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文档简介
四川省射洪中学2025年高三起点调研考试数学试题试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某几何体的三视图如图所示,则该几何体中的最长棱长为()A. B. C. D.2.已知函数,存在实数,使得,则的最大值为()A. B. C. D.3.赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的).类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形(阴影部分)的概率是()A. B. C. D.4.已知,,则的大小关系为()A. B. C. D.5.已知实数,则的大小关系是()A. B. C. D.6.已知定义在上的函数的周期为4,当时,,则()A. B. C. D.7.已知集合,则=A. B. C. D.8.如图,内接于圆,是圆的直径,,则三棱锥体积的最大值为()A. B. C. D.9.函数的单调递增区间是()A. B. C. D.10.若的展开式中的系数为-45,则实数的值为()A. B.2 C. D.11.以下关于的命题,正确的是A.函数在区间上单调递增B.直线需是函数图象的一条对称轴C.点是函数图象的一个对称中心D.将函数图象向左平移需个单位,可得到的图象12.已知函数,若曲线上始终存在两点,,使得,且的中点在轴上,则正实数的取值范围为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图所示,点,B均在抛物线上,等腰直角的斜边为BC,点C在x轴的正半轴上,则点B的坐标是________.14.已知抛物线的对称轴与准线的交点为,直线与交于,两点,若,则实数__________.15.请列举用0,1,2,3这4个数字所组成的无重复数字且比210大的所有三位奇数:___________.16.已知,(,),则=_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知矩阵不存在逆矩阵,且非零特低值对应的一个特征向量,求的值.18.(12分)设函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)当时,求实数的取值范围.19.(12分)金秋九月,丹桂飘香,某高校迎来了一大批优秀的学生.新生接待其实也是和社会沟通的一个平台.校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生,对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查,统计数据如下:愿意不愿意男生6020女士4040(1)根据上表说明,能否有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关;(2)现从参与问卷调查且愿意参加新生接待工作的学生中,采用按性别分层抽样的方法,选取10人.若从这10人中随机选取3人到火车站迎接新生,设选取的3人中女生人数为,写出的分布列,并求.附:,其中.0.050.010.0013.8416.63510.82820.(12分)在中,内角的对边分别是,满足条件.(1)求角;(2)若边上的高为,求的长.21.(12分)已知函数,,设.(1)当时,求函数的单调区间;(2)设方程(其中为常数)的两根分别为,,证明:.(注:是的导函数)22.(10分)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点的极坐标为.(1)求的直角坐标方程和的直角坐标;(2)设与交于,两点,线段的中点为,求.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
根据三视图,可得该几何体是一个三棱锥,并且平面SAC平面ABC,,过S作,连接BD,,再求得其它的棱长比较下结论.【详解】如图所示:由三视图得:该几何体是一个三棱锥,且平面SAC平面ABC,,过S作,连接BD,则,所以,,,,该几何体中的最长棱长为.故选:C【点睛】本题主要考查三视图还原几何体,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.2、A【解析】
