概率与统计教学资料

普通高中课程标准实验教科书选修1-2,2-3概率与统计

简介人教版高中数学课标教材（A版）

北京师范大学数学科学学院张淑梅zsm1963@.数学1数学3数学4数学2数学5选修2-3选修2-2选修2-1选修1-2选修1-1选修3-5选修3-4选修3-3选修3-2选修3-1选修3-6选修4-10选修4-9…

选修4-3选修4-2选修4-1系列1系列2系列3系列4选修必修必修模块（各36学时）数学1：集合、函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）；数学2：立体几何初步、平面解析几何初步；数学3：算法初步、统计、概率；数学4：基本初等函数II（三角函数）、平面上的向量、三角恒等变换；数学5：解三角形、数列、不等式。必选模块（各36学时）系列1：文科必选选修1-1：常用逻辑用语(8)、圆锥曲线与方程(12)、导数及其应用(16)；选修1-2：统计案例(10)、推理与证明(10)、数系的扩充与复数的引入(4)、框图(6)。系列2：理科必选选修2-1：常用逻辑用语(8)、圆锥曲线与方程(16)、空间中的向量与立体几何(12)；选修2-2：导数及其应用(24)、推理与证明(8)、数系的扩充与复数的引入(4)；选修2-3：计数原理(14)、随机变量及其分布(12)、统计案例(10)。选修系列3（各18学时）1.数学史选讲；2.信息安全与密码；3.球面上的几何；4.对称与群；5.欧拉公式与闭曲面分类；6.三等分角与数域扩充。注：要求修得学分，不作为高考科目；第2、5、6三个专题不再列入备选专题。选修系列4（各18学时）1.几何证明选讲；2.矩阵与变换；3.数列与差分；4.坐标系与参数方程；5.不等式选讲；6.初等数论初步；7.优选法与试验设计初步；8.统筹法与图论初步；9.风险与决策；10.开关电路与布尔代数。注：要求作为高考科目；第3、8、10三个专题不再列入备选专题，只作为课外读物出版。统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，它可以为人们制订决策提供依据.概率是研究随机现象规律的学科,它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法,同时为统计学的发展提供了理论基础。在终极的分析中，一切知识都是历史在抽象的意义下，一切科学都是数学在理性的基础上，所有的判断都是统计学

C.R.劳

统计的思维方法总有一天会像读和写的能力一样，成为一个效率公民的必备能力。威尔斯(H.G.Wells)统计和概率关系概率论和数理统计都是以随机现象为研究对象。概率论是对随机现象统计规律演绎的研究，而数理统计是对随机现象统计规律归纳的研究。虽然两者在方法上是如此明显的不同，但是作为一门学科，它们却是相互渗透、相互联系的。概率论是统计学的理论和方法的依据，而统计学可视为概率论的一种应用。数学3：统计：随机抽样、用样本估计总体、变量间的相关关系概率：随机事件的概率、古典概型、几何概型选修2-3(选修1-2)：随机变量及其分布：离散型随机变量及其分布列、二项分布及其应用、离散型随机变量的均值与方差、正态分布回归分析的基本思想及其初步应用、独立性检验的基本思想及其初步应用选修4-9风险与决策第二章随机变量及其分布教学目标结构设置与课时分配教材内容的变化与特点教学建议1.教学目标在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性。通过实例，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。在具体情景中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。通过实例，理解随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并解决一些实际问题。通过实际问题，借助直观，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义。1.教学目标教学目标结构设置与课时分配教材内容的变化与特点几个应注意的问题随机变量及其分布（12学时）二项分布及其应用︵4课时︶正态分布与小结︵2课时︶离散型随机变量的均值与方差︵3课时︶离散型随机变量及其分布列︵3课时︶2.结构设置与课时分配教学目标结构设置与课时分配教材内容的变化与特点几个应注意的问题3.教材内容的变化与特点知识的引入的变化具体内容的变化知识的应用3.教材内容的变化与特点知识的引入的变化：注重利用学生熟悉的实例和具体情景，以引发学生的学习兴趣；通过思考或探究栏目提出问题，以调动学生解决问题的积极性。具体内容的变化知识的应用例如：随机变量的引入思考：抛一枚骰子，出现的点数可以用数字1，2，3，4，5，6来表示，那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？正面向上1反面向上0例如：条件概率的引入探究：3张奖券中只有1张能中奖，现分别由3名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比其他同学小？思考：如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？条件概率例如：离散型随机变量均值的引入思考：某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？

