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文档简介
广东省广州市越秀区实验中学2025届高三一诊练习三数学试题注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.下列选项中,说法正确的是()A.“”的否定是“”B.若向量满足,则与的夹角为钝角C.若,则D.“”是“”的必要条件2.直三棱柱中,,,则直线与所成的角的余弦值为()A. B. C. D.3.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆的右焦点为,若F到直线的距离为,则E的离心率为()A. B. C. D.4.已知,,则的大小关系为()A. B. C. D.5.若,则下列不等式不能成立的是()A. B. C. D.6.的展开式中有理项有()A.项 B.项 C.项 D.项7.百年双中的校训是“仁”、“智”、“雅”、“和”.在2019年5月18日的高三趣味运动会中有这样的一个小游戏.袋子中有大小、形状完全相同的四个小球,分别写有“仁”、“智”、“雅”、“和”四个字,有放回地从中任意摸出一个小球,直到“仁”、“智”两个字都摸到就停止摸球.小明同学用随机模拟的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用电脑随机产生1到4之间(含1和4)取整数值的随机数,分别用1,2,3,4代表“仁”、“智”、“雅”、“和”这四个字,以每三个随机数为一组,表示摸球三次的结果,经随机模拟产生了以下20组随机数:141432341342234142243331112322342241244431233214344142134412由此可以估计,恰好第三次就停止摸球的概率为()A. B. C. D.8.已知数列满足:)若正整数使得成立,则()A.16 B.17 C.18 D.199.已知双曲线的左、右焦点分别为,圆与双曲线在第一象限内的交点为M,若.则该双曲线的离心率为A.2 B.3 C. D.10.设变量满足约束条件,则目标函数的最大值是()A.7 B.5 C.3 D.211.为了加强“精准扶贫”,实现伟大复兴的“中国梦”,某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作,每个县至少去1人,且甲、乙两人约定去同一个贫困县,则不同的派遣方案共有()A.24 B.36 C.48 D.6412.已知集合,则为()A.[0,2) B.(2,3] C.[2,3] D.(0,2]二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设等差数列的前项和为,若,,则数列的公差________,通项公式________.14.已知双曲线C:()的左、右焦点为,,为双曲线C上一点,且,若线段与双曲线C交于另一点A,则的面积为______.15.如图是某几何体的三视图,俯视图中圆的两条半径长为2且互相垂直,则该几何体的体积为________.16.在中,角,,的对边分别为,,.若;且,则周长的范围为__________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设点,动圆经过点且和直线相切.记动圆的圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程;(2)过点的直线与曲线交于、两点,且直线与轴交于点,设,,求证:为定值.18.(12分)如图,在正四棱锥中,底面正方形的对角线交于点且(1)求直线与平面所成角的正弦值;(2)求锐二面角的大小.19.(12分)如图所示,已知平面,,为等边三角形,为边上的中点,且.(Ⅰ)求证:面;(Ⅱ)求证:平面平面;(Ⅲ)求该几何体的体积.20.(12分)某工厂,两条相互独立的生产线生产同款产品,在产量一样的情况下通过日常监控得知,生产线生产的产品为合格品的概率分别为和.(1)从,生产线上各抽检一件产品,若使得至少有一件合格的概率不低于,求的最小值.(2)假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品,以(1)中确定的作为的值.①已知,生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失元和元.若从两条生产线上各随机抽检件产品,以挽回损失的平均数为判断依据,估计哪条生产线挽回的损失较多?②若最终的合格品(包括返工修复后的合格品)按照一、二、三等级分类后,每件分别获利元、元、元,现从,生产线的最终合格品中各随机抽取件进行检测,结果统计如下图;用样本的频率分布估计总体分布,记该工厂生产一件产品的利润为,求的分布列并估算该厂产量件时利润的期望值.21.(12分)已知圆O经过椭圆C:的两个焦点以及两个顶点,且点在椭圆C上.求椭圆C的方程;若直线l与圆O相切,与椭圆C交于M、N两点,且,求直线l的倾斜角.22.(10分)如图,三棱台中,侧面与侧面是全等的梯形,若,且.(Ⅰ)若,,证明:∥平面;(Ⅱ)若二面角为,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
对于A根据命题的否定可得:“∃x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“∀x∈R,x2-x>0”,即可判断出;对于B若向量满足,则与的夹角为钝角或平角;对于C当m=0时,满足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立;对于D根据元素与集合的关系即可做出判断.【详解】选项A根据命题的否定可得:“∃x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“∀x∈R,x2-x>0”,因此A不正确;选项B若向量满足,则与的夹角为钝角或平角,因此不正确.选项C当m=0时,满足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立,因此不正确;选项D若“”,则且,所以一定可以推出“”,因此“”是“”的必要条件,故正确.故选:D.【点睛】本题考查命题的真假判断与应用,涉及知识点有含有量词的命题的否定、不等式性质、向量夹角与性质、集合性质等,属于简单题.2、A【解析】
设,延长至,使得,连,可证,得到(或补角)为所求的角,分别求出,解即可.【详解】设,延长至,使得,连,在直三棱柱中,,,四边形为平行四边形,,(或补角)为直线与所成的角,在中,,在中,,在中,,在中,,在中,.
