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文档简介
安徽省砀山县二中2025年高三期末预热联考数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若x,y满足约束条件则z=的取值范围为()A.[] B.[,3] C.[,2] D.[,2]2.正项等比数列中的、是函数的极值点,则()A. B.1 C. D.23.如图,平面四边形中,,,,为等边三角形,现将沿翻折,使点移动至点,且,则三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.4.复数().A. B. C. D.5.三棱锥中,侧棱底面,,,,,则该三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.6.已知双曲线与双曲线有相同的渐近线,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.7.下列函数中,在定义域上单调递增,且值域为的是()A. B. C. D.8.已知,,若,则向量在向量方向的投影为()A. B. C. D.9.下列函数中,值域为的偶函数是()A. B. C. D.10.一个组合体的三视图如图所示(图中网格小正方形的边长为1),则该几何体的体积是()A. B. C. D.11.正三棱柱中,,是的中点,则异面直线与所成的角为()A. B. C. D.12.若的二项式展开式中二项式系数的和为32,则正整数的值为()A.7 B.6 C.5 D.4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某同学周末通过抛硬币的方式决定出去看电影还是在家学习,抛一枚硬币两次,若两次都是正面朝上,就在家学习,否则出去看电影,则该同学在家学习的概率为____________.14.在直角坐标系中,某等腰直角三角形的两个顶点坐标分别为,函数的图象经过该三角形的三个顶点,则的解析式为___________.15.已知,则展开式中的系数为__16.已知函数在处的切线与直线平行,则为________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)若曲线的切线方程为,求实数的值;(2)若函数在区间上有两个零点,求实数的取值范围.18.(12分)的内角的对边分别为,若(1)求角的大小(2)若,求的周长19.(12分)已知椭圆:(),点是的左顶点,点为上一点,离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设过点的直线与的另一个交点为(异于点),是否存在直线,使得以为直径的圆经过点,若存在,求出直线的方程;若不存在,说明理由.20.(12分)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是,直线和直线的极坐标方程分别是()和(),其中().(1)写出曲线的直角坐标方程;(2)设直线和直线分别与曲线交于除极点的另外点,,求的面积最小值.21.(12分)已知,点分别为椭圆的左、右顶点,直线交于另一点为等腰直角三角形,且.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于两点,总使得为锐角,求直线斜率的取值范围.22.(10分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)写出直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;(2)设直线与曲线相交于两点,的顶点也在曲线上运动,求面积的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】
由题意作出可行域,转化目标函数为连接点和可行域内的点的直线斜率的倒数,数形结合即可得解.【详解】由题意作出可行域,如图,目标函数可表示连接点和可行域内的点的直线斜率的倒数,由图可知,直线的斜率最小,直线的斜率最大,由可得,由可得,所以,,所以.故选:D.【点睛】本题考查了非线性规划的应用,属于基础题.2、B【解析】
根据可导函数在极值点处的导数值为,得出,再由等比数列的性质可得.【详解】解:依题意、是函数的极值点,也就是的两个根∴又是正项等比数列,所以∴.故选:B【点睛】本题主要考查了等比数列下标和性质以应用,属于中档题.3、A【解析】
将三棱锥补形为如图所示的三棱柱,则它们的外接球相同,由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上,在中,计算半径即可.【详解】由,,可知平面.将三棱锥补形为如图所示的三棱柱,则它们的外接球相同.由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上,记的外心为,由为等边三角形,可得.又,故在中,,此即为外接球半径,从而外接球表面积为.故选:A【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积,考查了学生空间想象,逻辑推理,综合分析,数学运算的能力,属于较难题.4、A【解析】试题分析:,故选A.【考点】复数运算【名师点睛】复数代数形式的四则运算的法则是进行复数运算的理论依据,加减运算类似于多项式的合并同类项,乘法法则类似于多项式的乘法法则,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.5、B【解析】由题,侧棱底面,,,,则根据余弦定理可得,的外接圆圆心三棱锥的外接球的球心到面的距离则外接球的半径,则该三棱锥的外接球的表面积为点睛:本题考查的知识点是球内接多面体,熟练掌握球的半径公式是解答的关键.6、C【解析】
由双曲线与双曲线有相同的渐近线,列出方程求出的值,即可求解双曲线的离心率,得到答案.【详解】由双曲线与双曲线有相同的渐近线,可得,解得,此时双曲线,则曲线的离心率为,故选C.【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用,其中解答中熟记双曲线的几何性质,准确运算是解答的关键,着重考查了运算与求解能力,属于基础题.7、B【解析】
分别作出各个选项中的函数的图象,根据图象观察可得结果.【详解】对于,图象如下图所示:则函数在定义域上不单调,错误;对于,的图象如下图所示:则在定义域上单调递增,且值域为,正确;对于,的图象如下图所示:则函数单调递增,但值域为,错误;对于,的图象如下图所示:则函数在定义域上不单调,错误.故选:.【点睛】本题考查函数单调性和值域的判断问题,属于基础题.8、B【解析】
