2024-2025学年福建省厦门市厦门大学科技中学高二（下）段考数学试卷（3月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages33页2024-2025学年福建省厦门大学科技中学高二（下）3月段考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知双曲线x2m-y24=1(A.5 B.5 C.9 D.2.某公交车上有6位乘客，沿途4个车站，乘客下车的可能方式有(

)A.64种 B.46种 C.24种 D.3.已知函数f(x)的定义域为R，其导函数为f'(x)A.f(x)在(3,+∞)上单调递增 B.f(x)的最大值为f(1)

C.f4.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若公比q=2，SA.49 B.56 C.63 D.1125.已知函数f(x)=13x3-A.(-∞,0)∪(1,+∞) B.(-∞,0]∪[1,+∞)

C.(0,1) D.[0,1]6.如图1，现有一个底面直径为10cm高为25cm的圆锥容器，以2cm3/s的速度向该容器内注入溶液，随着时间(单位：s)A.33006πcm/s

B.33007.已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)，其导函数f'(x)满足xfA.(-2025,-2024) B.(-2024,0) C.(-∞,-2024) D.(-∞,-2025)8.已知函数f(x)=lnx-mx2A.[2+ln28,3+ln39二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知直线l过点(2,1)，且直线l与圆C：x2+y2-2A.y=1 B.x=2

C.4x10.对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，给出定义：f'(x)是函数y=f(x)的导数，f''(x)是函数f'(A.f(x)的极大值为1376

B.f(x)有且仅有2个零点

C.点11.已知函数f(x)=xlnx-emx，对定义域内任意x1A.1e B.13 C.1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设函数f(x)在x=x0处存在导数为2，则lim13.如图为我国数学家赵爽(约3世纪初)在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为_______．

14.已知函数f(x)=|lnx|图象的两条切线相互垂直，并分别交y轴于A，B两点，则|四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题15分)

已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4=4S2，a2n=2an+1(n∈N*)．

16.(本小题15分)

已知函数f(x)=32x2-4ax+a2lnx在x=117.(本小题15分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC//AD，AB⊥BC，AB=BC=1，AD=AP=2，点E满足DE=λDP(0<λ<1)．

18.(本小题15分)

已知动点P(x,y)(其中x≥0)到定点F(l,0)的距离比点P到y轴的距离大1．

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)过椭圆C1：x216+y212=1的右顶点作直线交曲线C于A、B两点，其中O为坐标原点．

①求证：19.(本小题17分)

已知函数f(x)=alnx+x2，其中a∈R．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)当a=1时，证明：f(x)≤x2+x参考答案1.A

2.B

3.D

4.B

5.D

6.C

7.A

8.C

9.AC

10.ACD

11.ACD

12.4

13.420

14.2

15.解：(1)设等差数列{an}的公差为d，

由题意知，S4=4S2，a2=2a1+1，

即4a1+6d=4(2a1+d)a2=a1+d=2a116.解：易知f(x)的定义域为(0,+∞)，

可得f'(x)=3x-4a+a2x=3x2-4ax+a2x=(3x-a)(x-a)x，

令f'(x)=0，

解得x=a或x=a3，

当a=1时，

当0<x<13时，f'(x)>0，f(x)单调递增；

当13<x<1时，f'(x)<0，f(x)单调递减；

当x>1时，f'(x)>0，f(x)单调递增，

所以当x=1时，f(x)取得极小值，不符合题意；

当a3=1，即a=3时，

当0<x<1时，f'(x)>0，f(x)单调递增；17.解：(1)延长AB，DC交于F，由BC//AD，BC=1，AD=2，

可知：FCFD=BCAD=12，

又因为CE//平面PAB，CE⊂平面PDF，且平面PDF∩平面PAB=PF，

所以CE//PF，即PEPD=FCFD=12，

所以DE=12DP，

故λ=12；

(2)由BC//AD，AB⊥BC⇒AB⊥AD，又由PA⊥底面ABCD，

则以A为坐标原点，以直线AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，

因为AB=BC=1，AD=AP=2，

所以D(0,2,0)，C(1,1,0)，A(0,0,0)，P(0,0,2)，

则有CD=(-1,1,0),AC=(1,1,0),DP=(0,-2,2)，

又因为DE=13DP，

所以CE18.解：(1)设P(x,y)(x≥0)，

由题意，(x-1)2+y2=x+1(x≥0)，

两边平方得y2=4x，

所以，所求点P的轨迹方程为C：y2=4x．

(2)①证明：设过椭圆的右顶点(4,0)的直线AB的方程为x=my+4，

代入椭圆的方程y2=4x，

得y2-4my-16=0，

设A(x1,y1)，B(x2,y2)，

得y1+y219.解：(1)函数f(x)

的定义域为(0,+∞)，f'(x)=ax+2x=a+2x2xm

①当a≥0时，f'(x)>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增

②当a<0时，令f'(x)=0，解得x=-a2．

当0<x<-a2时，a