2025年中考数学三轮复习之命题与证明

第39页（共39页）2025年中考数学三轮复习之命题与证明一．选择题（共10小题）1．（2025•九龙坡区校级模拟）下列关于命题的说法中，正确的是（）A．到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．平行四边形是中心对称图形 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 D．最小的有理数是02．（2025•方山县一模）“赵爽弦图”是第24届国际数学家大会的会徽图案，源于赵爽所著的《勾股圆方图注》．赵爽运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理，他所用的方法是（）A．分析法 B．相似法 C．反证法 D．等面积法3．（2025•常州模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝45°，AB＝2，BC边上有一动点D，作点B关于直线AD的对称点E，当点D从点B运动到点C时，点E的运动路径长为（）A．π2 B．2π2 C．π 4．（2025•闵行区模拟）已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AC＝BD，下列四个命题中真命题是（）A．若AB＝CD，则四边形ABCD一定是等腰梯形 B．若∠DBC＝∠ACB，则四边形ABCD一定是等腰梯形 C．若AOOB=COODD．若AC⊥BD且AO＝OD，则四边形ABCD一定是正方形5．（2025•铁西区模拟）下列命题正确的是（）A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线 D．三角形的角平分线将三角形的面积分成1：2两部分6．（2025•重庆模拟）下列命题中，是真命题的是（）A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．对顶角相等 C．如果|a|＝|b|，那么a＝b D．三角形的一个外角大于任意一个内角7．（2025•潮阳区一模）要说明命题“两个数相加，和一定大于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（）A．1+3＝4 B．﹣1+3＝2 C．0+3＝3 D．﹣1+（﹣3）＝﹣48．（2025•宁波模拟）将函数y=2x(x＞0)的图象绕原点O逆时针旋转45°得到图象C，在图象C上任取两点（x1，y1），（x2，y2），下列命题：①若x1+x2＝0，则y1＝y2；②若y1＞y2，则y12＞2y2；③若xA．①② B．①③ C．②③ D．①②③9．（2025•大连一模）下列命题中，是真命题的是（）A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离10．（2025•南宁模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，P是AC上的动点，点C与点C′关于PB对称，当点P从点C到点A的运动过程中C′的运动路径长是（）A．π B．2π C．42 D．二．填空题（共5小题）11．（2025•乌鲁木齐一模）如图，AB是⊙O的直径，M、N是AB（异于A、B）上两点，C是MN上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是．12．（2025•岳麓区校级一模）有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6，把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①从左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则标注字母e的卡片写有数字．13．（2025•凉州区校级模拟）如图，等边△ABC内接于⊙O，BC＝6，D为弧AC上一动点，过点B作射线DO的垂线，垂足为E．当点D由点C沿运动到点A时，点E的运动路径长为．14．（2025•管城区一模）举出一个可以说明命题“若a2＝b2，则a＝b”是假命题的反例：．15．（2025•长沙一模）四人分别姓张、李、高和陈，他们每人各任一个职务，四个职位是班长、学习委员、体育委员和劳动委员，已知：（1）体育委员下围棋很厉害，班长和姓李的同学都不是他的对手；（2）班长主持班会的时候，学习委员和姓张的同学都举手提了些建议；（3）学习委员分别给班长和姓李的同学辅导过功课；（4）体育委员参加篮球赛时，班长和姓高的同学一起为他助威．根据以上信息，可以推断劳动委员姓．三．解答题（共5小题）16．（2025•石家庄模拟）如图1筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．如图2，筒车⊙O按逆时针方向转动，与水面分别交于A、B，且AB=43m，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为（1）求筒车⊙O的半径；（2）盛水桶P从刚浮出水面绕到离水面最高点时，求它走过的路径长．17．（2025•江北区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC．小智在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，老师给出了一个富有挑战性的题目，利用所学知识推导出△ABD和△ACD面积的比值与边AB和AC长度的比值之间的关系．经过小组讨论他们的总体思路是控制变量法，即过点D作AC的垂线，垂足为点E，再根据三角形全等来证明△ABD和△ACD的高相等，从而得到结论，请根据小智他们的思路完成以下作图与填空：（1）尺规作图：过点D作AC的垂线，交AC于点E（不写作法，保留作图痕迹）．（2）证明：∵AD平分∠BAC，∴①．∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠B＝90°．又②，∴△ABD≌△AED（AAS）．∴③．