2025年中考数学三轮复习之相交线与平行线

第23页（共23页）2025年中考数学三轮复习之相交线与平行线一．选择题（共10小题）1．（2025•长安区一模）如图，AB⊥BC于点B，AB＝3，点P在射线BC上，则线段AP的长不可能是（）A．5 B．4 C．3 D．22．（2025•长沙模拟）如图，一束光线AO从空气中照射到水中，会发生折射现象，其中AO为入射光线，OB为折射光线，直线DE为法线，点A，O，C在同一条直线上．若∠AOD＝50°，∠BOE＝35°，则∠BOC的度数为（）A．15° B．16° C．17° D．18°3．（2025•合肥一模）将三角尺ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线l2上．若l1∥l2，∠1＝35°，则∠2的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．35°4．（2025•武汉模拟）如图，潜望镜中的两面镜子AB与CD互相平行放置，光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若入射光线a与镜面AB的夹角∠1＝45°，则∠4的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°5．（2025•红花岗区校级一模）如图，直线CD∥AB，∠A＝78°，则∠1的度数是（）A．102° B．112° C．122° D．132°6．（2025•碑林区校级二模）如图，AB∥CD，CB∥DE，若∠B＝112°，则∠D的大小为（）A．112° B．78° C．72° D．68°7．（2025•灞桥区校级四模）如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝60°，则∠CBE的度数为（）A．20° B．30° C．55° D．60°8．（2025•浙江一模）将一个含45°角的三角尺和直尺如图放置．若∠1＝65°，则∠2＝（）A．20° B．25° C．30° D．35°9．（2025•海淀区校级模拟）如图，直线AB和CD相交于点O，OB平分∠DOE，OE⊥OF，若∠AOF＝28°，则∠COF的度数为（）A．28° B．30° C．32° D．34°10．（2025•岳麓区校级模拟）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝62°，则∠4的度数为（）A．62° B．128° C．98° D．118°二．填空题（共5小题）11．（2025•和平区模拟）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．第一次的拐角∠ABC的度数是138°，第二次的拐角∠BCD的度数是．12．（2025•闵行区模拟）如图，已知AB∥CD，EF交CD于点E，∠A＝30°，∠DEF＝50°，那么∠F＝度．13．（2025•夏县一模）如图，这是利用杠杆原理使物体平衡的示意图，G为竖直向下的重力，F为竖直向下的拉力．若∠1＝107°，则∠2的度数是°．14．（2025•长治一模）光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，用直线m，n表示一块玻璃的两个面，且m∥n．现有一束光线AB从空气射向玻璃，BC是折射光线，D为射线AB延长线上一点．若∠1＝20°，∠2＝145°，则∠3＝．15．（2025•连州市模拟）如图，直线m平行于直线n，写出图中所有相等的内错角．三．解答题（共5小题）16．（2025•慈利县一模）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠BOD＝35°，求∠EOC的度数；（2）若∠EOC：∠EOD＝1：4，求∠BOD的度数．17．（2025•泗阳县校级一模）如图，直线a∥b，直线c∥d，∠1＝108°，求∠2，∠3的度数．18．（2024•江夏区校级模拟）已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；（1）求证：DE∥BA．（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．19．（2024•金昌三模）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）试判断AD与EF的位置关系，并说明理由．（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数．20．（2024•恩施市模拟）如图1，AB∥CD，E为AB与CD之间的一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，与CD相交于点F．（1）求证：∠1+∠2＝90°．（2）如图2，E为AB上方的一点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请写出正确结论并证明．（3）如图3，E为AB下方的一点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请直接写出正确结论．

