人教A版高一下册数学-必修第二册8.4.1平面【教学设计】

人教A版高一下册数学-必修第二册8.4.1平面教学设计课题8.4空间点、直线、平面之间的位置关系8.4.1平面课型新授课课时1课时学习目标1.初步理解平面的概念、三个基本事实和推论，会用图形、文字、符号三种语言形式表述三个基本事实和推论．2.在探究三个基本事实的情境中，感悟立体几何结论发现的过程，体验研究几何体的方法，提升直观想象和数学抽象素养．学习重点对三个基本事实和三个推论的理解及其集合符号语言表示．学习难点对基本事实的理解和集合符号语言表示，对推论的说理证明．学情分析在初中学生初步学习了平面几何的相关知识，掌握了平面内点、直线的概念和性质,在学习新课时，可以通过类比“直线”来研究“平面”.通过以前的学习，学生对平面几何已有一定的分析和推理能力，初步具备了学习点、直线、平面之间的位置关系的能力,但学生以前接触的大多是平面图形,习惯于在平面上解决问题,空间想象能力、思维能力较弱,需要教师做好引导.核心知识对三个基本事实和三个推论的理解及其集合符号语言表示．教学内容及教师活动设计（含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容）教师个人复备一、引入新课情境：在初中，我们已经对点和直线有了一定的认识，知道它们都是由现实事物抽象得到的，平面是构成我们生活的空间的基本元素之一，增加了对平面的研究，几何的学习就由二维到三维．你能举例说明，生活中哪些物体给我们平面的感觉呢？答：教室里的黑板、平整的操场、桌面、平静的湖面等，都给我们以平面的印象．几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中抽象出来的．设计意图：通过生活实例直观感知平面，引出本节课平面的概念．二、课堂探究问题１：和点、直线一样，平面也是从现实世界中抽象出来的不加定义的最基本的几何概念．那么，类比直线的“直”和向两端“无限延伸”的特征，平面有哪些特征呢？答：（1）平面是“平”的；平面可以向四周“无限延伸”；没有厚度.追问1：学习了一个数学概念，接下来就是学习它的表示，想一想，我们是怎么用图形和符号表示直线的？类似地，如何用图形和符号表示平面？答：类比用直线的局部，即线段表示直线，可以选取平面的一部分中最具代表性的矩形，用其直观图，即平行四边形表示平面．当平面水平放置的时候，通常把平行四边形的一边化成横向；当平面竖直放置的时候，通常把平行四边形的一边化成竖向．平面通常用希腊字母α，β，γ，…等表示，也可以用表示平行四边形顶点的字母表示，如平面ABCD；还可以用表示平行四边形的两个相对顶点的字母表示，如平面AC、平面BD．当两个平面相交时，可以把被遮挡部分画成虚线或者不画，这样看起来更加立体．设计意图：类比直线的图形和符号表示给出平面的图形和符号表示，使学生感悟数学研究方法的特点和一致性，平面的图形表示实际也是其直观图表示，也可以进一步发展学生直观想象素养．接下来，我们研究平面的基本性质．要研究平面，首先要确定平面．问题２：我们知道，两点可以确定一条直线，那么几个点可以确定一个平面？追问1：过一个点有多少个平面？答：无数个．追问2：过两个点有多少个平面？答：无数个．追问3：过三个点有多少个平面？答：过同一条直线上的三个点有无数个平面，过不在同一直线上的三个点有且只有一个平面．追问4：过四个点能确定一个平面吗？答：不一定．如图：点A，C，D，E确定一个平面；点A，C，D，D'形成了一个三棱锥，确定4个平面．基本事实1：过不在一条直线的三个点，有且只有一个平面．注意：①三点不共线；②“有”，指平面的存在性；③“只有一个”，指平面的唯一性．思考：基本事实1说明“不共线的三点确定一个平面”，是从点和平面的位置关系的角度刻画平面，如何将这一基本事实用图形表示？如何用符号表示点和直线、平面的位置关系？答：如图，不共线的三点A，B，C确定一个平面，记为平面ABC．直线上有无数个点，平面内也有无数个点，因此，直线、平面都可以看成是无数个点组成的集合，故点与直线、点与平面的关系是元素与集合的关系，用“∈”或“∉”表示．