∵S△ABD=12AB•DB，S△ACD=12∴S△小智他们再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值④．18．（2024•沙坪坝区校级三模）学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：用直尺和圆规，过点B作∠ABC的角平分线，交AC于点F，连接BE、DF．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，DE平分∠ADC，交AC于点E．求证：四边形BEDF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，①，∴∠DAC＝∠BCA．∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBA，∴∠ADE=1∵∠ADC＝∠CBA，∴②，∴△ADE≌△CBF（ASA）．∴DE＝BF，∠DEA＝∠BFC．∴③，∴四边形BEDF是平行四边形．同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则④．19．（2024•定海区三模）阅读理解：我们解决某些数学题的时候，经常会遇到题目中的条件比较含糊，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和运用，导致我们解题受阻，因此，挖掘题设中的隐含条件，应该成为我们必备的一种能力．请阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并依次解决所给的问题．化简：(1-5解：由题意可知隐含条件1﹣5a≥0，解得：a≤∴1﹣a＞0，∴(1-5启发应用：（1）按照上面的解法，化简：(m类比迁移：（2）已知△ABC的三边长分别为(x)2，(x+y)2，拓展延伸：（3）若(x-420．（2024•重庆二模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出△ABD和△ACD面积的比值与AB，AC两边比值的关系．他的思路是：过点D作AC的垂线，垂足为点H，再根据三角形全等来证明△ABD和△ACD的高相等，进一步得到△ABD和△ACD的面积之比等于∠BAC的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空：（1）尺规作图：过点D作AC的垂线，垂足为点H（保留作图痕迹，不写作法，要下结论）．（2）证明：∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°＝∠B∵AD平分∠BAC，∴．在△ABD和△AHD中，∠B∴△ABD≌△AHD（AAs）．∴BD＝DH．∵S△S△∴S△ABDS△小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么．

2025年中考数学三轮复习之命题与证明参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BDCCBBDDCA一．选择题（共10小题）1．（2025•九龙坡区校级模拟）下列关于命题的说法中，正确的是（）A．到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 B．平行四边形是中心对称图形 C．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 D．最小的有理数是0【考点】命题与定理；中心对称图形；有理数；角平分线的性质；垂径定理．【专题】平移、旋转与对称；圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】B【分析】根据角平分线的判定、中心对称图形、垂径定理的推论、有理数的概念判断即可．【解答】解：A、在角的内部，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，故本选项说法错误，不符合题意；B、平行四边形是中心对称图形，说法正确，符合题意；C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，故本选项说法错误，不符合题意；D、没有最小的有理数，故本选项说法错误，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．2．（2025•方山县一模）“赵爽弦图”是第24届国际数学家大会的会徽图案，源于赵爽所著的《勾股圆方图注》．赵爽运用弦图（如图所示）巧妙地证明了勾股定理，他所用的方法是（）A．分析法 B．相似法 C．反证法 D．等面积法【考点】反证法；勾股定理的证明．【专题】几何图形；运算能力．【答案】D【分析】根据大正方形的面积减去小正方形的面积等于四个直角三角形的面积，即可证明勾股定理．【解答】解：如图，由题意得，c2整理得a2+b2＝c2，∴他所用的方法是等面积法，故选：D．【点评】本题考查了勾股定理的证明，正确进行计算是解题关键．3．（2025•常州模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝45°，AB＝2，BC边上有一动点D，作点B关于直线AD的对称点E，当点D从点B运动到点C时，点E的运动路径长为（）A．π2 B．2π2 C．π 【考点】轨迹；轴对称的性质；勾股定理；等腰直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；与圆有关的计算；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】延长BC到点F，使FC＝BC，连接AF、AE，由∠C＝90°，∠BAC＝45°，得AC垂直平分BF，∠ABF＝∠BAC＝45°，则AF＝AB＝2，∠AFB＝∠ABF＝45°，所以∠BAF＝90°，由点E与点B关于直线AD对称，得AE＝AB＝2，可知点E的运动路径长为以A为圆心，半径长为2，且圆心角为90°的BF的长，根据弧长公式求得lBF=【解答】解：延长BC到点F，使FC＝BC，连接AF、AE，∵∠C＝90°，∠BAC＝45°，AB＝2，∴AC垂直平分BF，∠ABF＝∠BAC＝45°，∴AF＝AB＝2，∠AFB＝∠ABF＝45°，∴∠BAF＝180°﹣∠AFB﹣∠ABF＝90°，∵点E与点B关于直线AD对称，∴AD垂直平分BE，∴AE＝AB＝2，∴点E在以A为圆心，半径长为2的圆弧上运动，∵当点D与点B重合时，则点E与点B重合；当点D与点C重合时，则点E与点F重合，∴点E的运动路径为长以A为圆心，半径长为2，且圆心角为90°的BF的长，∴lBF=故选：C．