工程数学1省公开课一等奖全国示范课微课金奖课件

工程数学复变函数与积分变换1第1页主要意义数学理论处理实际问题信号与系统（复变函数）数字信号处理（积分变换）电磁场理论（数理方程）培养推理、归纳、演绎和创新能力2第2页复变函数与积分变换主要内容复变函数内容与高等数学相对应复数、复函数、复导数、复积分、级数新添内容留数和保形映射积分变换高等数学内容傅立叶变换新添内容离散傅立叶变换、离散沃而什变换、梅林变换、z变换3第3页主要要求按时完成作业学习态度认真深入领会数学理论掌握并能利用数学理论和方法处理实际问题成绩平时30％－40％期末考试60％－70％4第4页复变函数5第5页复变函数发展史十六世纪引入十七和十八世纪，复变函数得到了发展J.达朗贝尔（1717－1783）和L.欧拉（1707－1783）逐步说明了复数几何意义和物理意义，澄清了复数概念，并应用复数和复变函数研究流体力学十九世纪，奠定了复变函数理论基础A.L.柯西（1789－1857）和K.外尔斯特拉斯（1815－1897）应用积分和级数来研究复变函数G.F.B.黎曼（1826－1866）研究了复变函数映照性质二十世纪，复变函数称为数学主要分支应用领域不停扩展电学、热学、理论物理、空气动力学、流体力学数学其它分支（如微分方程、积分方程、概率论和数论等等）6第6页主要内容第一章、复数与复变函数第二章、解析函数第三章、复变函数积分第四章、级数第五章、留数7第7页第一章、复数与复变函数8第8页主要内容1.1复数概念与运算1.2复变函数9第9页1.1复数概念与运算主要内容：1、复数及其代数运算2、复数几何表示3、复数四则运算几何意义4、复球面5、复数乘幂与方根10第10页1、复数及其代数运算什么是复数？称为复数实部虚部虚数单位x=Re(z)y=Im(z)称为纯虚数称为实数11第11页1、复数及其代数运算两个复数相等条件；当且仅当实部与虚部分别相等一个复数等于零条件：当且仅当实部与虚部同时等于零共轭复数：x+iy和x–iy记做12第12页代数运算复数和、差、积、商对复数和：和、差：乘法：除法：13第13页代数运算算律：交换律：结合律：分配律：14第14页2、复数代数运算复数惯用运算（1）（2）（3）若，则与最少有一个为零证实：若（4）15第15页代数运算举例：例1：例2：求证：16第16页代数运算共轭复数运算性质：（1）（2）（3）（4）17第17页2、复数几何表示实数（x,y）与x轴和y轴组成二维实数平面一一对应那么复数呢？复数由一对有序实数（x，y）唯一确定x轴上点对应实数，所以x轴被称为实轴y轴上点对应虚数，所以y轴被称为虚轴

表示复数z平面被称为复平面或z平面复数z=x+iy能够用横坐标为x，纵坐标为y点来表示复数第一个表示方法18第18页2、复数几何表示复数z与从原点O到z=x+iy所引向量组成一一对应关系复数z=x+iy能够用向量来表示复数第二种表示方法Oxyz＝x+iyargz|z||z|：向量z长度，称为复数z模Argz：由实轴正向到向量之间夹角，称为复数z幅角19第19页复数模复数模|z|性质：（1）（2）（3）（4）（5）（6）Oxy|z1+z2||z1-z2|z1z220第20页复数模求证所以：21第21页复数模求证当时：有：当时，同理有：所以：22第22页复数幅角Argz有没有穷多个值，每两个值相差2整数倍只有一个值在（，]范围内，该值被称为主值，记做argzArgz＝argz＋2k（）tan(Argz)=当z＝0时，z模值为0，幅角不定23第23页复数幅角例5：求Arg（2－2i）和Arg（－3＋4i）24第24页3、复数四则运算几何意义依据直角坐标系和极坐标系关系可得复数z三角表示式：依据欧拉公式：可得复数z指数表示式：25第25页3、复数四则运算几何意义定理1－1：两个复数乘积模等于它们模乘积； 两个复数乘积幅角等于它们幅角和即：例7：z1=-1,z2=i,求Arg（z1z2）＝？表示集合相等，即对等式左端任一值，等式右端必有一值与之对应，反之亦然对两个非零复数：Oxy|z1+z2|z1z226第26页3、复数四则运算几何意义定理1－2：两个复数商模等于它们模商； 两个复数商幅角等于它们被除数与除数幅角差即：对两个非零复数：用指数表示式计算复数乘积与商，可得：27第27页3、复数四则运算几何意义例8：z1=1+i,z2＝－1－i,求z1z2，z1/z228第28页3、复数四则运算几何意义因为所以：当增加或降低时，z点沿圆周移动一圈回到出发点，所以，二者表示同一个复数OxyOxyzz029第29页O4、复球面（1）复数球面表示NzPZ：复平面上任意一点N：球面与垂直于复平面射线交点P：z和N连线与球面交点（异于N）或者说，过N和球面上异于N任意一点P直线，与复平面交与一点z所以，球面上点P与复平面上点z一一对应，即 复数能够用球面上点表示30第30页4、复球面（2）扩充复平面当P点无限迫近于N点时复平面上没有复数与之对应z点无限远离原点：该点就被称为“无穷远点”包含了无穷远点在内平面称为扩充复平面为了使扩充复平面点与球面上点一一对应，要求“无穷远点”是唯一无特殊情况，只考虑有限复数及复平面31第31页4、复球面（3）复数不等于0有限复数与运算为：那么关于，，以及运算呢？无意义！32第32页5.复数乘幂与方根主要内容：复数乘幂复数方根33第33页（1）复数乘幂n为正整数n为正整数约定，所以n为负整数定义，所以：数学归纳法34第34页（1）复数乘幂

当r=1时，则上述公式变为：即：棣莫弗（DeMoivre)公式35第35页2、复数方根称满足方程复数为该方程n次方根 记做，即，或是记做，此时求解该方程：设，则：36第36页2、复数方根所以，复数方根为：复数方根几何意义当时能够得到n