利用高尔顿板引入正态分布的密度曲线更直观，易于解释曲线产生的原因。例如：正态分布密度曲线的引入3.教材内容的变化与特点知识的引入的变化具体内容的变化：以取有限值的离散型随机变量为知识载体；增加了超几何分布;减少了几何分布。知识的应用

使学生的注意力更集中在有关随机变量的均值、方差概念的理解；便于解释随机变量取所有值的概率和为1；

不影响二点分布、超几何分布、二项分布的知识理解，它们都是取有限值的随机变量。用有限值的离散型随机变量作为知识载体的目的：例1.2在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：（1）取到的次品数X的分布列；（2）至少取到1件次品的概率。

贴近学生们的生活。如在模球和扑克牌游戏中，都会出现超几何分布，由此可提升他们学习概率知识的兴趣。帮助理解二项分布模型的背景。

应用广泛。引入超几何分布的目的：3.教材内容的变化与特点知识的引入的变化具体内容的变化知识的应用。体现概率统计的应用价值；利用思考、探究等栏目提高学生解决实际问题能力。例1.3

在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的概率．例如超几何分布的应用思考：如果要将这个游戏的中奖概率控制在55%左右，那么应该如何设计中奖规则？例2.2

一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0

9中任选一个．某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字。（1）求在他任意按最后一位数字的情况下，不超过2次就按对的概率；（2）如果他记得密码的最后一位是偶数，求不超过2次就按对的概率。例如条件概率的应用例2.3

某商场推出二次开奖活动，凡购买一定价值的商品可以获得一张奖券．奖券上有一个兑奖号码，可以分别参加两次抽奖方式相同的兑奖活动．如果两次兑奖活动的中奖概率都是0.05，求两次抽奖都抽到某一指定号码的概率；两次抽奖恰有一次抽到某一指定号码的概率；两次抽奖至少有一次抽到某一指定号码的概率．例如独立性的应用思考：二次开奖至少中一次奖的概率是不是一次开奖中奖概率的两倍？为什么？例如二项分布的应用例2.4

某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求这名射手（1）在10次射击中，恰有8次击中目标的概率；（2）在10次射击中，至少有8次击中目标的概率．

探究：第一名同学击中目标靶的环数X1~B(10,0.8),第二名同学击中目标靶的环数X2=Y+4，其中Y~B(5,0.8),请问派哪名同学参赛？例如二项分布的应用例2.4

某射手每次射击击中目标的概率是0.8，求这名射手（1）在10次射击中，恰有8次击中目标的概率；（2）在10次射击中，至少有8次击中目标的概率．

概率分布中“分布”一词的意思是：它指明全部概率1是如何分布在（分配到）随机变量X的各个可能值的。解决实际问题的例子例3

根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01。该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失6万元，遇到小洪水时要损失1万元。为保护设备，有以下3种方案：方案1：运走设备，搬运费为3800元；方案2：建保护围墙，建设费为2000．但围墙只能防小洪水；方案3：不采取措施，希望不发生洪水．试比较哪一种方案好。教学目标结构设置与课时分配教材内容的变化与特点几个应注意的问题4.几个应注意的问题在教学过程中要交待引入随机变量的原因（章引言中）；通过与函数的比较加深对随机变量的理解；通过取有限值的随机变量为载体，介绍有关随机变量的概念，重点在概率含义的理解及应用；离散型随机变量的定义使用了“取值可以一一列出”的描述性语言，主要是为了避免“可数集”概念；e.分布的重要性随机现象的两个特性：1.结果的随机性；2.频率的稳定性。了解一个随机现象：1.这个随机现象可能出现的结果；2.每个结果出现的概率。当给出了随机变量，了解随机现象就变成了解这个随机变量所有可能的取值和取每个值的概率。f.数字特征的重要性数字特征的重要性在于它们有非常明确的含义，反映了随机变量的重要信息。随机变量的均值、方差等数字特征都是数，样本均值和方差等是随机的。分布可以确定数字特征，数字特征一般无法确定分布。g.注意超几何分布与二项分布背景的区别：超几何分布：不放回模出m个球中的红球个数；二项分布：有放回模出m个球中的红球个数。h.注意解释随机变量与样本均值(方差)的关系：两者都表示各自的平均位置(变化剧烈程度)；样本均值(方差)具有随机性，而随机变量的均值(方差)没有随机性；样本均值(方差)的极限是总体均值(方差)

。i.在高尔顿钉板试验中，课文中说“随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线”。越来越接近于钟形曲线的离散化。j.注意通过边框问题引导学生了解：对于同一个实际问题，可以用不同的随机变量来描述（如掷一枚硬币）；k.概率模型的选取三张奖券抽签：

