人教A版高一下册数学-必修第二册8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积【教学设计】

人教A版高一下册数学-必修第二册8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积教学设计课题8.3简单几何体的表面积与体积8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积课型新授课课时1课时学习目标1．通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积计算公式．2．能运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式进行计算和解决有关实际问题．学习重点棱柱、棱锥、棱台的表面积公式与体积公式.学习难点求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．学情分析学生在前几节课学习了棱柱、棱锥、棱台的概念和结构特征，也学习了用斜二测画法画出立体图形的直观图，具有了基本的空间想象能力.本节课通过对棱柱、棱锥、棱台表面积和体积的学习,使学生对简单组合体表面组成和内部结构有更深入地理解，同时培养学生类比推理、空间想象能力、数学运算等数学能力.核心知识棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积公式的推导.教学内容及教师活动设计（含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容）教师个人复备一、复习回顾、引入新知问题1：前面我们学习了棱柱、棱锥、棱台的有关概念，大家还记得它们的结构特征吗？师生活动：学生回忆思考回答棱柱、棱锥、棱台的结构特征，对于回答不全面的可以有其他同学补充.设计意图：通过学生共同回忆所提问题，加深对棱柱、棱锥、棱台的机构特征的理解，便于后面教学中公式推导的理解.二、类比推导，新知探究问题引入本节课的内容，如何求这些多面体的表面积和体积呢？（一）棱柱、棱锥、棱台的表面积问题2：还记得我们如何求正方体的表面积吗？师生活动：教师引导，学生思考、讨论，得出正方体的表面积可以通过求其展开图的面积的方法求解.多面体表面积：多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.问题3：棱柱、棱锥、棱台的展开图分别是怎样的？师生活动：首先让学生思考，讨论，回答展开图形式.然后通过动画展示三棱柱、三棱锥、四棱台的展开图.【小结】设计意图：让学生更好理解它们的表面积有哪些平面图形组成，提高学生空间想象能力.例1如图已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P−ABC，求它的表面积．追问：正四面体的展开图是怎样的？如何求展开图每部分的面积？解:因为△PBC是正三角形，其边长为a，所以SΔPBC=因此，四面体P−问题4：你还记得正方体、长方体，以及圆柱的体积计算公式吗？师生活动：通过回忆得到正方体、长方体、圆柱的体积公式是V=Sℎ追问：该公式能否推广到一般的柱体？【实验探究——祖暅原理】问题5:取一摞书放在桌面上，并改变它们的位置，高度、书中每页纸面积和顺序不变，观察改变前后的体积是否发生变化？师生活动：学生思考，讨论，根据图形能直观理解体积没有发生变化，教师引导学生进行知识的迁移，有特殊到一般的转化.设计意图：通过此实验可以形象的理解祖暅原理.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.祖暅简介：我国古代著名数学家祖冲之在计算圆周率等问题方面有光辉的成就.祖冲之的儿子祖暅也在数学上有突出贡献.祖暅在实践的基础上，于5世纪末提出了这个体积计算原理.祖暅提出这个原理，要比其他国家的数学家早一千多年.在欧洲直到17世纪，才有意大利数学家卡瓦列里（Cavalieri.B，1598年--1647年）提出上述结论.（二）棱柱、棱锥、棱台的体积1、棱柱的体积一般地，如果棱柱的底面面积为S，高为ℎ，那么这个棱柱的体积V=S棱柱的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.特别的，直棱柱的侧棱垂直于底面，故侧棱长即为直棱柱的高.2、棱锥的体积问题6：一个三棱柱可以分割成几个三棱锥？师生互动：学生小组讨论如何分割三棱柱，教师引导它们每部分什么关系？它们相等吗？如何证明？最后学生讨论得到结论.设计意图：通过三棱柱和三棱锥的体积关系，从而更好的接受棱柱和棱锥的体积关系.一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为ℎ，那么这个棱锥的体积公式V=棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.3、棱台的体积公式棱台的体积公式V其中S'，S分别为棱台的上、下底面面积，ℎ为棱台的高.棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.4、棱柱、棱锥、棱台体积关系问题7：棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？师生活动：学生讨论，思考.教师引导极限思维考虑.设计意图：使学生建立棱柱、棱锥、棱台的体积之间关系的认识.三、新知应用、典例讲解例2如图8.3-2，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是0.5m，公共面是边长为1m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01m)?(计算漏斗的容积时不考虑漏斗的厚度)【割补法——割】解：由已知，这个漏斗的容积为V=V=1×1×0.5+13×1×1×0.5=1变式2-1某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的.如果被截正方体的棱长是50cm，那么石凳的体积是多少立方米？【割补法——补】如图示，由题意知正方体的棱长为0.5m，则有VV∴这个石凳的体积为V例3如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为.

【等积法】解：因为点E在线段AA1上，所以S△DED1=又因为点F在线段B1C上，所以点F到平面DED1的距离为1，即h=1，所以VD1-EDF=例4正四棱台的底面边长分别为20cm和10cm，侧面面积为780cm2，求其体积.【公式法解：正四棱台的大致图形如图所示,其中A1B1=10cm,AB=20cm，取A1B1的中点E1，AB的中点E，则E1E为斜高.设O1，O分别是上、下底面的中心，则四边形EOO1E1为直角梯形.∵S侧=4×12×(10+20)×EE1=780(cm∴EE1=13cm.在直角梯形EOO1E1中，O1E1=12A1B1=5cm，OE=12AB=∴O1O=132-(∴该正四棱台的体积为V=13×(102+202+10×20)×12=2800(cm3四、课堂小结1、棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积公式2、求几何体体积的常用方法8.8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积一、棱柱、棱锥、棱台的表面积、体积名称图形表面积体积棱柱SV=S棱锥SV=棱台SV=二、棱柱、棱锥、棱台的体积间的