故选:A.【点睛】本题考查异面直线所成的角,要注意几何法求空间角的步骤“做”“证”“算”缺一不可,属于中档题.3、A【解析】
由已知可得到直线的倾斜角为,有,再利用即可解决.【详解】由F到直线的距离为,得直线的倾斜角为,所以,即,解得.故选:A.【点睛】本题考查椭圆离心率的问题,一般求椭圆离心率的问题时,通常是构造关于的方程或不等式,本题是一道容易题.4、D【解析】
由指数函数的图像与性质易得最小,利用作差法,结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较和的大小关系,进而得解.【详解】根据指数函数的图像与性质可知,由对数函数的图像与性质可知,,所以最小;而由对数换底公式化简可得由基本不等式可知,代入上式可得所以,综上可知,故选:D.【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形,对数换底公式及基本不等式的简单应用,作差法比较大小,属于中档题.5、B【解析】
根据不等式的性质对选项逐一判断即可.【详解】选项A:由于,即,,所以,所以,所以成立;选项B:由于,即,所以,所以,所以不成立;选项C:由于,所以,所以,所以成立;选项D:由于,所以,所以,所以,所以成立.故选:B.【点睛】本题考查不等关系和不等式,属于基础题.6、B【解析】
由二项展开式定理求出通项,求出的指数为整数时的个数,即可求解.【详解】,,当,,,时,为有理项,共项.故选:B.【点睛】本题考查二项展开式项的特征,熟练掌握二项展开式的通项公式是解题的关键,属于基础题.7、A【解析】
由题意找出满足恰好第三次就停止摸球的情况,用满足恰好第三次就停止摸球的情况数比20即可得解.【详解】由题意可知当1,2同时出现时即停止摸球,则满足恰好第三次就停止摸球的情况共有五种:142,112,241,142,412.则恰好第三次就停止摸球的概率为.故选:A.【点睛】本题考查了简单随机抽样中随机数的应用和古典概型概率的计算,属于基础题.8、B【解析】
计算,故,解得答案.【详解】当时,,即,且.故,,故.故选:.【点睛】本题考查了数列的相关计算,意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.9、D【解析】
本题首先可以通过题意画出图像并过点作垂线交于点,然后通过圆与双曲线的相关性质判断出三角形的形状并求出高的长度,的长度即点纵坐标,然后将点纵坐标带入圆的方程即可得出点坐标,最后将点坐标带入双曲线方程即可得出结果。【详解】根据题意可画出以上图像,过点作垂线并交于点,因为,在双曲线上,所以根据双曲线性质可知,,即,,因为圆的半径为,是圆的半径,所以,因为,,,,所以,三角形是直角三角形,因为,所以,,即点纵坐标为,将点纵坐标带入圆的方程中可得,解得,,将点坐标带入双曲线中可得,化简得,,,,故选D。【点睛】本题考查了圆锥曲线的相关性质,主要考察了圆与双曲线的相关性质,考查了圆与双曲线的综合应用,考查了数形结合思想,体现了综合性,提高了学生的逻辑思维能力,是难题。10、B【解析】
由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件,表示的可行域,如图,由可得,将变形为,平移直线,由图可知当直经过点时,直线在轴上的截距最大,最大值为,故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中,利用可行域求目标函数的最值,属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是实线还是虚线);(2)找到目标函数对应的最优解对应点(在可行域内平移变形后的目标函数,最先通过或最后通过的顶点就是最优解);(3)将最优解坐标代入目标函数求出最值.11、B【解析】
根据题意,有两种分配方案,一是,二是,然后各自全排列,再求和.【详解】当按照进行分配时,则有种不同的方案;当按照进行分配,则有种不同的方案.故共有36种不同的派遣方案,故选:B.【点睛】本题考查排列组合、数学文化,还考查数学建模能力以及分类讨论思想,属于中档题.12、B【解析】
先求出,得到,再结合集合交集的运算,即可求解.【详解】由题意,集合,所以,则,所以.故选:B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算,其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键,着重考查了计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、2【解析】
直接利用等差数列公式计算得到答案.【详解】,,解得,,故.故答案为:2;.【点睛】本题考查了等差数列的基本计算,意在考查学生的计算能力.14、【解析】