A：{YX１X２,YX２X１,X１YX２,X２YX１,X１X２Y,X２X１Y}

B：{YXX,XYX,XXY}在一个特定的随机试验中，称每一可能出现的结果为一个基本事件，全体基本事件的集合称为事件空间。随机事件（简称事件）是由某些基本事件组成的。k.概率模型的选取又如，两颗骰子点数和

{(1,1)(1,2)(2,1)…(6,6)}

{(奇,奇)(奇,偶)(偶,奇)(偶,偶)}{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}45随机变量的定义假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30~7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7：00~8：00之间，你父亲在离开家之前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？设送报人到达的时间为x，父亲离开的时间为y,则A={(x,y)|y≧x,6.5≦x≦7.5,7≦y≦8}独立的例子买彩票中的号码选择抛硬币……

例一辆汽车0~100km发生故障的概率为0.5，0~200km发生故障的概率为0.8，已知在1~100km没有发生故障的条件下，100~200km发生故障的概率？第三章统计案例统计学不止是一种方法和技术，还含有世界观的成分—它是看待世界上万事万物的一种方法。

—陈希孺教学目标结构设置与课时分配回归分析独立性检验1.教学目标通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及其初步应用。通过典型案例的探究，了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想、方法及其初步应用。教学目标结构设置与课时分配回归分析独立性检验统计案例（10课时）独立性检验模型（3课时）回归分析模型（4课时）实习作业与小结（3课时）2.结构设置与课时分配教学目标结构设置与课时分配回归分析独立性检验3.回归分析比《数学3》中“回归”增加的内容回归分析知识结构图几个应注意的问题画散点图了解最小二乘法的思想求回归直线方程y＝bx＋a用回归直线方程解决应用问题必修《数学３》已学回归内容比《数学3》中“回归”增加的内容引入线性回归模型y＝bx＋a＋e了解模型中随机误差项e产生的原因了解R2和模型拟合的效果之间的关系了解残差图的作用利用线性回归模型解决一类非线性回归问题正确理解统计分析方法与结果选修《数学2－3》新增内容比《数学3》中“回归”增加的内容3.回归分析比《数学3》中“回归”增加的内容回归分析知识结构图几个应注意的问题b.回归分析知识结构图问题背景分析线性回归模型两个变量线性相关最小二乘法两个变量非线性相关非线性回归模型残差分析R2散点图应用例1

从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表3-1所示。求根据女大学生的身高预报体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。编号12345678身高/cm165165157170175165155170体重/kg485750546461435960(1)画散点图(2)散点图上样本点呈现出线性相关。(3)由最小二乘法可求得：回归方程为：(4)预报体重为：引入线性回归模型：与函数关系不同，在回归模型中，y的值由x和随机误差e共同确定。对于样本点（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn）随机误差为ei=yi-bxi-a其估计值（残差）为模型诊断1残差散点图模型诊断2R2越接近于1，说明模型的拟合效果越好；R2越接近0，说明模型的拟合效果越差。3.回归分析比《数学3》中“回归”增加的内容回归分析知识结构图几个应注意的问题(教学建议)回归分析教学建议回归一词的来历函数模型与“回归模型”的关系散点图与模型的选择残差变量与模型选择解释残差变量的来源正确理解R2的含义注意提炼案例所蕴含的统计思想应用统计方法解决实际问题需要注意的问题信息技术的使用教学目标结构设置与课时分配回归分析独立性检验独立性检验两个假设检验问题独立性检验知识结构图几个应注意的问题独立性检验两个假设检验问题独立性检验知识结构图独立性检验的教学建议a.两个假设检验问题阿布兹诺特的《从两性出生数观察的规律性所得关于神的意旨存在的一个论据》（1）生男生女纯属偶然（即有同等机会）（2）由于“神的意旨”，生男的机会大于生女。a.两个假设检验问题费歇尔的“女士品茶”（TM和MT各4杯）（1）该女士对TM和MT并无鉴别力，所得结论纯属偶然；（2）该女士对TM和MT有一定的鉴别能力。假设检验问题由两个互斥的假设构成，其中一个叫做原假设，用H0表示；另一个叫做备择假设，用H1表示。例如，在前面的例子中，原假设为：

