2025年中考数学三轮复习之反比例函数

第30页（共30页）2025年中考数学三轮复习之反比例函数一．选择题（共10小题）1．（2025•浙江一模）已知点A（x1，y1），B（x1+m，y1+2）两点在反比例函数y=kxA．若k＞0，则m＜0 B．若k＜0，则m可能小于0也可能大于0 C．若k＞0，点A，B在同一象限，则m＞0 D．若k＜0，点A，B在不同象限，则m＞02．（2025•武汉模拟）如图为某同学用计算机中的一个绘图软件画出的反比例函数图象，若此函数图象经过点（1，1），则当纵坐标为﹣5时x的值是（）A．15 B．1 C．-15 3．（2025•红花岗区校级一模）若点A（x1，﹣5），B（x2，2），都在反比例函数y=kx(k＞0)的图象A．0＜x1＜x2 B．0＜x2＜x1 C．x2＜0＜x1 D．x1＜0＜x24．（2025•越秀区校级一模）如图，点A为反比例函数y=-1x(x＜0)图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例A．12 B．14 C．33 5．（2025•赛罕区校级模拟）如图，四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数y=12x的图象经过点C，若CD＝4，则菱形A．15 B．20 C．29 D．246．（2025•茄子河区一模）如图，矩形ABCD对角线的交点M在x轴上，边AB平行于x轴，OE：OF＝1：3，S△BMF＝1，反比例函数y=kx经过点B，y2=-1A．2 B．3 C．4 D．57．（2025•金安区校级一模）如图，直线y＝mx+n交反比例函数y=kx（x＞0）的图象于点A和点B，交x轴于点C，ABBC=32，过点A作AD⊥x轴于点D，连接BD并延长，交y轴于点P，连接PC．若△A．6 B．8 C．9 D．188．（2025•重庆模拟）函数y=3x的A．（1，3） B．（﹣1，﹣3） C．（13，1） D．（13，9．（2025•南通模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y=kx(k≠0)图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接AC交x轴于点D，若OD是△ABC的中位线，△A．﹣12 B．﹣6 C．6 D．1210．（2025•南乐县一模）根据物理学知识，作用于物体上的压力F（N）所产生的压强p（Pa）与物体受力面积S（m2）三者之间满足p=FS．若压力为100N时，压强要大于1000PaA．S小于0.1m2 B．S大于0.1m2 C．S小于10m2 D．S大于10m2二．填空题（共5小题）11．（2025•天心区校级一模）如图，A为反比例函数y=kx图象上一点，AB垂直x轴于B点，若S△AOB＝5，则k的值为12．（2025•新乡模拟）反比例函数y=k-2x图象的一支在第二象限，请写出一个满足条件的k的值13．（2025•南岗区模拟）杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，动力为F（N），动力臂为l（m），则动力F关于动力臂l的函数关系式为．14．（2025•郑州模拟）如图，在▱ABCD中，AB∥x轴，A（1，2），D（0，1），反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点C，且与AB交于点E．若BE＝2AE，则点E的坐标为15．（2025•长沙模拟）二胡是我国一种传统拉弦乐器，演奏二胡时，在同一张力下，它的振动弦的共振频率f（单位：赫兹）与长度l（单位：米）近似成反比例关系，即f=kl（k为常数，k≠0）．若某一振动弦的共振频率f为240赫兹，长度l为0.5米，则k的值为三．解答题（共5小题）16．（2025•新乡模拟）如图1，实验课上，某同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个天平的左边固定托盘A中放了一个立方体，在右边活动托盘B（可左右移动）中放入砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况．实验数据记录如表．x/cm1015202530y/g3020151210（1）把表中（x，y）的各组对应值作为点的坐标，在图2的坐标系中描出相应的点，并用平滑曲线连接这些点．（2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式．（3）当砝码的质量为16g时，活动托盘B与点O的距离是多少？17．（2025•常州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象l与反比例函数y=kx的图象交于（1）求反比例函数及一次函数的表达式；（2）点P在函数y=kx的图象上，若S△MOP＞S△MON，直接写出点P的横坐标18．（2025•红桥区模拟）已知P（1，﹣3）在反比例函数y=m-2x（m为常数，且m（Ⅰ）求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限；（Ⅱ）判断点A（3，﹣1），B（2，﹣2），C(-2（Ⅲ）当﹣6≤x≤﹣3时，求该反比例函数的函数值y的取值范围．19．（2025•郑州模拟）已知反比例函数y=kx(x＞0)的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a（1）求反比例函数的表达式；（2）观察图象，当x＞0时，直接写出不等式kx（3）如图，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在y=kx(x20．（2025•四川模拟）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）在反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标．

