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文档简介

海南省临高县波莲中学2025届高三下学期周考数学试题(创新)试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图所示,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图,则该几何体的体积为A.72 B.64 C.48 D.322.已知集合A={y|y},B={x|y=lg(x﹣2x2)},则∁R(A∩B)=()A.[0,) B.(﹣∞,0)∪[,+∞)C.(0,) D.(﹣∞,0]∪[,+∞)3.已知集合,,则A. B.C. D.4.设F为双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为A. B.C.2 D.5.设平面与平面相交于直线,直线在平面内,直线在平面内,且则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.即不充分不必要条件6.双曲线的左右焦点为,一条渐近线方程为,过点且与垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,满足,则该双曲线的离心率为()A. B.3 C. D.27.设不等式组表示的平面区域为,若从圆:的内部随机选取一点,则取自的概率为()A. B. C. D.8.若函数f(x)=x3+x2-在区间(a,a+5)上存在最小值,则实数a的取值范围是A.[-5,0) B.(-5,0) C.[-3,0) D.(-3,0)9.已知函数在上有两个零点,则的取值范围是()A. B. C. D.10.已知是圆心为坐标原点,半径为1的圆上的任意一点,将射线绕点逆时针旋转到交圆于点,则的最大值为()A.3 B.2 C. D.11.已知数列满足,且成等比数列.若的前n项和为,则的最小值为()A. B. C. D.12.已知非零向量满足,若夹角的余弦值为,且,则实数的值为()A. B. C.或 D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在中,内角所对的边分别是.若,,则__,面积的最大值为___.14.已知为矩形的对角线的交点,现从这5个点中任选3个点,则这3个点不共线的概率为________.15.的展开式中二项式系数最大的项的系数为_________(用数字作答).16.在△ABC中,()⊥(>1),若角A的最大值为,则实数的值是_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)若不等式对恒成立,求实数的取值范围.18.(12分)如图,设A是由个实数组成的n行n列的数表,其中aij(i,j=1,2,3,…,n)表示位于第i行第j列的实数,且aij{1,-1}.记S(n,n)为所有这样的数表构成的集合.对于,记ri(A)为A的第i行各数之积,cj(A)为A的第j列各数之积.令a11a12…a1na21a22a2n…………an1an2…ann(Ⅰ)请写出一个AS(4,4),使得l(A)=0;(Ⅱ)是否存在AS(9,9),使得l(A)=0?说明理由;(Ⅲ)给定正整数n,对于所有的AS(n,n),求l(A)的取值集合.19.(12分)已知动圆E与圆外切,并与直线相切,记动圆圆心E的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程;(2)过点的直线l交曲线C于A,B两点,若曲线C上存在点P使得,求直线l的斜率k的取值范围.20.(12分)已知多面体中,、均垂直于平面,,,,是的中点.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值.21.(12分)已知函数,为的导数,函数在处取得最小值.(1)求证:;(2)若时,恒成立,求的取值范围.22.(10分)如图,四棱锥中,底面ABCD为菱形,平面ABCD,BD交AC于点E,F是线段PC中点,G为线段EC中点.Ⅰ求证:平面PBD;Ⅱ求证:.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】

由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形,高为5的正四棱柱,挖去一个底面边长为4,高为3的正四棱锥,利用体积公式,即可求解。【详解】由题意,几何体的三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形,高为5的正四棱柱,挖去一个底面边长为4,高为3的正四棱锥,所以几何体的体积为,故选B。【点睛】本题考查了几何体的三视图及体积的计算,在由三视图还原为空间几何体的实际形状时,要根据三视图的规则,空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线,不可见轮廓线在三视图中为虚线。求解以三视图为载体的空间几何体的表面积与体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系,利用相应公式求解。2.D【解析】

求函数的值域得集合,求定义域得集合,根据交集和补集的定义写出运算结果.【详解】集合A={y|y}={y|y≥0}=[0,+∞);B={x|y=lg(x﹣2x2)}={x|x﹣2x2>0}={x|0<x}=(0,),∴A∩B=(0,),∴∁R(A∩B)=(﹣∞,0]∪[,+∞).故选:D.【点睛】该题考查的是有关集合的问题,涉及到的知识点有函数的定义域,函数的值域,集合的运算,属于基础题目.3.D【解析】