【点评】此题重点考查等腰直角三角形的性质、轴对称的性质、弧长公式、轨迹问题的求解等知识与方法，正确地作出辅助线是解昰的关键．4．（2025•闵行区模拟）已知在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AC＝BD，下列四个命题中真命题是（）A．若AB＝CD，则四边形ABCD一定是等腰梯形 B．若∠DBC＝∠ACB，则四边形ABCD一定是等腰梯形 C．若AOOB=COODD．若AC⊥BD且AO＝OD，则四边形ABCD一定是正方形【考点】命题与定理．【专题】几何图形．【答案】C【分析】根据等腰梯形、矩形、正方形的判定判断即可．【解答】解：A、在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AC＝BD，若AB＝CD，则四边形ABCD可能是矩形，错误；B、在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AC＝BD，若∠DBC＝∠ACB，则四边形ABCD可能是正方形，错误；C、在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AC＝BD，若AOOB=COD、在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，且AC＝BD，若AC⊥BD且AO＝OD，则四边形ABCD可能是等腰梯形，错误；故选：C．【点评】此题考查命题与定理，关键是根据等腰梯形、矩形、正方形的判定解答．5．（2025•铁西区模拟）下列命题正确的是（）A．每条边都相等的多边形是正多边形 B．对角线互相平分的四边形是平行四边形 C．过线段中点的直线是线段的垂直平分线 D．三角形的角平分线将三角形的面积分成1：2两部分【考点】命题与定理；三角形的面积；平行四边形的判定与性质；正多边形和圆．【专题】三角形；多边形与平行四边形；推理能力．【答案】B【分析】根据各个选项中的说法可以判断是否正确，从而可以判断哪个选项符合题意．【解答】解：每条边都相等，每个内角都相等的多边形是正多边形，每条边都相等的多边形不一定是正多边形，如菱形不是正四边形，故选项A错误，不符合题意；对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项B正确，符合题意；过线段中点且垂直于这条线段的直线是线段的垂直平分线，故选项C错误，不符合题意；三角形的角平分线将三角形的面积分成1：2两部分是错的，如△ABC的边AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，则AD将△ABC分出来的两个三角形的面积比为3：2，故选项D错误，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查命题与定理、三角形的面积、角平分线的性质、平行四边形的判定、正多边形的定义，解答本题的关键是明确题意，可以判断选项中的命题是否正确．6．（2025•重庆模拟）下列命题中，是真命题的是（）A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．对顶角相等 C．如果|a|＝|b|，那么a＝b D．三角形的一个外角大于任意一个内角【考点】命题与定理；平行公理及推论；平行线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．【专题】三角形；推理能力．【答案】B【分析】根据平行公理、对顶角相等、绝对值的性质、三角形的外角性质判断即可．【解答】解：A、同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意；B、对顶角相等，是真命题，符合题意；C、如果|a|＝|b|，那么a＝±b，故本选项命题是假命题，不符合题意；D、三角形的一个外角大于和它不相邻的任意一个内角，故本选项命题是假命题，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．7．（2025•潮阳区一模）要说明命题“两个数相加，和一定大于其中一个加数”是假命题，能够作为反例的是（）A．1+3＝4 B．﹣1+3＝2 C．0+3＝3 D．﹣1+（﹣3）＝﹣4【考点】命题与定理；有理数的加法．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】D【分析】根据加法法则知识进行判断即可．【解答】解：两个负数相加，和一定小于其中一个加数，如﹣1+（﹣3）＝﹣4，故选：D．【点评】此题考查了命题与定理、加法法则等知识，熟练掌握加法法则是解题的关键．8．（2025•宁波模拟）将函数y=2x(x＞0)的图象绕原点O逆时针旋转45°得到图象C，在图象C上任取两点（x1，y1），（x2，y2），下列命题：①若x1+x2＝0，则y1＝y2；②若y1＞y2，则y12＞2y2；③若xA．①② B．①③ C．②③ D．①②③【考点】命题与定理；坐标与图形变化﹣旋转；反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；平移、旋转与对称；推理能力．【答案】D【分析】先根据反比例函数的对称性和旋转性质得到图象C关于y轴对称，根据轴对称性质可判断①；根据图象C与y轴交于点（0，2），y1＞y2，利用不等式的性质可判断②；根据图象C的增减性可判断③，进而可得答案．【解答】解：∵反比例函数的图象关于直线y＝x对称，且过点(∴图象C关于y轴对称，图象C与y轴交于点（0，2），∴当x1+x2＝0时，y1＝y2，故命题①正确．