画出分段函数图像,可得,由于,构造函数,利用导数研究单调性,分析最值,即得解.【详解】由于,,由于,令,,在↗,↘故.故选:A【点睛】本题考查了导数在函数性质探究中的应用,考查了学生数形结合,转化划归,综合分析,数学运算的能力,属于较难题.3、A【解析】
根据几何概率计算公式,求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可.【详解】在中,,,,由余弦定理,得,所以.所以所求概率为.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题,是基础题.4、D【解析】
由指数函数的图像与性质易得最小,利用作差法,结合对数换底公式及基本不等式的性质即可比较和的大小关系,进而得解.【详解】根据指数函数的图像与性质可知,由对数函数的图像与性质可知,,所以最小;而由对数换底公式化简可得由基本不等式可知,代入上式可得所以,综上可知,故选:D.【点睛】本题考查了指数式与对数式的化简变形,对数换底公式及基本不等式的简单应用,作差法比较大小,属于中档题.5、B【解析】
根据,利用指数函数对数函数的单调性即可得出.【详解】解:∵,∴,,.∴.故选:B.【点睛】本题考查了指数函数对数函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.6、A【解析】
因为给出的解析式只适用于,所以利用周期性,将转化为,再与一起代入解析式,利用对数恒等式和对数的运算性质,即可求得结果.【详解】定义在上的函数的周期为4,当时,,,,.故选:A.【点睛】本题考查了利用函数的周期性求函数值,对数的运算性质,属于中档题.7、C【解析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法,渗透了数学运算素养.采取数轴法,利用数形结合的思想解题.【详解】由题意得,,则.故选C.【点睛】不能领会交集的含义易致误,区分交集与并集的不同,交集取公共部分,并集包括二者部分.8、B【解析】
根据已知证明平面,只要设,则,从而可得体积,利用基本不等式可得最大值.【详解】因为,所以四边形为平行四边形.又因为平面,平面,所以平面,所以平面.在直角三角形中,,设,则,所以,所以.又因为,当且仅当,即时等号成立,所以.故选:B.【点睛】本题考查求棱锥体积的最大值.解题方法是:首先证明线面垂直同,得棱锥的高,然后设出底面三角形一边长为,用建立体积与边长的函数关系,由基本不等式得最值,或由函数的性质得最值.9、D【解析】
利用辅助角公式,化简函数的解析式,再根据正弦函数的单调性,并采用整体法,可得结果.【详解】因为,由,解得,即函数的增区间为,所以当时,增区间的一个子集为.故选D.【点睛】本题考查了辅助角公式,考查正弦型函数的单调递增区间,重点在于把握正弦函数的单调性,同时对于整体法的应用,使问题化繁为简,难度较易.10、D【解析】
将多项式的乘法式展开,结合二项式定理展开式通项,即可求得的值.【详解】∵所以展开式中的系数为,∴解得.故选:D.【点睛】本题考查了二项式定理展开式通项的简单应用,指定项系数的求法,属于基础题.11、D【解析】
利用辅助角公式化简函数得到,再逐项判断正误得到答案.【详解】A选项,函数先增后减,错误B选项,不是函数对称轴,错误C选项,,不是对称中心,错误D选项,图象向左平移需个单位得到,正确故答案选D【点睛】本题考查了三角函数的单调性,对称轴,对称中心,平移,意在考查学生对于三角函数性质的综合应用,其中化简三角函数是解题的关键.12、D【解析】
根据中点在轴上,设出两点的坐标,,().对分成三类,利用则,列方程,化简后求得,利用导数求得的值域,由此求得的取值范围.【详解】根据条件可知,两点的横坐标互为相反数,不妨设,,(),若,则,由,所以,即,方程无解;若,显然不满足;若,则,由,即,即,因为,所以函数在上递减,在上递增,故在处取得极小值也即是最小值,所以函数在上的值域为,故.故选D.【点睛】本小题主要考查平面平面向量数量积为零的坐标表示,考查化归与转化的数学思想方法,考查利用导数研究函数的最小值,考查分析与运算能力,属于较难的题目.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
设出两点的坐标,结合抛物线方程、两条直线垂直的条件以及两点间的距离公式列方程,解方程求得的坐标.【详解】设,由于在抛物线上,所以.由于三角形是等腰直角三角形,,所以.由得,化为,可得,所以,解得,则.所以.故答案为:【点睛】本题考查抛物线的方程和运用,考查方程思想和运算能力,属于中档题.14、【解析】