因为,,所以,,故选D.4.A【解析】

准确画图,由图形对称性得出P点坐标,代入圆的方程得到c与a关系,可求双曲线的离心率.【详解】设与轴交于点,由对称性可知轴,又,为以为直径的圆的半径,为圆心.,又点在圆上,,即.,故选A.【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解,难度适中,审题时注意半径还是直径,优先考虑几何法,避免代数法从头至尾,运算繁琐,准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题,需强化练习,才能在解决此类问题时事半功倍,信手拈来.5.A【解析】

试题分析:α⊥β,b⊥m又直线a在平面α内,所以a⊥b,但直线不一定相交,所以“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件,故选A.考点:充分条件、必要条件.6.A【解析】

设,直线的方程为,联立方程得到,,根据向量关系化简到,得到离心率.【详解】设,直线的方程为.联立整理得,则.因为,所以为线段的中点,所以,,整理得,故该双曲线的离心率.故选:.【点睛】本题考查了双曲线的离心率,意在考查学生的计算能力和转化能力.7.B【解析】

画出不等式组表示的可行域,求得阴影部分扇形对应的圆心角,根据几何概型概率计算公式,计算出所求概率.【详解】作出中在圆内部的区域,如图所示,因为直线,的倾斜角分别为,,所以由图可得取自的概率为.故选:B【点睛】本小题主要考查几何概型的计算,考查线性可行域的画法,属于基础题.8.C【解析】

求函数导数,分析函数单调性得到函数的简图,得到a满足的不等式组,从而得解.【详解】由题意,f′(x)=x2+2x=x(x+2),故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上是增函数,在(-2,0)上是减函数,作出其图象如图所示.令x3+x2-=-,得x=0或x=-3,则结合图象可知,解得a∈[-3,0),故选C.【点睛】本题主要考查了利用函数导数研究函数的单调性,进而研究函数的最值,属于常考题型.9.C【解析】

对函数求导,对a分类讨论,分别求得函数的单调性及极值,结合端点处的函数值进行判断求解.【详解】∵,.当时,,在上单调递增,不合题意.当时,,在上单调递减,也不合题意.当时,则时,,在上单调递减,时,,在上单调递增,又,所以在上有两个零点,只需即可,解得.综上,的取值范围是.故选C.【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点的问题,考查了函数的单调性及极值问题,属于中档题.10.C【解析】

设射线OA与x轴正向所成的角为,由三角函数的定义得,,,利用辅助角公式计算即可.【详解】设射线OA与x轴正向所成的角为,由已知,,,所以,当时,取得等号.故选:C.【点睛】本题考查正弦型函数的最值问题,涉及到三角函数的定义、辅助角公式等知识,是一道容易题.11.D【解析】

利用等比中项性质可得等差数列的首项,进而求得,再利用二次函数的性质,可得当或时,取到最小值.【详解】根据题意,可知为等差数列,公差,由成等比数列,可得,∴,解得.∴.根据单调性,可知当或时,取到最小值,最小值为.故选:D.【点睛】本题考查等差数列通项公式、等比中项性质、等差数列前项和的最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意当或时同时取到最值.12.D【解析】

根据向量垂直则数量积为零,结合以及夹角的余弦值,即可求得参数值.【详解】依题意,得,即.将代入可得,,解得(舍去).故选:D.【点睛】本题考查向量数量积的应用,涉及由向量垂直求参数值,属基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.1【解析】

由正弦定理,结合,,可求出;由三角形面积公式以及角A的范围,即可求出面积的最大值.【详解】因为,所以由正弦定理可得,所以;所以,当,即时,三角形面积最大.故答案为(1).1(2).【点睛】本题主要考查解三角形的问题,熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解,属于基础题型.14.【解析】

基本事件总数,这3个点共线的情况有两种和,由此能求出这3个点不共线的概率.【详解】解:为矩形的对角线的交点,现从,,,,这5个点中任选3个点,基本事件总数,这3个点共线的情况有两种和,这3个点不共线的概率为.故答案为:.【点睛】本题考查概率的求法,考查对立事件概率计算公式等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.15.5670【解析】