∵图象C与y轴交于点（0，2），y1＞y2．∴y1＞y2≥2．∴y12＞y1∵在图象C上，当x＜0时，y随x的增大而减小，∴当x1＜x2＜0时，y1＞y2．即命题③正确．综上，正确的是①②③，故选：D．【点评】本题考查反比例函数的性质、旋转性质、轴对称性、不等式性质，利用数形结合思想求解是解答的关键．9．（2025•大连一模）下列命题中，是真命题的是（）A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．过一点有无数条直线与已知直线平行 C．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到直线的距离【考点】命题与定理；对顶角、邻补角；点到直线的距离；同位角、内错角、同旁内角；平行公理及推论；平行线的性质．【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．【答案】C【分析】根据平行线的性质、平行公理的推论、平行线的判定、点到直线的距离的定义判断即可．【解答】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，故本选项命题是假命题，不符合题意；B、过一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项命题是假命题，不符合题意；C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，是真命题，符合题意；D、直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到直线的距离，故本选项命题是假命题，不符合题意；故选：C．【点评】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10．（2025•南宁模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，P是AC上的动点，点C与点C′关于PB对称，当点P从点C到点A的运动过程中C′的运动路径长是（）A．π B．2π C．42 D．【考点】轨迹；轴对称的性质；勾股定理；等腰直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；运算能力．【答案】A【分析】根据对称性分析得出BC'长度固定，当点P与点C重合时，C'与点C重合，当点P与点A重合时，C'与点D重合，可得点C'的运动路径是以B为圆心，BC为半径的弧CD的长，再求出圆心角和半径，根据弧长公式计算即可．【解答】解：∵点C与点C'关于PB对称，∴BC＝BC'，∵BC长度固定，∴BC'长度固定，当点P与点C重合时，C'与点C重合，当点P与点A重合时，C'与点D重合，∴点C'的运动路径是以B为圆心，BC为半径的弧CD的长，∵∠C＝90°，AC＝BC＝2，∴∠ABC＝45°，∴∠CBD＝90°，∴运动路径长为：90×π故选：A．【点评】本题考查了弧长公式，等腰直角三角形的性质，对称性质，解题的关键是得出点C'的运动路径．二．填空题（共5小题）11．（2025•乌鲁木齐一模）如图，AB是⊙O的直径，M、N是AB（异于A、B）上两点，C是MN上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是2．【考点】轨迹；圆周角定理．【专题】推理填空题；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力．【答案】2．【分析】连接EB，设OA＝r，作等腰直角三角形ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是GF，点C的运动轨迹是MN，由题意∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，利用弧长公式计算即可解决问题．【解答】解：如图，连接EB，设OA＝r，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．∴E是△ACB的内心，∴∠AEB＝135°，作等腰直角三角形ADB，AD＝DB，∠ADB＝90°，则点E在以D为圆心DA为半径的弧上运动，运动轨迹是GF，点C的运动轨迹是MN，由题意∠MON＝2∠GDF，设∠GDF＝α，则∠MON＝2α，∴弧MN的长度：弧GF的长度=2故答案为：2．【点评】本题考查了轨迹，圆周角定理，弧长公式，解决本题的关键是掌握与圆有关的性质．12．（2025•岳麓区校级一模）有黑、白各6张卡片，分别写有数字1至6，把它们像扑克牌那样洗过后，数字朝下，如图排成两行，排列规则如下：①从左至右，按数字从小到大的顺序排列；②黑、白卡片数字相同时，黑卡片放在左边．将第一行卡片用大写英文字母按顺序标注，第二行卡片用小写英文字母按顺序标注，则标注字母e的卡片写有数字4．【考点】推理与论证．【专题】证明题；推理能力．【答案】4．【分析】根据排列规则依次确定白1，白2，白3，白4的位置，即可得出答案．【解答】解：第一行中B与第二行中c肯定有一张为白1，若第二行中c为白1，则左边不可能有2张黑卡片，∴白卡片数字1摆在了标注字母B的位置，∴黑卡片数字1摆在了标注字母A的位置，；第一行中C与第二行中c肯定有一张为白2，若第二行中c为白2，则a，b只能是黑1，黑2，而A为黑1，矛盾，∴第一行中C为白2；第一行中F与第二行中c肯定有一张为白3，若第一行中F为白3，则D，E只能是黑2，黑3，此时黑2在白2右边，与规则②矛盾，∴第二行中c为白3，∴第二行中a为黑2，b为黑3；第一行中F与第二行中e肯定有一张为白4，若第一行中F为白4，则D，E只能是黑3，黑4，与b为黑3矛盾，∴第二行中e为白4．故答案为：4．【点评】本题考查了推论与论证，图形类规律探索，解题的关键是理解题意，根据所给规则依次确定出白1，白2，白3，白4的位置．13．（2025•凉州区校级模拟）如图，等边△ABC内接于⊙O，BC＝6，D为弧AC上一动点，过点B作射线DO的垂线，垂足为E．当点D由点C沿运动到点A时，点E的运动路径长为233【考点】轨迹；等边三角形的性质；三角形的外接圆与外心．