广东省大湾区2025届高三下学期一模数学试题 含解析

2025届大湾区普通高中毕业年级联合模拟考试（一）数学本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和准考证号填写在答题卡上，将条形码横贴在答题卡“条形码粘贴处”.2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上.3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效.4.考生必须保证答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解对数不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得.【详解】由，即，解得，所以，又，所以.故选：D2.复数满足，其中虚数单位，则（）A.2 B. C.1 D.【答案】D【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再计算其模即可.【详解】因为，所以，所以.故选：D3.已知平面向量的夹角为，且，，则（）A.1 B.2 C. D.4【答案】B【解析】【分析】根据向量模长的关系，利用平方法转化为向量数量积公式，解一元二次方程即可得出答案.【详解】由，所以，即，即，整理得，解得或（舍去），所以.故选：B.4.若为两条不同的直线，为两个不同的平面，则（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，则【答案】C【解析】【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】根据线面平行的性质定理，若，，则或与异面，A错误；平行与同一平面的两条直线位置关系不确定，可能平行、相交或异面，B错误；如图，，过点作的平行线，设所在平面为，且，则，根据已知，所以，则，由，可得，且，所以，C正确；若，，则或，D错误.故选：D5.下列四组数据中，方差最小的为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先分别求平均数，再分别求出方差，最后比较方差的大小即可.【详解】对于A，，；对于B，，；对于C，，；对于D，，；因为，所以四组数据中，方差最小的为，故选：C.6.早在两千年前，古人就通过观测发现地面是球面，并会运用巧妙的方法对地球半径进行估算.如图所示，把太阳光视为平行光线，O为地球球心，A，B为北半球上同一经度的两点，且A，B之间的经线长度为L，于同一时刻在A，B两点分别竖立一根长杆和，通过测量得到两根长杆与太阳光的夹角和（和的单位为弧度），由此可计算地球的半径为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】过点B作太阳光的平行线，与的延长线交于点C，可求出，利用弧长公式即可求得地球的半径.【详解】如图所示，过点B作太阳光的平行线，与的延长线交于点C，则，，所以,设地球半径为R,则根据弧长公式得，所以,故选：A.7.设函数，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意判断是偶函数，判断函数的单调区间，再利用单调性和奇偶性解不等式即可.【详解】，，又，所以函数是偶函数，当时，，易得单调递增，不等式，即，等价于，，可得，解得，所以不等式的解集为.故选：B.8.已知抛物线的弦的中点横坐标为5，则的最大值为（）A.12 B.11 C.10 D.9【答案】A【解析】【分析】根据抛物线定义，可得，数形结合可得，得解.【详解】设抛物线的焦点为，，的横坐标分别为，，则，抛物线的准线为，则，，，（当且仅当，，共线时取等号）如图所示，即的最大值为12.故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线和圆，则（）A.直线l恒过定点（2，0）B.存在k使得直线l与直线垂直C.直线l与圆O相交D.若，直线l被圆O截得的弦长为【答案】BCD【解析】【分析】A选项，化为点斜式可以看出直线恒过的点，B选项两直线斜率存在且垂直，斜率乘积为-1，从而存在满足题意，C选项直线过的定点在圆的内部，故可以判断C选项；当时，先求圆心到直线的距离，再根据垂径定理求弦长【详解】直线，即，则直线恒过定点，故A错误；当时，直线与直线垂直，故B正确：∵定点（-2，0）在圆O：x2+y2=9内部，∴直线l与圆O相交，故C正确：当时，直线l化为，即x+y+2=0，圆心O到直线的距离，直线l被圆O截得的弦长为，故D正确，故选：BCD.10.已知函数，则（）A.是奇函数B.的最小正周期为C.在上单调递增D.的最小值为【答案】AD【解析】【分析】根据奇函数的定义可得选项A正确；根据可得选项B错误；根据可得选项C错误；根据二倍角公式结合可得选项D正确.【详解】由题意得，.A.∵函数的定义域为，，∴是奇函数，选项A正确.B.∵，∴不是函数的周期，选项B错误.C.∵，∴在上不是单调递增函数，选项C错误.D.∵，，∴，∵，∴的最小值为，选项D正确.故选：AD.11.设曲线，抛物线，记抛物线的焦点为，，为分别为曲线，上的动点，为曲线的切线，则（）A.若与无公共点，则B.若过点，则被截得的弦长为C.当时，D当时，【答案】AD【解析】【分析】选项A将与无公共点转化为无零点，由导数求最小值大于0即得；选项B先求切线方程为，联立，利用韦达定理和弦长公式即可求得；选项C利用导数求得的最小值小于，进而可得；选项D根据的切线方程和抛物线的切线方程为，进而可得.详解】选项A：联立得，设，由题意可知无零点，，故当时，f′x<0，当时，f故，由题意，得，故A正确；选项B：由题意，由得，设与曲线的切点为，则切线方程为，因过点，故，解得，所以的方程为，即，与联立得，设与的交点坐标为Ax1,则，故，故B错误；选项C：当时，，因在曲线上，可设为，则，设，，设，则，故ℎx在上单调递增，又，，故，使得，则在上单调递减，在上单调递增，故的最小值为，又，故，故C错误；选项D：当时，在处的切线方程为，将代入得，而曲线在处的切线方程为，要使得两曲线上得点M，Q之间距离最小，当时，，，则，两直线的距离为，显然两切点为得连线与切线不垂直，故，故D正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：本题选项A，C关键是把几何问题解析化，然后利用导数求最值.