2025年中考数学三轮复习之反比例函数参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BCDABBDCAA一．选择题（共10小题）1．（2025•浙江一模）已知点A（x1，y1），B（x1+m，y1+2）两点在反比例函数y=kxA．若k＞0，则m＜0 B．若k＜0，则m可能小于0也可能大于0 C．若k＞0，点A，B在同一象限，则m＞0 D．若k＜0，点A，B在不同象限，则m＞0【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；几何直观．【答案】B【分析】根据题意，判断k＞0和k＜0，该反比例函数的增减性，确定m的取值范围，即可求解；【解答】解：A、若k＞0，则y随x的增大而减小，不知道y1的值在哪个象限，无法判断m＜0，故A说法错误，不符合题意；B．若k＜0，点A（x1，y1），B（x1+m，y1+2）两点可以在同一象限，也可以不在同一象限，则m可能小于0也可能大于0，故B说法正确，符合题意；C．若k＞0，点A，B在同一象限，则y随x的增大而减小，所以m＜0，故C说法错误，不符合题意；D．若k＜0，点A，B在不同象限，则m＜0，故D说法错误，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的图象和性质，掌握数形结合思想成为解题的关键．2．（2025•武汉模拟）如图为某同学用计算机中的一个绘图软件画出的反比例函数图象，若此函数图象经过点（1，1），则当纵坐标为﹣5时x的值是（）A．15 B．1 C．-15 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的图象．【专题】反比例函数及其应用；推理能力．【答案】C【分析】根据函数图象经过点（1，1）得到反比例函数解析式，再令y＝﹣5时，求出自变量的值即可．【解答】解：设反比例函数的解析式为y=k∵反比例函数图象经过点（1，1），∴反比例函数解析式为y=∴当y＝﹣5时，x=故选：C．【点评】本题考查了反比例函数的图象，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键．3．（2025•红花岗区校级一模）若点A（x1，﹣5），B（x2，2），都在反比例函数y=kx(k＞0)的图象A．0＜x1＜x2 B．0＜x2＜x1 C．x2＜0＜x1 D．x1＜0＜x2【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；推理能力．【答案】D【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据反比例函数的性质即可得出结论．【解答】解：∵k＞0，∴反比例函数y=kx(k＞0)∵点A（x1，﹣5），B（x2，2），都在反比例函数y=kx(k＞0)的图象∴B点在第一象限，A点在第三象限，∴x1＜0＜x2，故选：D．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键．4．（2025•越秀区校级一模）如图，点A为反比例函数y=-1x(x＜0)图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例A．12 B．14 C．33 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；相似三角形的判定与性质；反比例函数系数k的几何意义．【专题】反比例函数及其应用；推理能力．【答案】A【分析】过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，证明△AOC∽△OBD，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可．【解答】解：过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，∴S△ACO=12×|-1|=12，∵OA⊥OB，∴∠AOC＝∠OBD＝90°﹣∠BOD，∴△AOC∽△OBD，∴S△ACOS∴OAOB故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，三角形相似的判定和性质，数形结合是解题的关键．5．（2025•赛罕区校级模拟）如图，四边形OABC是菱形，CD⊥x轴，垂足为D，函数y=12x的图象经过点C，若CD＝4，则菱形A．15 B．20 C．29 D．24【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；菱形的性质．【专题】反比例函数及其应用；运算能力．【答案】B【分析】根据三角形OCD是直角三角形，利用勾股定理求出OD、OC长，由菱形面积底乘高即可求得．