【专题】三角形；与圆有关的计算．【答案】233【分析】连接BO，过点O作OF⊥BC于点F，在Rt△BOF中，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理即可求出圆的半径，然后取BO的中点G，连接EG，OC，OA，则GE=12BO=3，延长CO交⊙G于点H，根据∠COD＝∠EOH，得出E点在⊙G【解答】解：如图所示，连接BO，过点O作OF⊥BC于点F，则BF=12BC＝∵△ABC为等边三角形，∴∠FBO=12∠ABC＝∴OB＝23，取BO的中点G，连接EG，OC，OA，则GE=12BO∵∠BEO＝90°，∴E在⊙G上运动，∵AC=∴∠COA＝2∠ABC＝120°，延长CO交⊙G于点H，∵∠COD＝∠EOH，∴当点D由点C沿AC运动到点A时，E点在⊙G上运动了120°，∴点E的运动路径长为120×π×故答案为：233【点评】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，垂径定理，直角所对的弦是直径，求弧长，熟练掌握以上知识是解题的关键．14．（2025•管城区一模）举出一个可以说明命题“若a2＝b2，则a＝b”是假命题的反例：a＝3，b＝﹣3（答案不唯一）．【考点】命题与定理．【专题】证明题；推理能力．【答案】a＝3，b＝﹣3（答案不唯一）．【分析】a＝3，b＝﹣3，则32＝（﹣3）2，3≠﹣3，满足a2＝b2，不满足a＝b．【解答】解：举出a＝3，b＝﹣3代入验证可得：32＝（﹣3）2，3≠﹣3，满足a2＝b2，不满足a＝b，故命题“若a2＝b2，则a＝b”是假命题，故答案为：a＝3，b＝﹣3（答案不唯一）．【点评】本题考查了命题与定理掌握相关知识是解题的关键．15．（2025•长沙一模）四人分别姓张、李、高和陈，他们每人各任一个职务，四个职位是班长、学习委员、体育委员和劳动委员，已知：（1）体育委员下围棋很厉害，班长和姓李的同学都不是他的对手；（2）班长主持班会的时候，学习委员和姓张的同学都举手提了些建议；（3）学习委员分别给班长和姓李的同学辅导过功课；（4）体育委员参加篮球赛时，班长和姓高的同学一起为他助威．根据以上信息，可以推断劳动委员姓李．【考点】推理与论证．【专题】推理能力．【答案】李．【分析】根据题干中的四条信息分析作答．【解答】解：本题中“班长与姓李的同学都不是他的对手”意味着体育委员和班长不姓李；“学习委员和姓张的同学都举手提了些建议”意味着出班长和学习委员不姓张；“学习委员分别给班长和姓李的同学辅导过功课”意味着班长和学习委员不姓李；“体育委员参加篮球赛时，班长和姓高的同学一起为他助威”这表明体育委员和班长不姓高．班长不姓李、张、高，所以班长姓陈；体育委员不姓李、高，也不能姓陈，所以体育委员姓张；剩余李和高姓，因为学习委员不姓李，所以学习委员姓高，劳动委员姓李．故答案为：李．【点评】本题考查推理论证，演绎是一种由一般到个别的推理方法．在演绎推理过程中，前提和结论之间的联系是必然的，结论不能超出前提所断定的范围．对于一个正确的演绎推理过程，如果其前提是真的，则所得到的结论也一定是真的，这是演绎推理的一个重要特征．三．解答题（共5小题）16．（2025•石家庄模拟）如图1筒车是我国古代利用水利驱动的灌溉工具，筒车上均匀分布着若干个盛水筒．如图2，筒车⊙O按逆时针方向转动，与水面分别交于A、B，且AB=43m，筒车的轴心O距离水面的高度OC长为（1）求筒车⊙O的半径；（2）盛水桶P从刚浮出水面绕到离水面最高点时，求它走过的路径长．【考点】轨迹；垂径定理的应用．【专题】圆的有关概念及性质；推理能力．【答案】（1）筒车⊙O的半径为4m；（2）83πm【分析】（1）连接OA，根据勾股定理即可解决问题；（2）利用锐角三角函数求出∠COA＝60°，再根据弧长公式即可解决问题．【解答】解：（1）如图，连接OA，∵AB=4∴AC=2在Rt△ACO中，OC＝2，AO2＝OC2+AC2，∴AO=答：筒车⊙O的半径为4m；（2）由（1）可得tan∠∴∠COA＝60°，∴盛水桶P从刚浮出水面绕到离水面最高点时，它走过的路径长为180-60180【点评】本题考查轨迹，垂径定理的应用，解决本题的关键是掌握垂径定理．17．（2025•江北区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC．小智在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，老师给出了一个富有挑战性的题目，利用所学知识推导出△ABD和△ACD面积的比值与边AB和AC长度的比值之间的关系．经过小组讨论他们的总体思路是控制变量法，即过点D作AC的垂线，垂足为点E，再根据三角形全等来证明△ABD和△ACD的高相等，从而得到结论，请根据小智他们的思路完成以下作图与填空：（1）尺规作图：过点D作AC的垂线，交AC于点E（不写作法，保留作图痕迹）．（2）证明：∵AD平分∠BAC，∴①∠CAD＝∠BAD．∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠B＝90°．又②AD＝AD，∴△ABD≌△AED（AAS）．∴③DE＝BD．∵S△ABD=12AB•DB，S△ACD=12∴S△小智他们再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值④相等．【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；作图—复杂作图．【专题】线段、角、相交线与平行线；图形的全等；尺规作图；推理能力．【答案】∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，DE＝BD，相等．【分析】（1）以D为圆心画弧交AC于M、N，作线段MN的垂直平分线交AC于E；（2）判定△ABD≌△AED（AAS），推出DE＝BD，由三角形面积公式推出S△【解答】（1）解：如图所示：DE⊥AC；（2）证明：∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD，∵DE⊥AC，∴∠AED＝∠B＝90°，又AD＝AD，∴△ABD≌△AED（AAS）．