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文档简介
湖南师大附中2025届招生全国统一考试(模拟卷)数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知函数,对任意的,,当时,,则下列判断正确的是()A. B.函数在上递增C.函数的一条对称轴是 D.函数的一个对称中心是2.已知角的顶点与坐标原点重合,始边与轴的非负半轴重合,它的终边过点,则的值为()A. B. C. D.3.已知,满足,且的最大值是最小值的4倍,则的值是()A.4 B. C. D.4.已知双曲线(a>0,b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为60°的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率e的取值范围是()A. B.(1,2), C. D.5.已知集合,,若,则()A.4 B.-4 C.8 D.-86.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC的面积是()A. B.2C. D.7.设,,,则、、的大小关系为()A. B. C. D.8.如图,用一边长为的正方形硬纸,按各边中点垂直折起四个小三角形,做成一个蛋巢,将体积为的鸡蛋(视为球体)放入其中,蛋巢形状保持不变,则鸡蛋中心(球心)与蛋巢底面的距离为()A. B. C. D.9.设,随机变量的分布列是01则当在内增大时,()A.减小,减小 B.减小,增大C.增大,减小 D.增大,增大10.已知,若,则等于()A.3 B.4 C.5 D.611.已知,,则()A. B. C.3 D.412.已知集合,将集合的所有元素从小到大一次排列构成一个新数列,则()A.1194 B.1695 C.311 D.1095二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.将底面直径为4,高为的圆锥形石块打磨成一个圆柱,则该圆柱的侧面积的最大值为__________.14.设实数x,y满足,则点表示的区域面积为______.15.曲线在点处的切线方程为__.16.在平行四边形中,已知,,,若,,则____________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知不等式的解集为.(1)求实数的值;(2)已知存在实数使得恒成立,求实数的最大值.18.(12分)已知椭圆的右焦点为,直线被称作为椭圆的一条准线,点在椭圆上(异于椭圆左、右顶点),过点作直线与椭圆相切,且与直线相交于点.(1)求证:.(2)若点在轴的上方,当的面积最小时,求直线的斜率.附:多项式因式分解公式:19.(12分)在平面直角坐标系中,曲线(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的普通方程和曲线的普通方程;(2)若P,Q分别为曲线,上的动点,求的最大值.20.(12分)[选修4-5:不等式选讲]设函数.(1)求不等式的解集;(2)已知关于的不等式在上有解,求实数的取值范围.21.(12分)在中,角,,的对边分别为,,,,,且的面积为.(1)求;(2)求的周长.22.(10分)记无穷数列的前项中最大值为,最小值为,令,则称是“极差数列”.(1)若,求的前项和;(2)证明:的“极差数列”仍是;(3)求证:若数列是等差数列,则数列也是等差数列.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
利用辅助角公式将正弦函数化简,然后通过题目已知条件求出函数的周期,从而得到,即可求出解析式,然后利用函数的性质即可判断.【详解】,又,即,有且仅有满足条件;又,则,,函数,对于A,,故A错误;对于B,由,解得,故B错误;对于C,当时,,故C错误;对于D,由,故D正确.故选:D【点睛】本题考查了简单三角恒等变换以及三角函数的性质,熟记性质是解题的关键,属于基础题.2、B【解析】
根据三角函数定义得到,故,再利用和差公式得到答案.【详解】∵角的终边过点,∴,.∴.故选:.【点睛】本题考查了三角函数定义,和差公式,意在考查学生的计算能力.3、D【解析】试题分析:先画出可行域如图:由,得,由,得,当直线过点时,目标函数取得最大值,最大值为3;当直线过点时,目标函数取得最小值,最小值为3a;由条件得,所以,故选D.考点:线性规划.4、A【解析】
若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率.根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围.【详解】已知双曲线的右焦点为,若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率,,离心率,,故选:.【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用,解题时要注意挖掘隐含条件.5、B【解析】
根据交集的定义,,可知,代入计算即可求出.【详解】由,可知,又因为,所以时,,解得.故选:B.【点睛】本题考查交集的概念,属于基础题.6、A【解析】
先根据已知求出原△ABC的高为AO=,再求原△ABC的面积.【详解】由题图可知原△ABC的高为AO=,∴S△ABC=×BC×OA=×2×=,故答案为A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算,意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.7、D【解析】
因为,,所以且在上单调递减,且所以,所以,又因为,,所以,所以.故选:D.【点睛】本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小,难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小,还可以根据中间值“”比较大小.8、D【解析】
先求出球心到四个支点所在球的小圆的距离,再加上侧面三角形的高,即可求解.【详解】设四个支点所在球的小圆的圆心为,球心为,由题意,球的体积为,即可得球的半径为1,又由边长为的正方形硬纸,可得圆的半径为,利用球的性质可得,又由到底面的距离即为侧面三角形的高,其中高为,所以球心到底面的距离为.故选:D.【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征,以及球的性质的综合应用,着重考查了数形结合思想,以及推理与计算能力,属于基础题.9、C【解析】
