用分组求和的方法进行求解;(2)①设数列的公差为,数列的公差为,当n为奇数时,得出;当n为偶数时,得出,从而可证数列,的公差相等;②利用反证法,先假设可以为等比数列,结合题意得出矛盾,进而得出数列不能为等比数列.【详解】(1)因为,,所以,且,由题意可知,数列是以1为首项,2为公差的等差数列,数列是首项和公比均为4的等比数列,所以;(2)①证明:设数列的公差为,数列的公差为,当n为奇数时,,若,则当时,,即,与题意不符,所以,当n为偶数时,,,若,则当时,,即,与题意不符,所以,综上,,原命题得证;②假设可以为等比数列,设公比为q,因为,所以,所以,,因为当时,,所以当n为偶数,且时,,即当n为偶数,且时,不成立,与题意矛盾,所以数列不能为等比数列.【点睛】本题主要考查数列的求和及数列的综合,数列求和时一般是结合通项公式的特征选取合适的求和方法,数列综合题要回归基本量,充分挖掘题目已知信息,细思细算,本题综合性较强,难度较大,侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.18.(1);(2)【解析】
(1)通过求出的值,利用正弦定理求出即可得角;(2)根据求出的值,由正弦定理求出边,最后在中由余弦定理即可得结果.【详解】(1)∵,∴.由正弦定理,即.得,∵,∴为钝角,为锐角,故.(2)∵,∴.由正弦定理得,即得.在中由余弦定理得:,∴.【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用,考查三角函数知识的运用,属于中档题.19.(1);(2)见解析.【解析】
(1)将问题转化为对任意恒成立,换元构造新函数即可得解;(2)结合(1)可得,令,求导后证明其导函数单调递增,结合,即可得函数的单调区间和最小值,即可得证.【详解】(1)对任意恒成立等价于对任意恒成立,令,,则,当时,,单调递增;当时,,单调递减;有最大值,.(2)证明:由(1)知,当时,即,,,令,则,令,则,在上是增函数,又,当时,;当时,,在上是减函数,在上是增函数,,即,.【点睛】本题考查了利用导数解决恒成立问题,考查了利用导数证明不等式,考查了计算能力和转化化归思想,属于中档题.20.(1)证明见解析;(2).【解析】
(1)取BC的中点O,则,由是等边三角形,得,从而得到平面,由此能证明(2)以,,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用向量法求得二面角的余弦值,得到结果.【详解】(1)取BC的中点O,连接,,由于与是等边三角形,所以有,,且,所以平面,平面,所以.(2)设,是全等的等边三角形,所以,又,由余弦定理可得,在中,有,所以以,,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则,,,设平面的一个法向量为,则,令,则,又平面的一个法向量为,所以二面角的余弦值为,即二面角的余弦值为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题,涉及到的知识点有利用线面垂直证明线性垂直,利用向量法求二面角的余弦值,属于中档题目.21.(1)(2)①生产线上挽回的损失较多.②见解析【解析】
(1)由题意得到关于的
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