∴DE＝BD．S△ABD=12AB•DB，S△ACD=12AC•小智他们再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论，如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形面积的比值与该角对应的两边长度的比值相等．故答案为：∠CAD＝∠BAD，AD＝AD，DE＝BD，相等．【点评】本题考查命题与定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，作图﹣复制作图，关键是掌握尺规作图：过直线外一点作已知直线的方法，判定△ABD≌△AED（AAS），推出DE＝BD．18．（2024•沙坪坝区校级三模）学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：用直尺和圆规，过点B作∠ABC的角平分线，交AC于点F，连接BE、DF．（只保留作图痕迹）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，AC是对角线，DE平分∠ADC，交AC于点E．求证：四边形BEDF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，①AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA．∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBA，∴∠ADE=1∵∠ADC＝∠CBA，∴②∠ADE＝∠CBF，∴△ADE≌△CBF（ASA）．∴DE＝BF，∠DEA＝∠BFC．∴③∠DEA＝∠BFC，∴四边形BEDF是平行四边形．同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则④这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的四边形是平行四边形．【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；平行四边形的判定与性质；作图—复杂作图．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】见试题解答内容【分析】利用基本作图作∠ABC的平分线得到BF，再利用平行四边形的性质得到AD＝CB，AD∥BC，所以∠DAC＝∠BCA，接着根据角平分线的定义可证明∠ADC＝∠CBA，于是可判断△ADE≌△CBF．则DE＝BF，∠DEA＝∠BFC．然后证明DE∥BF，从而得到四边形BEDF是平行四边形．类比方法可得到过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的四边形是平行四边形．【解答】证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA．∵DE平分∠ADC，BF平分∠CBA，∴∠ADE=1∵∠ADC＝∠CBA，∴∠ADE＝∠CBF，∴△ADE≌△CBF（ASA）．∴DE＝BF，∠DEA＝∠BFC．∴DE∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．一般地，过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的四边形是平行四边形．故答案为：AD∥BC，∠ADE＝∠CBF，∠DEA＝∠BFC；这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的四边形是平行四边形．【点评】本题考查了命题：要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证．也考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．19．（2024•定海区三模）阅读理解：我们解决某些数学题的时候，经常会遇到题目中的条件比较含糊，它们常常巧妙地隐蔽在题设的背后，不易被发现和运用，导致我们解题受阻，因此，挖掘题设中的隐含条件，应该成为我们必备的一种能力．请阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并依次解决所给的问题．化简：(1-5解：由题意可知隐含条件1﹣5a≥0，解得：a≤∴1﹣a＞0，∴(1-5启发应用：（1）按照上面的解法，化简：(m类比迁移：（2）已知△ABC的三边长分别为(x)2，(x+y)2，拓展延伸：（3）若(x-4【考点】命题与定理；二次根式的性质与化简；二次根式的乘除法；不等式的性质．【专题】二次根式；运算能力．【答案】（1）2；（2）x+2y；（3）4≤x≤7．【分析】（1）先根据二次根式有意义的条件求出m的范围，再根据二次根式的性质化简即可；（2）先根据二次根式有意义的条件求出x、y的范围，再根据二次根式的性质化简即可；（3）先根据二次根式有意义的条件求出x的范围，再分类讨论，根据二次根式的性质化简即可．【解答】解：（1）由题意可知隐含条件3﹣m≥0，解得：m≤3，∴m﹣5＜0，∴(m（2）由题意可知隐含条件x≥0，y﹣x≥0，解得：x≥0，y≥x，∴y≥x≥0，∴x+y≥0，∴(x∴△ABC的周长为x+2y；（3）由题意可知隐含条件x﹣4≥0，解得：x≥4，当4≤x≤7时，x﹣7≤0，则(x当x＞7时，x﹣7＞0，则(x综上所述，x的取值范围为4≤x≤7．【点评】本题考查了二次根式的性质和二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质和二次根式有意义的条件是解题的关键．20．（2024•重庆二模）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC．小明在刚学完“三角形全等的判定”这节课后，想利用所学知识，推导出△ABD和△ACD面积的比值与AB，AC两边比值的关系．