,,判断其在内的单调性即可.【详解】解:根据题意在内递增,,是以为对称轴,开口向下的抛物线,所以在上单调递减,故选:C.【点睛】本题考查了利用随机变量的分布列求随机变量的期望与方差,属于中档题.10、C【解析】
先求出,再由,利用向量数量积等于0,从而求得.【详解】由题可知,因为,所以有,得,故选:C.【点睛】该题考查的是有关向量的问题,涉及到的知识点有向量的减法坐标运算公式,向量垂直的坐标表示,属于基础题目.11、A【解析】
根据复数相等的特征,求出和,再利用复数的模公式,即可得出结果.【详解】因为,所以,解得则.故选:A.【点睛】本题考查相等复数的特征和复数的模,属于基础题.12、D【解析】
确定中前35项里两个数列中的项数,数列中第35项为70,这时可通过比较确定中有多少项可以插入这35项里面即可得,然后可求和.【详解】时,,所以数列的前35项和中,有三项3,9,27,有32项,所以.故选:D.【点睛】本题考查数列分组求和,掌握等差数列和等比数列前项和公式是解题基础.解题关键是确定数列的前35项中有多少项是中的,又有多少项是中的.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由题意欲使圆柱侧面积最大,需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h,底面半径为r,则,将侧面积表示成关于的函数,再利用一元二次函数的性质求最值.【详解】欲使圆柱侧面积最大,需使圆柱内接于圆锥.设圆柱的高为h,底面半径为r,则,所以.∴,当时,的最大值为.故答案为:.【点睛】本题考查圆柱的侧面积的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想、,考查空间想象能力和运算求解能力,求解时注意将问题转化为函数的最值问题.14、【解析】
先画出满足条件的平面区域,求出交点坐标,利用定积分即可求解.【详解】画出实数x,y满足表示的平面区域,如图(阴影部分):则阴影部分的面积,故答案为:【点睛】本题考查了定积分求曲边梯形的面积,考查了微积分基本定理,属于基础题.15、【解析】
对函数求导后,代入切点的横坐标得到切线斜率,然后根据直线方程的点斜式,即可写出切线方程.【详解】因为,所以,从而切线的斜率,所以切线方程为,即.故答案为:【点睛】本题主要考查过曲线上一点的切线方程的求法,属基础题.16、【解析】
设,则,得到,,利用向量的数量积的运算,即可求解.【详解】由题意,如图所示,设,则,又由,,所以为的中点,为的三等分点,则,,所以.【点睛】本题主要考查了向量的共线定理以及向量的数量积的运算,其中解答中熟记向量的线性运算法则,以及向量的共线定理和向量的数量积的运算公式,准确运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于中档试题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)4【解析】
(1)分类讨论,求解x的范围,取并集,得到绝对值不等式的解集,即得解;(2)转化原不等式为:,利用均值不等式即得解.【详解】(1)当时不等式可化为当时,不等式可化为;当时,不等式可化为;综上不等式的解集为.(2)由(1)有,,,,即而当且仅当:,即,即时等号成立∴,综上实数最大值为4.【点睛】本题考查了绝对值不等式的求解与不等式的恒成立问题,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.18、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)由得令可得,进而得到,同理,利用数量积坐标计算即可;(2),分,两种情况讨论即可.【详解】(1)证明:点的坐标为.联立方程,消去后整理为有,可得,,.可得点的坐标为.当时,可求得点的坐标为,,.有,故有.(2)若点在轴上方,因为,所以有,由(1)知①因为时.由(1)知,由函数单调递增,可得此时.②当时,由(1)知令由,故当时,,此时函数单调递增:当时,,此时函数单调递减,又由,故函数的最小值,函数取最小值时,可求得.由①②知,若点在轴上方,当的面积最小时,直线的斜率为.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系,涉及到分类讨论求函数的最值,考查学生的运算求解能力,是一道难题.19、(1),;(2)【解析】试题分析:(1)由消去参数,可得的普通方程,由可得的普通方程;(2)设为曲线上一点,点到曲线的圆心的距离,结合可得最值,的最大值为,从而得解.试题解析:(1)的普通方程为.∵曲线的极坐标方程为,∴曲线的普通方程为,即.(2)设为曲线上一点,则点到曲线的圆心的距离.∵,∴当时,d有最大值.又∵P,Q分别为曲线,曲线上动点,∴的最大值为.20、(1)(2)【解析】
(1)零点分段去绝对值解不等式即可(2)由题在上有解,去绝对值分离变量a即可.【详解】(1)不等式,即等价于或或解得,所以原不等式的解集为;(2)当时,不等式,即,所以在上有解即在上有解,所以,.【点睛】本题考查绝对值不等式解法,不等式有解求参数,熟记零点分段,熟练处理不等式有解问题是关键,是中档题.21、(1)(2)【解析】
(1)利用正弦,余弦定理对式子化简求解即可;(2)利用余弦定理以及三角形的面积,求解三角形的周长即可.【详解】(1),由正弦定理可得:,即:,由余弦定理得.(2)∵,所以,,又,且,,的周长为【点睛】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用,三角形的面积公式,也考查计算能力,属于基础题.22、(1)(2)证明见解析(3)证明见解析【解析】
(1)由是递增数列,得,由此能求出的前项和.(2)推导出,,由此能证明的“极差数列”仍是.(3)证当数列是等差数列时,设其公差为,,是一个单调递增数列,从而,,由,,,分类讨论,能证明若数列是等差数列,则数列也是等差数列.【详解】(1)解:∵无穷数列的前项中最大值为,最小值为,,,是递增数列,∴,∴的前项和.(2)证明:∵,,
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