由,,,再由向量在向量方向的投影为化简运算即可【详解】∵∴,∴,∴向量在向量方向的投影为.故选:B.【点睛】本题考查向量投影的几何意义,属于基础题9、C【解析】试题分析:A中,函数为偶函数,但,不满足条件;B中,函数为奇函数,不满足条件;C中,函数为偶函数且,满足条件;D中,函数为偶函数,但,不满足条件,故选C.考点:1、函数的奇偶性;2、函数的值域.10、C【解析】
根据组合几何体的三视图还原出几何体,几何体是圆柱中挖去一个三棱柱,从而解得几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可得,几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的圆柱中挖去一个底面腰长为的等腰直角三角形、高为2的棱柱,故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积,即,故选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题,解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体,然后根据几何体的结构求出其体积.11、C【解析】
取中点,连接,,根据正棱柱的结构性质,得出//,则即为异面直线与所成角,求出,即可得出结果.【详解】解:如图,取中点,连接,,由于正三棱柱,则底面,而底面,所以,由正三棱柱的性质可知,为等边三角形,所以,且,所以平面,而平面,则,则//,,∴即为异面直线与所成角,设,则,,,则,∴.故选:C.【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角,考查计算能力.12、C【解析】
由二项式系数性质,的展开式中所有二项式系数和为计算.【详解】的二项展开式中二项式系数和为,.故选:C.【点睛】本题考查二项式系数的性质,掌握二项式系数性质是解题关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
采用列举法计算古典概型的概率.【详解】抛掷一枚硬币两次共有4种情况,即(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),在家学习只有1种情况,即(正,正),故该同学在家学习的概率为.故答案为:【点睛】本题考查古典概型的概率计算,考查学生的基本计算能力,是一道基础题.14、【解析】
结合题意先画出直角坐标系,点出所有可能组成等腰直角三角形的点,采用排除法最终可确定为点,再由函数性质进一步求解参数即可【详解】等腰直角三角形的第三个顶点可能的位置如下图中的点,其中点与已有的两个顶点横坐标重复,舍去;若为点则点与点的中间位置的点的纵坐标必然大于或小于,不可能为,因此点也舍去,只有点满足题意.此时点为最大值点,所以,又,则,所以点,之间的图像单调,将,代入的表达式有由知,因此.故答案为:【点睛】本题考查由三角函数图像求解解析式,数形结合思想,属于中档题15、1.【解析】
由题意求定积分得到的值,再根据乘方的意义,排列组合数的计算公式,求出展开式中的系数.【详解】∵已知,则,
它表示4个因式的乘积.
故其中有2个因式取,一个因式取,剩下的一个因式取1,可得的项.
故展开式中的系数.
故答案为:1.【点睛】本题主要考查求定积分,乘方的意义,排列组合数的计算公式,属于中档题.16、【解析】
根据题意得出,由此可得出实数的值.【详解】,,直线的斜率为,由于函数在处的切线与直线平行,则.故答案为:.【点睛】本题考查利用函数的切线与直线平行求参数,解题时要结合两直线的位置关系得出两直线斜率之间的关系,考查计算能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)或【解析】
(1)根据解析式求得导函数,设切点坐标为,结合导数的几何意义可得方程,构造函数,并求得,由导函数求得有最小值,进而可知由唯一零点,即可代入求得的值;(2)将解析式代入,结合零点定义化简并分离参数得,构造函数,根据题意可知直线与曲线有两个交点;求得并令求得极值点,列出表格判断的单调性与极值,即可确定与有两个交点时的取值范围.【详解】(1)依题意,,,设切点为,,故,故,则;令,,故当时,,当时,,故当时,函数有最小值,由于,故有唯一实数根0,即,则;(2)由,得.所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线在有两个交点”;由于.由,解得,.当变化时,与的变化情况如下表所示:30+0极小值极大值所以在,上单调递减,在上单调递增.又因为,,,,故当或时,直线与曲线在上有两个交点,即当或时,函数在区间上有两个零点.【点睛】本题考查了导数的几何意义应用,由切线方程求参数值,构造函数法求参数的取值范围,函数零点的意义及综合应用,属于难题.18、(1)(2)11【解析】
(1)利用二倍角公式将式子化简成,再利用两角和与差的余弦公式即可求解.(2)利用余弦定理可得,再将平方,利用向量数量积可得,从而可求周长.【详解】由题解得,所以由余弦定理,,再由解得:所以故的周长为【点睛】本题主要考查了余弦定理解三角形、两角和与差的余弦公式、需熟记公式,属于基础题.19、(1);(2)存在,【解析】
(1)把点代入椭圆C的方程,再结合离心率,可得a,b,c的关系,可得椭圆的方程;(2)设出直线的方程,代入椭圆,运用韦达定理可求得点的坐标,再由,可求得直线的方程,要注意检验直线是否和椭圆有两个交点.【详解】(1)由题可得∴,所以椭圆的方程(2)由题知,设,直线的斜率存在设为,则与椭圆联立得,,∴,,∴若以为直径的圆经过点,则,∴,化简得,∴,解得或因为与不重合,所以舍.所以直线的方程为.【点睛】本题考查椭圆的简单性质,考查直线与椭圆位置关系的应用,考查了向量的数量积的运用,属于中档题.20、(1);(2)16.【解析】
(1)将极坐标方程化为直角坐标方程即可;(2)利用极径的几何意义,联立曲线,直线,直线的极坐标方程,得出,利用三角形面积公式,结合正弦函数的性质,得出的面积最小值.【详解】(1)曲线:,即化为直角坐标方程为:;(2),即同理∴当且仅当,即()时取等号即的面积最小值为16【点睛】本题主要考查了极坐标方程化直角坐标方程以及极坐标的应用,属于中档题.21、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由题意可知:由,求得点坐标,即可求得椭圆的方程;(Ⅱ)设直线,代入椭圆方程,由韦达定理,由,由为锐角,则,由向量数量积的坐标公式,即可求得直线斜率的取值范围.【详解】解:(Ⅰ)根据题意是等腰直角三角形,,设由得则代入椭圆方程得椭圆的方程为(Ⅱ)根据题意,直线的斜率存在,可设方程为设由得由直线与椭圆有两个不同的交点则即得又为锐角则即②由①②得或故直线斜率可取值范围是【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质,考查
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