如图，点A在直线l上，记作A∈l；点B在直线l外，记作B∉l；点A在平面α内，记作A∈α；点P说一说：你能举出一些生活实例来验证基本事实1吗？答：如：自行车用一个脚架和两个车轮着地就可以“站稳”；三脚架的三脚着地就可以支撑照相机；将教室的门的两个铰链看成两个点，门插销看成一个点，当插销插上时，门不再动了．设计意图：类比确定直线的问题提出确定平面的问题，得到“不共线的三点确定一个平面”，并给出其图形表示以及点和直线、平面之间位置关系的集合符号表示．基本事实1刻画了点与平面的位置关系，我们接下来研究直线与平面的位置关系．问题３：如果直线l与平面α有一个公共点P，直线l是否在平面α内？如果直线l与平面α有两个公共点呢？答：如图，若直线l上仅有一个点P在平面α内，则直线l不在平面α内，若直线l上有两个点（不妨设为A、B）在平面α内，则直线l在平面α内．追问1：你能将上述事实归纳为一句话来表达吗？答：将上述事实进行抽象，可得：基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．追问2：基本事实2反映了直线和平面的位置关系，如何将这一基本事实用图形表示？如何用符号表示直线和平面的位置关系？答：如图直线l上有两个点A、B在平面α内，则直线l在平面α内．直线与平面都可以看成是由无数个点构成的集合，它们之间的关系可看成集合与集合的关系，故用“⊂”或“⊄”表示．如图，直线l上所有的点都在平面α内，就说直线l在平面α内，记作l⊂α；否则，就说直线l不在平面α内，记作这样，基本事实2也可以用符号表示为：A∈l，B∈l，且A∈追问3：我们知道，平面具有“平”和“无限延展”的特征，而基本事实2反映了直线与平面的位置关系，我们能不能利用这种位置关系，用直线的“直”和“无限延伸”刻画平面的“平”和“无限延展”？答：如图，由基本事实1，给定不共线三点A，B，C，它们可以确定一个平面ABC；连接AB，BC，CA，由基本事实2，这三条直线都在平面ABC内，进而连接这三条直线上任意两点所得直线也都在平面ABC内，所有这些直线可以编织成一个“直线网”，这个“直线网”可以铺满平面ABC．组成这个“直线网”的直线的“直”和向各个方向无限延伸，说明了平面的“平”和“无限延展”．设计意图：结合基本事实1和2，用直线的“直”和“无限延伸”的基本特征说明平面的“平”和“无限延展”的基本特征，这也说明对于不加定义的“平面”概念，就是用刻画它的基本事实说明其基本特征的，从而也加深对于平面概念的理解．基本事实1和2分别从点与平面、直线与平面关系的角度对平面进行了刻画，接下来，我们从平面与平面关系的角度对平面进一步刻画，思考下面的问题：问题４：把三角尺的一个角立在课桌面上，三角尺所在平面与课桌面所在平面是否只相交于一点？为什么？答：不止一个公共点．因为平面是无限延展的，把三角尺所在的平面延展，用它“穿透”课桌，可以想象，这两个平面相交于一条直线．追问1：你还能举出生活中其它平面与平面相交的例子吗？答：如，教室相邻的两个墙面在地面的墙角处有一个公共点，这两个墙面相交于过这个点的一条直线等．由此，我们可以归纳出基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．符号语言：若P∈α，且P∈β⇒α∩β=l且P∈注：如无特殊说明，本章中的两个平面均指两个不重合的平面．追问2：结合基本事实3，你能进一步说明平面的“平”和“无限延展”的特征吗？答：基本事实3说明：如果两个平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交于过这个公共点的一条直线．两个平面相交成一条直线的事实，可以让我们进一步认识了平面的“平”和“无限延展”．问题５：基本事实1给出了确定一个平面的一种方法．利用基本事实1和基本事实2，再结合“两点确定一条直线”，你还可以得到一些确定一个平面的方法吗？答：事实上，如图（1），设点A是直线a外一点，在直线a上任取两点B和C，则由基本事实1，经过A，B，C三点确定一个平面α，再由基本事实2，直线a也在平面α内，因此平面α经过直线a和点A，即一条直线和这条直线外一点确定一个平面．