【解答】解：∵CD⊥x轴，垂足为D，函数y=12x的图象经过点∴S△OCD＝6，∵CD＝4，∴12⋅OD⋅CD由勾股定理得：OC=ODS菱形＝OA×CD＝5×4＝20．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的k值的几何意义，反比例函数图象上点的纵横坐标之积等于k．6．（2025•茄子河区一模）如图，矩形ABCD对角线的交点M在x轴上，边AB平行于x轴，OE：OF＝1：3，S△BMF＝1，反比例函数y=kx经过点B，y2=-1A．2 B．3 C．4 D．5【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；矩形的性质．【专题】反比例函数及其应用；矩形菱形正方形；几何直观；运算能力．【答案】B【分析】根据OE：OF＝1：3，设OE＝a，OF＝3a，则EF＝4a，证明△BFM和△DEM全等得MF＝ME=12EF＝2a，设BF＝b，则点B（3a，b），根据S△BMF＝1得ab＝1，再将点B（3a，b）代入y=【解答】解：∵OE：OF＝1：3，∴设OE＝a，OF＝3a，∴EF＝OE+OF＝4a，∵四边形ABCD是矩形，AB∥x轴，∴BF⊥x轴，AE⊥x轴，∴∠BFM＝∠DEM＝90°，∵矩形ABCD对角线的交点M在x轴上，∴MB＝MD，在△BFM和△DEM中，∠BFM∴△BFM≌△DEM（AAS），∴MF＝ME=12EF＝2设BF＝b，∴点B的坐标为（3a，b），∵S△BMF＝1，∴12MF•BF＝1∴12×2ab＝∴ab＝1，∵点B（3a，b）在反比例函数y=kx∴k＝3ab＝3．故选：B．【点评】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标，矩形的性质，理解反比例函数图象上的点的坐标满足反比例函数的表达式，熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．7．（2025•金安区校级一模）如图，直线y＝mx+n交反比例函数y=kx（x＞0）的图象于点A和点B，交x轴于点C，ABBC=32，过点A作AD⊥x轴于点D，连接BD并延长，交y轴于点P，连接PC．若△A．6 B．8 C．9 D．18【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】证明△CNB∽△CDA，得到BNAD=BCAC=25，即bAD=25，求出点A（25a，52b），则点【解答】解：过点B分别作BM⊥AD于点M，BN⊥CD于点N，设点B（a，b），k＝ab，则BN∥AD，则△CNB∽△CDA，则BNAD=BC∴AD=52则k＝ab=52b•xA，则xA=则点A（25a，52b），则点D（25由点B、D的坐标得，直线BD的表达式为：y=5b3则点P（0，-23由点A、B的坐标得，直线AB的表达式为：y=-5b2则点C（7a5，0），则CD＝∵S△PCD=12CD•OP则ab＝18＝k，故选：D．【点评】本题为反比例函数综合题，考查了三角形相似、用字母表示坐标等基本数学知识，利用了数形结合的数学思想．8．（2025•重庆模拟）函数y=3x的A．（1，3） B．（﹣1，﹣3） C．（13，1） D．（13，【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；推理能力．【答案】C【分析】把所给点的横纵坐标相乘，结果为3的点在函数图象上．【解答】解：∵反比例函数y=3x中，k＝∴只需要把所给点的横纵坐标相乘，结果为3的点在函数图象上，四个选项只有C符合，故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数．9．（2025•南通模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y=kx(k≠0)图象上的一点，过点A作AB⊥y轴于点B，点C是y轴负半轴上一点，连接AC交x轴于点D，若OD是△ABC的中位线，△A．﹣12 B．﹣6 C．6 D．12【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形中位线定理．【专题】反比例函数及其应用；推理能力．【答案】A【分析】设点A的坐标为A（a，b），则AB＝﹣a，OB＝b，先根据三角形的中位线定理可得OC＝OB＝b，OD=12【解答】解：设点A的坐标为A（a，b），则AB＝﹣a，OB＝b，k＝ab，∵OD是△ABC的中位线，∴OC＝OB＝b，OD∵△OCD的面积为3，∠COD＝90°，∴12OD⋅OC=∴k＝ab＝﹣12，故选：A．【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形中位线定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．10．（2025•南乐县一模）根据物理学知识，作用于物体上的压力F（N）所产生的压强p（Pa）与物体受力面积S（m2）三者之间满足p=FS．若压力为100N时，压强要大于1000PaA．S小于0.1m2 B．S大于0.1m2 C．S小于10m2 D．S大于10m2【考点】反比例函数的应用．【专题】反比例函数及其应用；应用意识．【答案】A【分析】根据已知条件利用压强公式推导即可得到答案．