H0：生男生女纯属偶然，备择假设为：

H1：由于“神的意旨”，生男的机会大于生女。这个假设检验问题可以表达为：

H0：←→H1：独立性检验两个假设检验问题独立性检验知识结构图几个应注意的问题b.独立性检验知识结构图背景分析列联表条形图独立性检验分类变量之间关系不患肺癌患肺癌总计不吸烟7775427817吸烟2099492148总计9874919965例1为研究吸烟是否对患肺癌有影响，某肿瘤研究所随机地调查了9965人，得到如下结果：

吸烟与患肺癌列联表那么吸烟是否对患肺癌有影响？等高条形图不吸烟吸烟患肺癌比例不患肺癌比例2×2列联表不患肺癌患肺癌总计不吸烟aba+b吸烟cdc+d总计a+cb+da+b+c+d79独立性检验用A表示不吸烟，B表示不患肺癌。假设H0：吸烟和患肺癌没有关系。80独立性检验在“吸烟与患肺癌没有关系”成立的条件下，可以估算出：P(K2>k0)0.100.050.0250.010.0050.001k02.0723.8415.0246.6357.87910.828结果的解释：k≈56.632>6.635解释为在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“吸烟与患肺癌有关”。这里概率的计算基于K2的分布独立性检验假设检验的基本思想：1.在H0成立的条件下，构造与H0矛盾的小概率事件；2.如果样本使得这个小概率事件发生，就能在犯错误概率不超过小概率的前提下断言H1成立；否则，就说从数据中没有发现充分的证据支持H1成立。

独立性检验的基本思想：当K2很大时，就认为两个变量有关系；否则就认为没有充分的证据显示两个变量有关系。检验问题的解：一个规则，用以判断是H0

还是H1正确。独立性检验两个假设检验问题独立性检验知识结构图几个应注意的问题c.几个应注意的问题独立性检验的本质反证法原理与假设检验原理的比较犯错误概率的计算检验结果的表述两个结果不矛盾K2统计量的非齐次问题把没有关系作为假设的原因临界值的确定总结“两个分类变量独立性检验”的本质问题：建立判断结论

H1：分类变量X与Y之间有关系成立的规则。判别指标：规则k0：如果k>k0,判定H1成立；否则认为H1不成立。确定规则k0判定“H1成立”犯错误的概率。表3－11给出了一些规则的犯错误的概率。反证法原理：

在假设H0下，如果推出一个矛盾，就证明了H0不成立。

假设检验原理：

在假设H0下，如果出现一个与H0相矛盾的小概率事件，就推断H0不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率。

反证法原理与假设检验原理检验结果的表述如果根据实际问题确定的显著性水平为0.01，其对应的临界值为6.635。当k≧6.635时，表述为：在犯错误概率不超过0.01的前提下认为两个变量有关系；否则就认为没有充分的证据显示两个变量有关系。P(K2>k0)0.100.050.0250.010.0050.001k02.0723.8415.0246.6357.87910.828这里概率的计算基于K2的分布犯错误概率的计算在教学过程中强调只有在两个分类变量没有关系的假设，才能得到这个近似公式。在教学过程中可以指出估算需要很多的概率统计知识。表3-11是个近似值表，通常要求总观察数大于40，且a，b，c，d都不小于5。在前面案例中，由k≈54.721>6.635可得结论：在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“吸烟与患肺癌有关”。另一方面，由k≈54.721>10.828还可得结论：在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“吸烟与患肺癌有关”。问题：二个结论矛盾吗？可引导学生讨论下面问题，加深对假设检验问题的正确理解。两个结论不矛盾，它们是对两个不同评判规则的结论。结论“在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为‘吸烟与患肺癌有关’”是相对于规则一：如果随机变量的观测值大于或等于6.635就认为“吸烟与患肺癌有关系”。结论“在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为‘吸烟与患肺癌有关’”是相对于规则二：如果随机变量的观测值大于或等于10.828就认为“吸烟与患肺癌有关系”。关于非齐次的问题，例如为什么总是把“没有关系”作为原假设临界值的设定