根据二项式展开的通项,可得二项式系数的最大项,可求得其系数.【详解】二项展开式一共有项,所以由二项式系数的性质可知二项式系数最大的项为第5项,系数为.故答案为:5670【点睛】本题考查了二项式定理展开式的应用,由通项公式求二项式系数,属于中档题.16.1【解析】

把向量进行转化,用表示,利用基本不等式可求实数的值.【详解】,解得=1.故答案为:1.【点睛】本题主要考查平面向量的数量积应用,综合了基本不等式,侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)【解析】

(1)按绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后解不等式;(2)不等式转化为,求出在上的最小值即可,利用绝对值定义分类讨论去绝对值符号后可求得函数最小值.【详解】解:(1)或或解得或或无解综上不等式的解集为.(2)时,,即所以只需在时恒成立即可令,由解析式得在上是增函数,∴当时,即【点睛】本题考查解绝对值不等式,考查不等式恒成立问题,解决绝对值不等式的问题,分类讨论是常用方法.掌握分类讨论思想是解题关键.18.(Ⅰ)答案见解析;(Ⅱ)不存在,理由见解析;(Ⅲ)【解析】

(Ⅰ)可取第一行都为-1,其余的都取1,即满足题意;(Ⅱ)用反证法证明:假设存在,得出矛盾,从而证明结论;(Ⅲ)通过分析正确得出l(A)的表达式,以及从A0如何得到A1,A2……,以此类推可得到Ak.【详解】(Ⅰ)答案不唯一,如图所示数表符合要求.(Ⅱ)不存在AS(9,9),使得l(A)=0,证明如下:假如存在,使得.因为,,所以,,...,,,,...,这18个数中有9个1,9个-1.令.一方面,由于这18个数中有9个1,9个-1,从而①,另一方面,表示数表中所有元素之积(记这81个实数之积为m);也表示m,从而②,①,②相矛盾,从而不存在,使得.(Ⅲ)记这个实数之积为p.一方面,从“行”的角度看,有;另一方面,从“列”的角度看,有;从而有③,注意到,,下面考虑,,...,,,,...,中-1的个数,由③知,上述2n个实数中,-1的个数一定为偶数,该偶数记为,则1的个数为2n-2k,所以,对数表,显然.将数表中的由1变为-1,得到数表,显然,将数表中的由1变为-1,得到数表,显然,依此类推,将数表中的由1变为-1,得到数表,即数表满足:,其余,所以,,所以,由k的任意性知,l(A)的取值集合为.【点睛】本题为数列的创新应用题,考查数学分析与思考能力及推理求解能力,解题关键是读懂题意,根据引入的概念与性质进行推理求解,属于较难题.19.(1);(2).【解析】

(1)根据抛物线的定义,结合已知条件,即可容易求得结果;(2)设出直线的方程,联立抛物线方程,根据直线与抛物线相交则,结合由得到的斜率关系,即可求得斜率的范围.【详解】(1)因为动圆与圆外切,并与直线相切,所以点到点的距离比点到直线的距离大.因为圆的半径为,所以点到点的距离等于点到直线的距离,所以圆心的轨迹为抛物线,且焦点坐标为.所以曲线的方程.(2)设,,由得,由得且.,,同理由,得,即,所以,由,得且,又且,所以的取值范围为.【点睛】本题考查由抛物线定义求抛物线方程,涉及直线与抛物线相交结合垂直关系求斜率的范围,属综合中档题.20.(1)见解析;(2).【解析】

(1)取的中点,连接、,推导出四边形为平行四边形,可得出,由此能证明平面;(2)由,得平面,则点到平面的距离等于点到平面的距离,在平面内过点作于点,就是到平面的距离,也就是点到平面的距离,由此能求出直线与平面所成角的正弦值.【详解】(1)取的中点,连接、,、分别为、的中点,则且,、均垂直于平面,且,则,且,所以,四边形为平行四边形,则,平面,平面,因此,平面;(2)由,平面,平面,平面,点到平面的距离等于点到平面的距离,在平面内过点作于点,平面,平面,,,,平面,即就是到平面的距离,也就是点到平面的距离,设,则到平面的距离,,因此,直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明,考查线面角的正弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.21.(1)见解析;(2).【解析】

(1)对求导,令,求导研究单调性,分析可得存在使得,即,即得证;(2)分,两

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