【解答】解：∵p=FS，F∴p=100∵产生的压强P要大于1000Pa，∴100S＞∴S＜0.1，故选：A．【点评】本题考查了反比例的应用等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键．二．填空题（共5小题）11．（2025•天心区校级一模）如图，A为反比例函数y=kx图象上一点，AB垂直x轴于B点，若S△AOB＝5，则k的值为﹣【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征．【专题】反比例函数及其应用；运算能力．【答案】﹣10．【分析】设A（x，y），则|xy【解答】解：设A（x，y），则k＝xy＝±10，∵图象在二，四象限，∴k＝﹣10．故答案为：﹣10．【点评】本题考查的是反比例函数与图形面积问题，如果点在反比例函数图象上构成直角三角形或者矩形，一般是利用反比例函数的|k|值与矩形面积相等，或者是三角形面积两倍的关系．12．（2025•新乡模拟）反比例函数y=k-2x图象的一支在第二象限，请写出一个满足条件的k的值﹣【考点】反比例函数的性质；反比例函数的图象．【专题】反比例函数及其应用；运算能力；推理能力．【答案】﹣1（答案不唯一）．【分析】根据反比例函数y=kx中，当k＜0时，其【解答】解：∵反比例函数y=k∴k﹣2＜0，解得k＜2，故答案为：﹣1（答案不唯一）．【点评】此题考查了反比例函数图象与性质问题的解决能力，关键是能准确理解并运用以上知识．13．（2025•南岗区模拟）杠杆平衡时，“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，动力为F（N），动力臂为l（m），则动力F关于动力臂l的函数关系式为F=600l【考点】反比例函数的应用．【专题】反比例函数及其应用；应用意识．【答案】F=600【分析】根据l•F＝1200×0.5进行求解即可．【解答】解：∵l•F＝1200×0.5，∴F=600故答案为：F=600【点评】本题考查了根据实际问题列反比例函数关系式，掌握杠杆原理是解题的关键．14．（2025•郑州模拟）如图，在▱ABCD中，AB∥x轴，A（1，2），D（0，1），反比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点C，且与AB交于点E．若BE＝2AE，则点E的坐标为（3，2【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；平行四边形的性质．【专题】反比例函数及其应用；运算能力．【答案】（3，2）．【分析】设AE＝a，则AB＝3AE＝3a，根据平行四边形的性质，结合点A、D坐标可得C（3a，1），E（a+1，2），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出3a＝2（a+1），解方程求出a的值即可得答案．【解答】解：设AE＝a，∵BE＝2AE，∴AB＝3AE＝3a，∵在▱ABCD中，AB∥x轴，A（1，2），D（0，1），∴CD＝AB＝3a，C（3a，1），E（a+1，2），∵反比例函数y=kx(k≠0)的∴3a＝2（a+1）＝k，解得：a＝2，∴E（3，2）．故答案为：（3，2）．【点评】本题考查坐标与图形、平行四边形的性质及反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相关性质是解题关键．15．（2025•长沙模拟）二胡是我国一种传统拉弦乐器，演奏二胡时，在同一张力下，它的振动弦的共振频率f（单位：赫兹）与长度l（单位：米）近似成反比例关系，即f=kl（k为常数，k≠0）．若某一振动弦的共振频率f为240赫兹，长度l为0.5米，则k的值为【考点】反比例函数的应用．【专题】反比例函数及其应用；应用意识．【答案】120．【分析】把l＝0.5，f＝240，代入解析式，即可求出k的值．【解答】解：当l＝0.5，f＝240时，240=k∴k＝120．故答案为：120．【点评】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法求反比例函数解析式是关键．三．解答题（共5小题）16．（2025•新乡模拟）如图1，实验课上，某同学设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一个天平的左边固定托盘A中放了一个立方体，在右边活动托盘B（可左右移动）中放入砝码，使得仪器左右平衡．改变活动托盘B与点O的距离x（cm），观察活动托盘B中砝码的质量y（g）的变化情况．实验数据记录如表．x/cm1015202530y/g3020151210（1）把表中（x，y）的各组对应值作为点的坐标，在图2的坐标系中描出相应的点，并用平滑曲线连接这些点．（2）观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，并求出函数关系式．（3）当砝码的质量为16g时，活动托盘B与点O的距离是多少？【考点】反比例函数的应用；勾股定理．【专题】反比例函数及其应用；运算能力；应用意识．【答案】（1）作图见解析；（2）y=300x(x＞【分析】（1）依据题意，通过描点连线即可作图得解；（2）依据题意，可猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，从而可设y=kx(k≠0)，又把x＝10，y＝（3）依据题意，把y＝16代入y=300x中，得x【解答】解：（1）由题意，作图如下．