2025年中考数学三轮复习之相交线与平行线参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案DACBADBBDD一．选择题（共10小题）1．（2025•长安区一模）如图，AB⊥BC于点B，AB＝3，点P在射线BC上，则线段AP的长不可能是（）A．5 B．4 C．3 D．2【考点】垂线段最短．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．【答案】D【分析】根据垂线段最短，即可解答．【解答】解：如图，AB⊥BC于点B，AB＝3，点P在射线BC上，则线段AP的长最小值是3，不可能是2，故选：D．【点评】本题考查了垂线段最短，熟练掌握这些数学知识是解题的关键．2．（2025•长沙模拟）如图，一束光线AO从空气中照射到水中，会发生折射现象，其中AO为入射光线，OB为折射光线，直线DE为法线，点A，O，C在同一条直线上．若∠AOD＝50°，∠BOE＝35°，则∠BOC的度数为（）A．15° B．16° C．17° D．18°【考点】对顶角、邻补角；角的计算．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】A【分析】先根据对顶角相等可得：∠AOD＝∠EOC＝50°，然后利用角的和差关系进行计算，即可解答．【解答】解：∵∠AOD＝50°，∴∠AOD＝∠EOC＝50°，∵∠BOE＝35°，∴∠BOC＝∠COE﹣∠BOE＝50°﹣35°＝15°，故选：A．【点评】本题考查了角的计算，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．3．（2025•合肥一模）将三角尺ABC按如图位置摆放，顶点A落在直线l1上，顶点B落在直线l2上．若l1∥l2，∠1＝35°，则∠2的度数是（）A．15° B．20° C．25° D．35°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】C【分析】求出∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝25°，由平行线的性质推出∠2＝∠BAD＝25°．【解答】解：∵∠ABC＝30°，∠C＝90°，∴∠CAB＝90°﹣30°＝60°，∵∠1＝35°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠1＝25°，∵l1∥l2，∴∠2＝∠BAD＝25°．故选：C．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠2＝∠BAD．4．（2025•武汉模拟）如图，潜望镜中的两面镜子AB与CD互相平行放置，光线经过镜子反射时，∠1＝∠2，∠3＝∠4．若入射光线a与镜面AB的夹角∠1＝45°，则∠4的度数是（）A．30° B．45° C．60° D．90°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】B【分析】由平行线的性质推出∠3＝∠2，即可得到∠4＝∠1＝45°．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠3＝∠2，∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴∠4＝∠1＝45°．故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠3＝∠2．5．（2025•红花岗区校级一模）如图，直线CD∥AB，∠A＝78°，则∠1的度数是（）A．102° B．112° C．122° D．132°【考点】平行线的性质；对顶角、邻补角．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】A【分析】根据两直线平行，同旁内角互补得出∠A+∠AOD＝180°，即可求出∠AOD的度数，再根据对顶角相等即可求出∠1的度数．【解答】解：∵CD∥AB，∴∠A+∠AOD＝180°，∵∠A＝78°，∴∠AOD＝102°，∴∠1＝∠AOD＝102°，故选：A．【点评】本题考查了平行线的性质，对顶角、邻补角，熟练掌握平行线的性质和对顶角的性质是解题的关键．6．（2025•碑林区校级二模）如图，AB∥CD，CB∥DE，若∠B＝112°，则∠D的大小为（）A．112° B．78° C．72° D．68°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】D【分析】由平行线的性质推出∠D+∠B＝180°，即可求出∠D的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BCM+∠B＝180°，∵CB∥DE，∴∠D＝∠BCM，∴∠D+∠B＝180°，∵∠B＝112°，∴∠D＝68°．故选：D．