他的思路是：过点D作AC的垂线，垂足为点H，再根据三角形全等来证明△ABD和△ACD的高相等，进一步得到△ABD和△ACD的面积之比等于∠BAC的两邻边边长之比．请根据小明的思路完成以下作图与填空：（1）尺规作图：过点D作AC的垂线，垂足为点H（保留作图痕迹，不写作法，要下结论）．（2）证明：∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°＝∠B∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠HAD．在△ABD和△AHD中，∠B∴△ABD≌△AHD（AAs）．∴BD＝DH．∵S△S△∴S△ABDS△小明再进一步研究发现，只要一个三角形被其任意一内角角平分线分为两个三角形，均有此结论．请你依照题意完成下面命题：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比．【考点】命题与定理；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；作图—复杂作图．【专题】图形的全等；推理能力．【答案】∠BAD＝∠HAD；AD＝AD；ABAC【分析】（1）分别以A、C点为圆心，12AC长为半径在线段AC两侧画弧，各有两个交点，连接这两个交点交AC边与H，则直线DH即为（2）根据AAS，再找一条公共边，证明△ABD≌△AHD，得到BD＝DH，进而将面积之比转化长相应边的比．【解答】（1）解：如图，直线DH为所作垂段；（2）证明：∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°＝∠B．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠HAD．在△ABD和△AHD中，∠B∴△ABD≌△AHD（AAS）．∴BD＝HD．∵S△S△∴S△所以：如果一个三角形满足被其任意一内角角平分线分为两个三角形，那么这两个三角形的面积之比，等于这个内角的两条邻边边长之比．故答案为：∠BAD＝∠HAD；AD＝AD；ABAC【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的作图，掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键．

考点卡片1．有理数我们学习过正整数，如1，2，3，…；0；负整数，如﹣1，﹣2，﹣3，…．正整数、0、负整数统称为整数．我们还学习过正分数，如12，23，157，0.1，5.32，0.3⋅，……；负分数，如-52，-2进一步地，正整数可以写成分数的形式，例如2=21；负整数也可以写成负分数的形式，例如﹣3=-31可以写成分数形式的数称为有理数．其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数称为负有理数．0.1=110，﹣0.5=-12．有理数的加法（1）有理数加法法则：①同号相加，取相同符号，并把绝对值相加．②绝对值不等的异号加减，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加，仍得这个数．（在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用那一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）（2）相关运算律交换律：a+b＝b+a；结合律（a+b）+c＝a+（b+c）．3．二次根式的性质与化简（1）二次根式的基本性质：①a≥0；a≥0②（a）2＝a（a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③a2=|a|（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．ab=a•b（a≥0，b≥0）ab=ab（a≥（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法1．常见题型：与分式的化简求值相结合．2．解题方法：（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．4．二次根式的乘除法（1）积的算术平方根性质：a⋅b=a•b（a≥0，（2）二次根式的乘法法则：a•b=a⋅b（a≥0，（3）商的算术平方根的性质：ab=ab（a≥0，（4）二次根式的除法法则：ab=ab（a≥0，规律方法总结：在使用性质a•b=a⋅b（a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0的条件限制，如果a＜0，b＜0，使用该性质会使二次根式无意义，如（-4）×（-5．不等式的性质（1）不等式的基本性质①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：若a＞b，那么a±m＞b±m；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．【规律方法】1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论．2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．6．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．7．对顶角、邻补角（1）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．（2）邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（3）对顶角的性质：对顶角相等．（4）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°．（5）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的．8．点到直线的距离（1）点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．