关于例1的教学建议例1.秃头与患心脏病在解决实际问题时，可以直接计算K2的观测值k进行独立检验，而不必写出K2的推导过程

。提醒学生们注意统计结果的适用范围（这由样本的代表性所决定）。因为这组数据来自住院的病人，因此所得到的结论适合住院的病人群体．92例1.(2010年课标高考文理19)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？(3)根据（2）的结论，能否提供更好的调查方法来估计该地区老年人，需要志愿帮助的老年人的比例？说明理由。附：性别是否需要志愿男女需要4030不需要160270例2.（2010辽宁18）为了比较注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两组，每组100只，其中一组注射药物A，另一组注射药物B。（Ⅰ）甲、乙是200只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；（Ⅱ）下表1和表2分别是注射药物A和B后的试验结果.（疱疹面积单位：mm2）表1：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表表2：（ⅰ）完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；（ⅱ）完成下面2×2列联表，并回答能否有99.9%的把握认为“注射药物A后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异”.表3：案例：2007年6月20日在中央电视台12频道19:30-20:00的中国法制报道节目：一个经常买福利彩票的人某天18：00收到一条短信“今天19:30开奖的3D福利彩票的中奖号码为776”，第2天该人在报纸中看到，该期的中奖号码确实是776，他觉得奇怪，就打电话给发短消息的号码，对方说这是内部消息，100％准确。该人又问“你能告诉我今天晚上的中奖号码吗？”对方回答“你需要交信息费998元”。你这时会怎么想？你认为这是真的吗？骗局是：中奖号码是000～999，骗子给1000人发信息，每人一个号码，一定有一个人的号码是中奖号码，该人就可能上当。投稿的论文中错误的使用统计表收视率调查样本户讲述被电视台收买作假经历培训时教师常问的问题1、信息技术的应用掌握到什么程度？2、高考考到什么程度？3、有没有相应的课件？4、在讲古典概型前是否要补充排列组合的知识？谢谢！f.教学建议

关于探究吸烟与患肺癌关系的教学建议关于例1的教学建议关于例2的教学建议关于探究吸烟与患肺癌关系的教学建议通过图形直观判断，只能得到定性的结论，无法知道所得结论的可信程度及含义，因此需要用列联表检验。不吸烟吸烟推导统计量K2

用意是建立判定吸烟与患肺癌是否有关系的指标(用于构造有利于H1成立的小概率事件的指标)

，使同学了解：K2越大，推断H1成立犯错误的概率越小。关于探究吸烟与患肺癌关系的教学建议这里概率的计算基于K2的分布在“吸烟与患肺癌没有关系”成立的条件下，可以估算出：关于探究吸烟与患肺癌关系的教学建议P(K2>k0)0.100.050.0250.010.0050.001k02.0723.8415.0246.6357.87910.828结果的解释：k≈54.721>6.635解释为在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“吸烟与患肺癌有关”。若按如下规则进行判断，则把“吸烟与患肺癌没有关系”错判断成“吸烟与患肺癌有关系”的概率不超过0.01。规则：若K2≥6.635，就断定“吸烟与患肺癌有关”关于探究吸烟与患肺癌关系的教学建议函数模型与“回归模型”的关系函数模型：回归模型：样本点在函数曲线上样本点不在回归函数曲线上函数模型与“回归模型”的关系函数模型：因变量y完全由自变量x确定回归模型：

预报变量y完全由解释变量x和随机误差e确定随机误差e

散点图与模型的选择案例2：红铃虫的产卵数与温度这些散点更像是集中在一条指数曲线或二次曲线的附近。散点图帮助确定可供选择模型的范围，模型的比较则基于残差分析

残差变量与模型选择

残差图的制作及作用在残差图中寻找异常点

可能由错误数据引起残差图的趋势性分析趋势性的残差图说明模型有改进的余地残差图帮助确定异常点，以及模型的改进方向。残差图的制作及作用。坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择。横轴为编号，可以考察残差与编号次序之间的关系，常用于调查数据错误。横轴为解释变量，可以考察残差与解释变量的关系，常用于研究模型是否有改进的余地。若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域。在残差图中寻找异常点可能由错误数据引起的异常点异常点异常点身高与体重残差图残差图具有趋势性，模型有改进的余地，模型中应该添加二次项

残差图的趋势性分析残差变量的来源：其它因素的影响。如影响体重y的因素不只是身高x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素。选用的回归模型近似真实模型所引起的误差。预报变量的观测误差。身高y的测量有误差。

R2是度量模型拟合效果的一种指标。在线性模型中，它代表自变量刻画预报变量的能力。R2越大(0<R2<1)，模型拟合效果越好。

正确理解R2的含义总偏差平方和：预报变量的变化程度回归平方和：解释变量引起的变化程度残差平方和：残差变量的变化程度预报变量的变化中能由解释变量引起的比例

在线性模型中，它代表解释变量刻画预报变量的能力。不需要学生掌握平方和分解公式

注意提炼案例所蕴含的统计思想如在例1结尾提到“用身高预报体重时，需要注意下列问题：……”，这些论述适用于所有的回归模型。

模型适用的总体；模型的时间性；

样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确理解。

注意提炼案例所蕴含的统计思想又如教科书上所列“建立回归模型的基本步骤”，不仅适用