（2）由题意，可猜测y与x之间的函数关系为反比例函数，∴可设y=又把x＝10，y＝30代入，得k＝300，∴y=300x（x＞将其余各点代入验证均适合，∴y与x之间的函数关系式为y=（3）由题意，把y＝16代入y=300x中，得x∴当砝码的质量为16g时，活动托盘B与点O的距离是18.75cm．【点评】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键．17．（2025•常州模拟）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象l与反比例函数y=kx的图象交于（1）求反比例函数及一次函数的表达式；（2）点P在函数y=kx的图象上，若S△MOP＞S△MON，直接写出点P的横坐标【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】反比例函数及其应用；运算能力．【答案】（1）反比例函数的解析式为y=2x；一次函数的表达式为y＝﹣2x（2）点P的横坐标p的取值范围为p＞2或p＜﹣2或0＜P＜18或-18【分析】（1）把M（12，4）代入y=kx得4=k12，得到k＝2，求得反比例函数的解析式为y=2x；把N（n，1）代入y=2x得到n＝2，求得N（2，1），设一次函数的表达式为y＝（2）分两种情况讨论：当P点在第一象限时，当P点在第三象限时，在第一象限再分两种情形：点P在点M的下方或上方分别求解，再根据对称性解决问题．【解答】解：（1）把M（12，4）代入y=kx得4=k1∴反比例函数的解析式为y=2把N（n，1）代入y=2x得，n＝∴N（2，1），设一次函数的表达式为y＝mx+b，∴12解得m=∴一次函数的表达式为y＝﹣2x+5；（2）当P点在第一象限时，∵点P在函数y=kx的图象上，S△MOP＞S△∴点P在点N的下方，当△OPM的面积＝△OMN的面积时，P（2，1）∴点P的横坐标p的取值范围为P＞2；当P点在第三象限时，N点关于O点的对称点为（﹣2，﹣1），当P点为（﹣2，﹣1）时，S△MOP＝S△MON，∴p＜﹣2时，S△MOP＞S△MON，当点P在点M的上方时，设P（p，2p当△MPO的面积＝△MON的面积时，2×4-1-1-12×3×32解得p=1∴满足条件的p的值为0＜P＜1根据对称性，-18＜p综上所述：p＞2或p＜﹣2或0＜P＜18或-18【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数的解析式，正确地求出函数的解析式是解题的关键．18．（2025•红桥区模拟）已知P（1，﹣3）在反比例函数y=m-2x（m为常数，且m（Ⅰ）求m的值，并判断该反比例函数的图象所在的象限；（Ⅱ）判断点A（3，﹣1），B（2，﹣2），C(-2（Ⅲ）当﹣6≤x≤﹣3时，求该反比例函数的函数值y的取值范围．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的图象；反比例函数的性质．【专题】反比例函数及其应用；推理能力．【答案】（I）m＝﹣1；二、四象限；（II）点A（3，﹣1），C(-2，32)在函数图象上，点B（III）12≤y≤【分析】（I）直接把点P（1，﹣3）代入反比例函数y=m-（II）根据（I）中反比例函数的解析式进行判断即可；（III）求出x＝﹣6与x＝﹣3时y的对应值，进而可得出结论．【解答】解：（I）∵P（1，﹣3）在反比例函数y=m-2x（m为常数，且m∴m﹣2＝xy＝1×（﹣3）＝﹣3，解得m＝﹣1，∴此函数的解析式为：y=-∵﹣3＜0，∴该反比例函数图象的两个分支分别位于第二、四象限；（II）点A（3，﹣1），C(-2，32)在函数图象上，点B由（I）知此函数的解析式为：y=-∵3×（﹣1）＝﹣3，2×（﹣2）＝﹣4≠﹣3，（﹣2）×32∴点A（3，﹣1），C(-2，32)在函数图象上，点B（III）由（I）知此函数的解析式为：y=-∵当x＝﹣6时，y=-当x＝﹣3时，y=-3∴当﹣6≤x≤﹣3时，12≤y≤【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的图象与反比例函数的性质，熟知以上知识是解题的关键．19．（2025•郑州模拟）已知反比例函数y=kx(x＞0)的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a（1）求反比例函数的表达式；（2）观察图象，当x＞0时，直接写出不等式kx（3）如图，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在y=kx(x【考点】反比例函数综合题．【专题】代数综合题；运算能力；推理能力．【答案】（1）y=12（2）当x＞0时，不等式kx≥3x的解集是0＜x≤（3）点E（3，4）．【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式即可；（2）根据A点的坐标以及两函数的图象即可得出结论；（3）过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，可得△EHB≌△BFA（AAS），则设点B（n，3n），EH＝BF＝6﹣3n，BH＝AF＝2﹣n，得到点E（6﹣2n，4n﹣2），根据反比例函数图象上点的坐标特征求出n值，继而得到点E坐标．