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠D+∠B＝180°．7．（2025•灞桥区校级四模）如图，DE∥BC，BE平分∠ABC，若∠1＝60°，则∠CBE的度数为（）A．20° B．30° C．55° D．60°【考点】平行线的性质；角平分线的定义．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】B【分析】由平行线的性质推出∠ABC＝∠1＝60°，由角平分线定义得到∠CBE=12∠ABC＝【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠1＝60°，∵BE平分∠ABC，∴∠CBE=12∠ABC＝故选：B．【点评】本题考查平行线的性质，角平分线定义，关键是由平行线的性质推出∠ABC＝∠1．8．（2025•浙江一模）将一个含45°角的三角尺和直尺如图放置．若∠1＝65°，则∠2＝（）A．20° B．25° C．30° D．35°【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】B【分析】根据直尺两边平行，求出∠3的度数，再根据平角的性质，求解即可．【解答】解：∵直尺对边平行，∴∠3＝∠1＝65°，∴∠2＝25°．故选：B．【点评】本题考查平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是关键．9．（2025•海淀区校级模拟）如图，直线AB和CD相交于点O，OB平分∠DOE，OE⊥OF，若∠AOF＝28°，则∠COF的度数为（）A．28° B．30° C．32° D．34°【考点】垂线；角平分线的定义；对顶角、邻补角．【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】首先由OE⊥OF，∠AOF＝28°利用平角的定义可求出∠EOB＝62°，再根据角平分线的定义得∠DOE＝2∠EOB＝124°，进而再根据平角的定义可求出∠COE的度数，最后再根据垂直的定义可求出∠COF的度数．【解答】解：∵OE⊥OF，∴∠EOF＝90°，∵∠AOF+∠EOF+∠EOB＝180°，又∠AOF＝28°，∴∠EOB＝180°﹣∠AOF﹣∠EOF＝180°﹣28°﹣90°＝62°，∵OB平分∠DOE，∴∠DOE＝2∠EOB＝2×62°＝124°，∵∠COE+∠DOE＝180°，∴∠COE＝180°﹣∠DOE＝180°﹣124°＝56°，∴∠COF＝∠EOF﹣∠COE＝90°﹣56°＝34°．故选：D．【点评】此题主要考查了垂直的定义，平角的定义，角平分线的定义等，解答此题的关键是准确识图，利用平角的定义和垂直的定义找出相关角的关系．10．（2025•岳麓区校级模拟）如图，已知∠1＝∠2，∠3＝62°，则∠4的度数为（）A．62° B．128° C．98° D．118°【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】D【分析】根据内错角相等两直线平行得a∥b，然后根据两直线平行，同旁内角互补即可解决问题．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴a∥b，∴∠4+∠3＝180，∵∠3＝62°，∴∠4＝180°﹣62°＝118°．故选：D．【点评】本题考查平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握并区分平行线的判定与性质．二．填空题（共5小题）11．（2025•和平区模拟）如图，一条公路两次转弯后，和原来的方向相同．第一次的拐角∠ABC的度数是138°，第二次的拐角∠BCD的度数是138°．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】138°．【分析】由两直线平行，内错角相等，即可得到答案．【解答】解：AB∥CD，∴∠BCD＝∠ABC＝138°．故答案为：138°．【点评】本题考查平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等．12．（2025•闵行区模拟）如图，已知AB∥CD，EF交CD于点E，∠A＝30°，∠DEF＝50°，那么∠F＝20度．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】20．【分析】由平行线的性质推出∠BMF＝∠DEF＝50°，由三角形的外角性质即可求出∠F的度数．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BMF＝∠DEF＝50°，∴∠F＝∠BMF﹣∠A＝50°﹣30°＝20°．故答案为：20．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠BMF＝∠DEF．13．（2025•夏县一模）如图，这是利用杠杆原理使物体平衡的示意图，G为竖直向下的重力，F为竖直向下的拉力．若∠1＝107°，则∠2的度数是73°．