由于直线过抛物线的焦点,因此过,分别作的准线的垂线,垂足分别为,,由抛物线的定义及平行线性质可得,从而再由抛物线定义可求得直线倾斜角的余弦,再求得正切即为直线斜率.注意对称性,问题应该有两解.【详解】直线过抛物线的焦点,,过,分别作的准线的垂线,垂足分别为,,由抛物线的定义知,.因为,所以.因为,所以,从而.设直线的倾斜角为,不妨设,如图,则,,同理,则,解得,,由对称性还有满足题意.,综上,.【点睛】本题考查抛物线的性质,考查抛物线的焦点弦问题,掌握抛物线的定义,把抛物线上点到焦点距离与它到距离联系起来是解题关键.15、231,321,301,1【解析】
分个位数字是1、3两种情况讨论,即得解【详解】0,1,2,3这4个数字所组成的无重复数字比210大的所有三位奇数有:(1)当个位数字是1时,数字可以是231,321,301;(2)当个位数字是3时数字可以是1.故答案为:231,321,301,1【点睛】本题考查了分类计数法的应用,考查了学生分类讨论,数学运算的能力,属于基础题.16、【解析】
先利用倍角公式及差角公式把已知条件化简可得,平方可得.【详解】∵,∴,则,平方可得.故答案为:.【点睛】本题主要考查三角恒等变换,倍角公式的合理选择是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】
由不存在逆矩阵,可得,再利用特征多项式求出特征值3,0,,利用矩阵乘法运算即可.【详解】因为不存在逆矩阵,,所以.矩阵的特征多项式为,令,则或,所以,即,所以,所以【点睛】本题考查矩阵的乘法及特征值、特征向量有关的问题,考查学生的运算能力,是一道容易题.18、(1)(2)当时,的取值范围为;当时,的取值范围为.【解析】
(1)当时,分类讨论把不等式化为等价不等式组,即可求解.(2)由绝对值的三角不等式,可得,当且仅当时,取“”,分类讨论,即可求解.【详解】(1)当时,,不等式可化为或或,解得不等式的解集为.(2)由绝对值的三角不等式,可得,当且仅当时,取“”,所以当时,的取值范围为;当时,的取值范围为.【点睛】本题主要考查了含绝对值的不等式的求解,以及绝对值三角不等式的应用,其中解答中熟记含绝对值不等式的解法,以及合理应用绝对值的三角不等式是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.19、(1)有99%把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关;(2)详见解析.【解析】
(1)计算得到,由此可得结论;(2)根据分层抽样原则可得男生和女生人数,由超几何分布概率公式可求得的所有可能取值所对应的概率,由此得到分布列;根据数学期望计算公式计算可得期望.【详解】(1)∵的观测值,有的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关.(2)根据分层抽样方法得:男生有人,女生有人,选取的人中,男生有人,女生有人.则的可能取值有,,,,,的分布列为:.【点睛】本题考查独立性检验、分层抽样、超几何分布的分布列和数学期望的求解;关键是能够明确随机变量服从于超几何分布,进而利用超几何分布概率公式求得随机变量每个取值所对应的概率.20、(1).(2)【解析】
(1)利用正弦定理的边角互化可得,再根据,利用两角和的正弦公式即可求解.(2)已知,由知,在中,解出即可.【详解】(1)由正弦定理知由己知,而∴,(2)已知,则由知先求∴∴∴【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形、三角形的性质、两角和的正弦公式,需熟记定理与公式,属于基础题.21、(1)在上单调递增,在上单调递减.(2)见解析【解析】
(1)求出导函数,由确定增区间,由确定减区间;(2)求出含有参数的,再求出,由的两根是,得,计算,代入后可得结论.【详解】解:,函数的定义域为,.(1)当时,,由得,由得,故函数在上单调递增,在上单调递减.(2)证明:由条件可得,,,方程的两根分别为,,,且,可得..【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性,考查导数的运算、方程根的知识.在可导函数中一般由确定增区间,由确定减区间.22、(1),(2)【解析】
(1)利用互化公式把曲线C化成直角坐标方程,把点P的极坐标化成直角坐标;(2)把直线l的参数方程的标准形式代入曲线C的直角坐标方程,根
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