对图（2）、（3）用类似的方法，可以得出两条相交直线确定一个平面、两条平行直线确定一个平面．总结：推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面；推论2：两条相交直线确定一个平面；推论3：两条平行直线确定一个平面．以上三条推论与基本事实1都是确立平面的依据．三、知识应用例1用符号表示下列语句，并画出图形：（1）点A在平面α内但在平面β外；（2）直线a经过平面α内一点A，α外一点B；（3）直线a在平面α内，也在平面β内．解：（1）A∈α，A∉（2）A∈a，B∈a，A∈α，（3）α∩β=例2已知：A∈l，B∈l，求证：直线AD，BD，CD共面．分析：因为直线l与点D可以确定平面α，所以只需证明AD，BD，CD都在平面α内．证明：因为D∉l，所以l与D可以确定平面因为A∈l，所以又D∈α，所以AD同理BD⊂α，CD⊂α，所以AD，BD，例3如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，P为棱BB分析：因为点P既在平面α内又在平面AB1内，所以点P在平面α与平面AB1的交线上.同理，点A1在平面α与平面AB1的交线上.因此，作法：连接AP，PC，A1C1，它们就是平面设计意图：通过例题，考查学生对3个基本事实及其推论的理解，并锻炼学生对点、直线、平面位置关系的“三种”语言的转化能力．四、课堂练习1.判断正误，并说明理由：（1）平面α与平面β相交，它们只有有限个公共点．（2）一个点和一条直线确定一个平面．（3）两两相交的三条直线确定一个平面．（4）如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合．2.下列推理错误的是（）A.lB.A∈lC.A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β=ABD.A∈l3.如图，正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，过对角线AC′的截面为菱形AEC′F，试着画出截面AEC′F与底面ABCD的交线．4.若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是．参考答案：1.（1）错误，根据基本事实3，两平面交于一条直线，有无限个公共点，错误．（2）错误，根据推论1，只有当点在线外，才能确定一个平面，若点在线上，则确定无数个平面，错误．（3）错误，若交点不重合，则能确定一个平面，若交点重合，则可能确定三个平面，错误．（4）正确，若两平面平行，无公共点；若相交，交点共线.故重合，正确．2.A选项，l⊄α，可能lB选项，根据基本事实2可知，B选项正确；C选项，因为A∈α，A∈βD选项，显然正确．故选择A选项．3.延长CB、C′E交于点M，延长CD、C′F交于点N，连接MN，则平面C′MN即截面AEC′F，故MN即所需画的交线．4.解：如图，∵AC∥BD，∴AC，BD确定一个平面，设为平面β，则C，D，l均在平面β内，∵点O在直线l上，∴点O在平面β内，又点O，C，D在平面α内，∴平面α，β相交于O，C，故O，C，D三点共线．五、归纳总结回顾本节课的内容，你都学到了什么？答：三个基本事实即三个推论，具体内容如下：基本事实1：过不在一条直线的三个点，有且只有一个平面．基本事实2：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．推论1：一条直线和该直线外一点确定一个平面．推论2：两条相交直线确定一个平面．推论3：两条平行直线确定一个平面确定一个平面．平面的三个基本事实通过点、直线与平面的相互关系刻画了平面的基本性质“平”和“无限延展”．板书设计8.8.4.1平面一、平面的表示表示为：α，β，γ，…；平面ABCD；平面AC、平面BD．二、基本事实基本事实1：过不在一条直线