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力；应用意识．【答案】73．【分析】根据平行线的性质即可求出答案．【解答】解：根据题意得HG∥EF，∴∠1+∠2＝180°，∵∠1＝107°，∴∠2＝180°﹣107°＝73°，故答案为：73．【点评】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键．14．（2025•长治一模）光从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，用直线m，n表示一块玻璃的两个面，且m∥n．现有一束光线AB从空气射向玻璃，BC是折射光线，D为射线AB延长线上一点．若∠1＝20°，∠2＝145°，则∠3＝125°．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】125°．【分析】先根据补角的定义求出∠DBE的度数，进而可得出∠CBE的度数，由平行线的性质即可得出结论．【解答】解：∵∠2＝145°，∠1＝20°，∴∠DBE＝180°﹣145°＝35°，∴∠CBE＝∠1+∠DBE＝20°+35°＝55°，∵m∥n，∴∠3＝180°﹣55°＝125°．故答案为：125°．【点评】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．15．（2025•连州市模拟）如图，直线m平行于直线n，写出图中所有相等的内错角∠3＝∠6，∠4＝∠5．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】∠3＝∠6，∠4＝∠5．【分析】根据平行线的性质及内错角的定义解答即可．【解答】解：∵m∥n，∴∠3＝∠6，∠4＝∠5，故答案为：∠3＝∠6，∠4＝∠5．【点评】本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键．三．解答题（共5小题）16．（2025•慈利县一模）如图，直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC．（1）若∠BOD＝35°，求∠EOC的度数；（2）若∠EOC：∠EOD＝1：4，求∠BOD的度数．【考点】对顶角、邻补角；角平分线的定义．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】（1）70°；（2）18°．【分析】（1）由角平分线的定义得到∠EOC＝2∠AOC，由对顶角的性质得到∠AOC＝∠BOD＝35°，即可求出∠EOC的度数；（2）由∠EOC：∠EOD＝1：4，求出∠EOC度数，由角平分线的定义求出∠AOC的度数，由对顶角的性质即可求出∠BOD的度数．【解答】解：（1）∵OA平分∠EOC，∴∠EOC＝2∠AOC，∵∠AOC＝∠BOD＝35°，∴∠EOC＝2×35°＝70°；（2）∵∠EOC：∠EOD＝1：4，∠EOC+∠EOD＝180°，∴∠EOC=15×180∵OA平分∠EOC，∴∠AOC=12∠EOC＝∴∠BOD＝∠AOC＝18°．【点评】本题考查角平分线的定义，对顶角，邻补角，关键是掌握对顶角的性质，邻补角的性质，角平分线的定义．17．（2025•泗阳县校级一模）如图，直线a∥b，直线c∥d，∠1＝108°，求∠2，∠3的度数．【考点】平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】∠2＝108°，∠3＝72°．【分析】由平行线的性质推出∠2＝∠1＝108°，∠1+∠3＝180°，求出∠3＝72°．【解答】解：∵a∥b，∴∠2＝∠1＝108°，∵c∥d，∴∠1+∠3＝180°，∴∠3＝72°．【点评】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠2＝∠1＝108°，∠1+∠3＝180°．18．（2024•江夏区校级模拟）已知：如图，点D，E，F分别是三角形ABC的边BC，CA，AB上的点，DF∥CA，∠FDE＝∠A；（1）求证：DE∥BA．（2）若∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，求∠B的度数．【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】（1）见解答；（2）36°．【分析】（1）根据平行线的性质与判定方法证明即可；（2）设∠EDC＝x°，由∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC可得∠BFD＝∠BDF＝2x°，根据平行线的性质可得∠DFB＝∠FDE＝2x°，再根据平角的定义列方程可得x的值，进而得出∠B的度数．【解答】解：（1）证明：∵DF∥CA，∴∠DFB＝∠A，又∵∠FDE＝∠A，∴∠DFB＝∠FDE，∴DE∥AB；（2）设∠EDC＝x°，∵∠BFD＝∠BDF＝2∠EDC，∴∠BFD＝∠BDF＝2x°，由（1）可知DE∥BA，∴∠DFB＝∠FDE＝2x°，∴∠BDF+∠EDF+∠EDC＝2x°+2x°+x°＝180°，∴x＝36，又∵DE∥AB，∴∠B＝∠EDC＝36°．