（2）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形．9．同位角、内错角、同旁内角（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．（2）内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角．（4）三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F“形，内错角的边构成“Z“形，同旁内角的边构成“U”形．10．平行公理及推论（1）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．（2）平行公理中要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思．（3）推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．（4）平行公理的推论可以看做是平行线的一种判定方法，在解题中要注意该结论在证明直线平行时应用．11．平行线的性质1、平行线性质定理定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．2、两条平行线之间的距离处处相等．12．三角形的面积（1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=1（2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．13．三角形内角和定理（1）三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角．每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且小于180°．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）三角形内角和定理的证明证明方法，不唯一，但其思路都是设法将三角形的三个内角移到一起，组合成一个平角．在转化中借助平行线．（4）三角形内角和定理的应用主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．14．三角形的外角性质（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．15．全等三角形的判定与性质（1）全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．（2）在应用全等三角形的判定时，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造三角形．16．角平分线的性质角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．注意：①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直角平分线的性质语言：如图，∵C在∠AOB的平分线上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD＝CE17．等边三角形的性质（1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形．①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；②可以得到它与等腰三角形的关系：等边三角形是等腰三角形的特殊情况．在等边三角形中，腰和底、顶角和底角是相对而言的．（2）等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于60°．等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．18．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．19．勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．20．等腰直角三角形（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r＝1，则外接圆的半径R=2+1，所以r：R＝1：221．平行四边形的判定与性质平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等，对应角相等，对角线互相平分及它的判定，是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法，若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等，可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上，通过证明四边形是平行四边形达到上述目的．运用定义，也可以判定某个图形是平行四边形，这是常用的方法，不要忘记平行四边形的定义，有时用定义判定比用其他判定定理还简单．凡是可以用平行四边形知识证明的问题，不要再回到用三角形全等证明，应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题．22．垂径定理（1）垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理的推论推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．23．垂径定理的应用垂径定理的应用很广泛，常见的有：（1）得到推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．（2）垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．这类题中一般使用列方程的方法，