【解答】解：（1）将A（2，a）代入y＝3x得a＝3×2＝6，∴A（2，6），将A（2.6）代入y=kx得6解得k＝12，∴反比例函数表达式为y=12（2）当x＞0时，不等式kx≥3x的解集是0＜x≤（3）如图2，过点B作FH∥y轴，过点E作EH⊥FH于点H，过点A作AF⊥FH于点F，∠EHB＝∠BFA＝90°，∴∠HEB+∠EBH＝90°，∵点A绕点B顺时针旋转90°，∴∠ABE＝90°，BE＝BA，∴∠EBH+∠ABF＝90°∴∠BEH＝∠ABF，∴△EHB≌△BFA（AAS），设点B（n，3n），EH＝BF＝6﹣3n，BH＝AF＝2﹣n，∴点E（6﹣2n，4n﹣2），∵点E在反比例函数图象上，∴（4n﹣2）（6﹣2n）＝12，解得n1=32，n2＝∴6﹣2n＝3，4n﹣2＝4，∴点E（3，4）．【点评】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，全等三角形的判定和性质，交点坐标满足两个函数关系式是关键．20．（2025•四川模拟）如图，一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=kx(k≠0)的图象交于点A（﹣3，a），B（1，3），且一次函数与x轴，（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）在反比例函数图象上有一点P，使得S△OCP＝4S△OBD，求点P的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．【答案】（1）反比例函数表达式为y=3x，一次函数表达式为y＝（2）点P(-3【分析】（1）待定系数法求出两个函数解析式即可；（2）根据一次函数解析式先求出点C、D坐标，再设点P点坐标为(m，3m)【解答】解：（1）∵一次函数y＝mx+n（m≠0）的图象与反比例函数y=kx(k≠0)图象交于点A（﹣3，a），∴k＝3，a＝﹣1，∴反比例函数解析式为y=∵一次函数y＝mx+n（m≠0）图象过A（﹣3，﹣1），B（1，3），∴-3解得m=1∴一次函数解析式为y＝x+2；（2）根据解析式可知C（﹣2，0），D（0，2），∴S△∴S△OCP＝4S△OBD＝4，设点P的坐标为(m∴12解得m=∴点P(-3【点评】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，掌握交点坐标满足两个函数解析式是解题关键．

考点卡片1．反比例函数的图象用描点法画反比例函数的图象，步骤：列表﹣﹣﹣描点﹣﹣﹣连线．（1）列表取值时，x≠0，因为x＝0函数无意义，为了使描出的点具有代表性，可以以“0”为中心，向两边对称式取值，即正、负数各一半，且互为相反数，这样也便于求y值．（2）由于函数图象的特征还不清楚，所以要尽量多取一些数值，多描一些点，这样便于连线，使画出的图象更精确．（3）连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线．（4）由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图象永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴．2．反比例函数的性质反比例函数的性质（1）反比例函数y=kx（k≠0）的（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．注意：反比例函数的图象与坐标轴没有交点．3．反比例函数系数k的几何意义比例系数k的几何意义在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12|k|4．反比例函数图象上点的坐标特征反比例函数y＝k/x（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，①图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k；②双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称；③在y＝k/x图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．5．反比例函数与一次函数的交点问题反比例函数与一次函数的交点问题（1）求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．（2）判断正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k①当k1与k2同号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x②当k1与k2异号时，正比例函数y＝k1x和反比例函数y=k2x6．反比例函数的应用（1）利用反比例函数解决实际问题①能把实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．②注意在自变量和函数值的取值上的实际意义．③问题中出现的不等关系转化成相等的关系来解，然后在作答中说明．（2）跨学科的反比例函数应用题要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想．（3）反比例函数中的图表信息题正确的认