【点评】本题主要考查了平行线的性质与判定的运用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．19．（2024•金昌三模）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）试判断AD与EF的位置关系，并说明理由．（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝150°，求∠B的度数．【考点】平行线的判定与性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力；推理能力．【答案】（1）AD∥EF，证明见解析；（2）∠B＝30°．【分析】（1）先根据AB∥DG，得到∠1＝∠BAD，再根据∠1+∠2＝180°得到∠BAD+∠2＝180°故可求解；（2）先求出∠1＝30°，得到∠GDC＝30°，根据平行线的性质即可得到∠B的度数．【解答】（1）证明：AD∥EF，理由如下：∵AB∥DG，∴∠1＝∠BAD，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°，∴AD∥EF；（2）解：∵∠1+∠2＝180°，∠2＝150°，∴∠1＝30°，∵DG平分∠ADC，∴∠1＝∠GDC＝30°，∵AB∥DG，∴∠B＝∠GDC＝30°．【点评】此题主要考查平行线的性质与判定，解题的关键是熟知平行线和角平分线的性质．20．（2024•恩施市模拟）如图1，AB∥CD，E为AB与CD之间的一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，与CD相交于点F．（1）求证：∠1+∠2＝90°．（2）如图2，E为AB上方的一点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请写出正确结论并证明．（3）如图3，E为AB下方的一点，其他条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请直接写出正确结论．【考点】平行线的性质；垂线．【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力．【答案】（1）见解析，（2）不成立，∠2﹣∠1＝90°，见解析，（3）不成立，结论应为∠1﹣∠2＝90°．【分析】（1）过点E作EM∥AB，利用平行线的性质可得∠BEM＝∠1，进而∠MEF＝∠2，即可证得结论；（2）过点E作EN∥AB，利用平行线的性质可得∠BEN＝∠1，进而∠NEF＝∠2，即可证得结论∠2﹣∠1＝90°；（3）过点E作EG∥CD，利用平行线的性质可得∠GEF＝∠2，进而∠BEG＝∠1，即可证得结论∠1﹣∠2＝90°．【解答】（1）证明：如图，过点E作EM∥AB，则∠BEM＝∠1，又∵AB∥CD，∴EM∥CD，∴∠MEF＝∠2，∴∠1+∠2＝∠BEM+∠MEF＝∠BEF，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，∴∠1+∠2＝90°．（2）解：结论不成立，∠2﹣∠1＝90°．证明：如图，过点E作EN∥AB，则∠BEN＝∠1．又∵AB∥CD，∴EN∥CD，则∠NEF＝∠2，∴∠2﹣∠1＝∠NEF﹣∠BEN＝∠BEF，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，∴∠2﹣∠1＝90°．（3）解：结论不成立，∠1﹣∠2＝90°．证明：如图，过点E作EG∥CD，则∠GEF＝∠2．又∵AB∥CD，∴EG∥AB，则∠BEG＝∠1，∴∠1﹣∠2＝∠BEG﹣∠GEF＝∠BEF，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝90°，∴∠1﹣∠2＝90°．【点评】本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．

考点卡片1．角平分线的定义（1）角平分线的定义从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线．（2）性质：若OC是∠AOB的平分线则∠AOC＝∠BOC=12∠AOB或∠AOB＝2∠AOC＝2∠（3）平分角的方法有很多，如度量法、折叠法、尺规作图法等，要注意积累，多动手实践．2．角的计算（1）角的和差倍分①∠AOB是∠AOC和∠BOC的和，记作：∠AOB＝∠AOC+∠BOC．∠AOC是∠AOB和∠BOC的差，记作：∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC．②若射线OC是∠AOB的三等分线，则∠AOB＝3∠BOC或∠BOC=13∠（2）度、分、秒的加减运算．在进行度分秒的加减时，要将度与度，分与分，秒与秒相加减，分秒相加，逢60要进位，相减时，要借1化60．（3）度、分、秒