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.双曲线的左，右焦点分别为，点在双曲线右支上，若，则______.【答案】【解析】【分析】根据双曲线的定义求得，再利用余弦定理求解.【详解】因为点在双曲线右支上，且，则，又，在中，由余弦定理可得，，所以.故答案为：.13.在中，已知，，则______.【答案】【解析】【分析】由两角和的正切公式结合条件切化弦可得，将条件切化弦运算得解.【详解】，，，即，解得，即，即，所以，又，得，又由，可得，.故答案：.14.有三个袋子，每个袋子都装有个球，球上分别标有数字.现从每个袋子里任摸一个球，用分别表示从第一，第二，第三个袋子中摸出的球上所标记的数，则事件“”的概率为______.【答案】【解析】【分析】归纳求出满足的情况种数，根据古典概型的概率公式求解.【详解】由题意，从三个袋子中摸出的球上所标记的数的总的情况为种，满足，则，当时，对应的情况有，1种；当时，对应的情况有，2种；当时，对应的情况有，3种；当时，对应的情况有，种；所以满足的情况有种，故所求事件的概率为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列满足，是关于的方程的两个根.（1）求；（2）求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据韦达定理可得，利用等差数列通项公式列式计算；（2）由（1）求得通项，代入运算可得，利用裂项求和得解.【小问1详解】根据题意，由韦达定理可得，因为数列是等差数列，设公差为，所以，即，则，解得，.【小问2详解】由（1），则，，，.16.在中，角的对边分别为，为边上的中线.（1）证明：；（2）若，，求的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）方法一：对两边平方，再由余弦定理可得答案；方法二：在和中，由余弦定理可得答案；（2）在中，由余弦定理得，结合（1）再利用基本不等式可得答案.【小问1详解】方法一：为边上中线，，，在中，由余弦定理得：，，，.方法二：为边上中线，在中，，在和中，由余弦定理得：，即，，即；【小问2详解】，，由余弦定理可得，故，即，当且仅当时，即时等号成立，所以，所以取得最小值为.17.如图，在四棱锥中，平面，，，.（1）证明：；（2）若四棱锥的外接球的表面积为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质证明线线平行，先证平面即可.（2）先确定四棱锥的外接球的球心，即可得的长，过作于，所以为二面角的平面角，求解即可.【小问1详解】取AB的中点，连接，则由题意知为正三角形，所以，由等腰梯形知，设，则，，故，即得，所以，因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以.【小问2详解】由于，又，为等边三角形，，即为四边形外接圆的圆心，且半径，过作平面的垂线，则，在平面内作的垂直平分线交与点，则，即为四棱锥的外接球的球心，且半径，则，，则，过作于，平面，所以平面，又平面，则，所以为二面角的平面角，，所以二面角的平面角的余弦值为.18.数列是特殊的函数，可以利用函数工具研究数列性质.比如，为了研究数列的性质，对通项公式取对数得，，则可通过研究函数的性质，得到数列的性质，进而得到的性质.请根据以上材料，解决如下问题：（1）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围，并证明：；（2）是否存在常数，使得：有，？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.（注：e为自然对数的底数）【答案】（1）；证明见解析（2）存在，【解析】【分析】（1）当x=0时，恒成立，；当x>0时，可化为，令，x>0，利用导数方法判断其单调性，结合洛必达法则即可求出的范围；得出以，将代入整理，即可证明不等式成立；（2）先由题意得到a>0；由推出，结合（1）的结果，可求出；对于，当或时，于显然恒成立；当时，推出以，同（1）构造函数，求出；从而可求出结果.【小问1详解】当x=0时，显然恒成立，；当x>0时，可化为，令，x>0，则，令，x>0，则在上恒成立，因此在上单调递减，所以，即在上恒成立，所以在上单调递减，又由洛必达法则可得：，所以恒成立，因此，为使对任意x>0恒成立，只需；综上，；所以，因为，所以，则，所以得证；【小问2详解】存，使得：有，,证明如下：由题意，为使恒成立，必有a>0；(i)由得，所以，则，因为，由（1）知对任意x>0恒成立，为使都成立，只需，解得；(ii)对于，当或时，于显然恒成立；当时，，由得，所以，令，则，，所以，同（1）令，，则，令，，则在上恒成立，因此在上单调递增，所以，因此在上恒成立，所以在上单调递减，又，所以当，；因此，为使恒成立，只需，解得；由(i)(ii)可得，；即存在，使得：有，.【点睛】思路点睛：利用导数的方法求解不等式中的参数时，一般可利用分离参数的方法，先分离出所求参数，再构造函数，利用导数的方法求函数的最值即可.19.线段的长为3，端点分别在轴和轴上运动，点满足，记点的轨迹为曲线.（1）求曲线的方程；（2）曲线与轴的左右两个交点分别为为上异于的动点.过点分别作直线，直线，其中与曲线交于两点，交直线于点，点满足.①求点的轨迹方程；②的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）①，②存在最小值，最小值为3.【解析】【分析】（1）设点Ex,y，，，根据及计算即可；（2）①由题意，可设，则，利用点差法得①，②，由①②得，运算得解