由已知得即,,可解得,由在双曲线C上,代入即可求得双曲线方程,然后求得直线的方程与双曲线方程联立求得点A坐标,借助,即可解得所求.【详解】由已知得,又,,所以,解得或,由在双曲线C上,所以或,所以或(舍去),因此双曲线C的方程为.又,所以线段的方程为,与双曲线C的方程联立消去x整理得,所以,,所以点A坐标为,所以.【点睛】本题主要考查直线与双曲线的位置关系,考查双曲线方程的求解,考查求三角形面积,考查学生的计算能力,难度较难.15、20【解析】
由三视图知该几何体是一个圆柱与一个半球的四分之三的组合,利用球体体积公式、圆柱体积公式计算即可.【详解】由三视图知,该几何体是由一个半径为2的半球的四分之三和一个底面半径2、高为4的圆柱组合而成,其体积为.故答案为:20.【点睛】本题考查三视图以及几何体体积,考查学生空间想象能力以及数学运算能力,是一道容易题.16、【解析】
先求角,再用余弦定理找到边的关系,再用基本不等式求的范围即可.【详解】解:所以三角形周长故答案为:【点睛】考查正余弦定理、基本不等式的应用以及三条线段构成三角形的条件;基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)见解析.【解析】
(1)已知点轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,由此可得曲线的方程;(2)设直线方程为,,则,设,由直线方程与抛物线方程联立消元应用韦达定理得,,由,,用横坐标表示出,然后计算,并代入,可得结论.【详解】(1)设动圆圆心,由抛物线定义知:点轨迹是以为焦点,直线为准线的抛物线,设其方程为,则,解得.∴曲线的方程为;(2)证明:设直线方程为,,则,设,由得,①,则,,②,由,,得,,整理得,,∴,代入②得:.【点睛】本题考查求曲线方程,考查抛物线的定义,考查直线与抛物线相交问题中的定值问题.解题方法是设而不求的思想方法,即设交点坐标,设直线方程,直线方程代入抛物线(或圆锥曲线)方程得一元二次方程,应用韦达定理得,,代入题中其他条件所求式子中化简变形.18、(1);(2).【解析】
(1)以分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,设底面正方形边长为再求解与平面的法向量,继而求得直线与平面所成角的正弦值即可.(2)分别求解平面与平面的法向量,再求二面角的余弦值判断二面角大小即可.【详解】解:在正四棱锥中,底面正方形的对角线交于点所以平面取的中点的中点所以两两垂直,故以点为坐标原点,以分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系.设底面正方形边长为因为所以所以,所以,设平面的法向量是,因为,,所以,,取则,所以所以,所以直线与平面所成角的正弦值为.设平面的法向量是,因为,,所以,取则所以,由知平面的法向量是,所以所以,所以锐二面角的大小为.【点睛】本题主要考查了建立平面直角坐标系求解线面夹角以及二面角的问题,属于中档题.19、(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ).【解析】
(I)取的中点,连接,通过证明四边形为平行四边形,证得,由此证得平面.(II)利用,证得平面,从而得到平面,由此证得平面平面.(III)作交于点,易得面,利用棱锥的体积公式,计算出棱锥的体积.【详解】(Ⅰ)取的中点,连接,则,,故四边形为平行四边形.故.又面,平面,所以面.(Ⅱ)为等边三角形,为中点,所以.又,所以面.又,故面,所以面平面.(Ⅲ)几何体是四棱锥,作交于点,即面,.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,考查四棱锥体积的求法,考查空间想象能力,所以中档题.20、(1)(2)①生产线上挽回的损失较多.②见解析【解析】
(1)由题意得到关于的不等式,求解不等式得到的取值范围即可确定其最小值;(2)①.由题意利用二项分布的期望公式和数学期望的性质给出结论即可;②.由题意首先确定X可能的取值,然后求得相应的概率值可得分布列,最后由分布列可得利润的期望值.【详解】(1)设从,生产线上各抽检一件产品,至少有一件合格为事件,设从,生产线上抽到合格品分别为事件,,则,互为独立事件由已知有,则解得,则的最小值(2)由(1)知,生产线的合格率分别为和,即不合格率分别为和.①设从,生产线上各抽检件产品,抽到不合格产品件数分别为,,则有,,所以,生产线上挽回损失的平均数分别为:,所以生产线上挽回的损失较多.②由已知得的可能取值为,,,用样本估计总体,则有,,所以的分布列为所以(元)故估算估算该厂产量件时利润的期望值为(元)【点睛】本题主要考查概率公式的应用,二项分布的性质与方差的求解,离散型随机变量及其分布列的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21、(1);(2)或【解析】
(1)先由题意得出,可得出与的等量关
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