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文档简介

2025届河北省邯郸市永年区第二中学高三第三次模拟考试(5月)数学试题试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知各项都为正的等差数列中,,若,,成等比数列,则()A. B. C. D.2.已知抛物线的焦点为,准线与轴的交点为,点为抛物线上任意一点的平分线与轴交于,则的最大值为A. B. C. D.3.已知函数的图象与直线的相邻交点间的距离为,若定义,则函数,在区间内的图象是()A. B.C. D.4.已知P是双曲线渐近线上一点,,是双曲线的左、右焦点,,记,PO,的斜率为,k,,若,-2k,成等差数列,则此双曲线的离心率为()A. B. C. D.5.若样本的平均数是10,方差为2,则对于样本,下列结论正确的是()A.平均数为20,方差为4 B.平均数为11,方差为4C.平均数为21,方差为8 D.平均数为20,方差为86.在中,角的对边分别为,,若,,且,则的面积为()A. B. C. D.7.给出以下四个命题:①依次首尾相接的四条线段必共面;②过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面;③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角必相等;④垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是()A.0 B.1 C.2 D.38.已知复数z=(1+2i)(1+ai)(a∈R),若z∈R,则实数a=()A. B. C.2 D.﹣29.中,角的对边分别为,若,,,则的面积为()A. B. C. D.10.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题用今天的白话叙述为:有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?根据上述问题的已知条件,若该女子共织布尺,则这位女子织布的天数是()A.2 B.3 C.4 D.111.已知,,,则()A. B. C. D.12.党的十九大报告明确提出:在共享经济等领域培育增长点、形成新动能.共享经济是公众将闲置资源通过社会化平台与他人共享,进而获得收入的经济现象.为考察共享经济对企业经济活跃度的影响,在四个不同的企业各取两个部门进行共享经济对比试验,根据四个企业得到的试验数据画出如下四个等高条形图,最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果的图形是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知实数,满足约束条件,则的最大值是__________.14.从编号为,,,的张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为_____________.15.已知为椭圆上的一个动点,,,设直线和分别与直线交于,两点,若与的面积相等,则线段的长为______.16.已知F为抛物线C:x2=8y的焦点,P为C上一点,M(﹣4,3),则△PMF周长的最小值是_____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知,.(1)解;(2)若,证明:.18.(12分)在直角坐标系中,椭圆的左、右焦点分别为,点在椭圆上且轴,直线交轴于点,,椭圆的离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)过的直线交椭圆于两点,且满足,求的面积.19.(12分)已知函数.(1)证明:当时,;(2)若函数只有一个零点,求正实数的值.20.(12分)已知函数.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)若,且,求的值.21.(12分)设函数.(1)当时,解不等式;(2)设,且当时,不等式有解,求实数的取值范围.22.(10分)已知a>0,b>0,a+b=2.(Ⅰ)求的最小值;(Ⅱ)证明:

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】试题分析:设公差为或(舍),故选A.考点:等差数列及其性质.2.A【解析】

求出抛物线的焦点坐标,利用抛物线的定义,转化求出比值,,求出等式左边式子的范围,将等式右边代入,从而求解.【详解】解:由题意可得,焦点F(1,0),准线方程为x=−1,

过点P作PM垂直于准线,M为垂足,

由抛物线的定义可得|PF|=|PM|=x+1,

记∠KPF的平分线与轴交于

根据角平分线定理可得,,当时,,当时,,,综上:.故选:A.【点睛】本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用,直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键.考查学生的计算能力,属于中档题.3.A【解析】

由题知,利用求出,再根据题给定义,化简求出的解析式,结合正弦函数和正切函数图象判断,即可得出答案.【详解】根据题意,的图象与直线的相邻交点间的距离为,所以的周期为,则,所以,由正弦函数和正切函数图象可知正确.故选:A.【点睛】本题考查三角函数中正切函数的周期和图象,以及正弦函数的图象,解题关键是对新定义的理解.4.B【解析】

求得双曲线的一条渐近线方程,设出的坐标,由题意求得,运用直线的斜率公式可得,,,再由等差数列中项性质和离心率公式,计算可得所求值.【详解】设双曲线的一条渐近线方程为,且,由,可得以为圆心,为半径的圆与渐近线交于,可得,可取,则,设,,则,,,由,,成等差数列,可得,化为,即,可得,故选:.【点睛】本题考查双曲线的方程和性质,主要是渐近线方程和离心率,考查方程思想和运算能力,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.D【解析】

由两组数据间的关系,可判断二者平均数的关系,方差的关系,进而可得到答案.【详解】样本的平均数是10,方差为2,所以样本的平均数为,方差为.故选:D.【点睛】样本的平均数是,方差为,则的平均数为,方差为.6.C【解析】

由,可得,化简利用余弦定理可得,解得.即可得出三角形面积.【详解】解:,,且,,化为:.,解得..故选:.【点睛】本题考查了向量共线定理、余弦定理、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.7.B【解析】

用空间四边形对①进行判断;根据公理2对②进行判断;根据空间角的定义对③进行判断;根据空间直线位置关系对④进行判断.【详解】①中,空间四边形的四条线段不共面,故①错误.②中,由公理2知道,过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面,故②正确.③中,由空间角的定义知道,空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故③错误.④中,空间中,垂直于同一直线的两条直线可相交,可平行,可异面,故④错误.故选:B【点睛】本小题考查空间点,线,面的位置关系及其相关公理,定理及其推论的理解和认识;考查空间想象能力,推理论证能力,考查数形结合思想,化归与转化思想.8.D【解析】

化简z=(1+2i)(1+ai)=,再根据z∈R求解.【详解】因为z=(1+2i)(1+ai)=,又因为z∈R,所以,解得a=-2.故选:D【点睛】本题主要考查复数的运算及概念,还考查了运算求解的能力,属于基础题.9.A【解析】

先求出,由正弦定理求得,然后由面积公式计算.【详解】由题意,.由得,.故选:A.【点睛】本题考查求三角形面积,考查正弦定理,同角间的三角函数关系,两角和的正弦公式与诱导公式,解题时要根据已知求值要求确定解题思路,确定选用公式顺序,以便正确快速求解.10.B【解析】

将问题转化为等比数列问题,最终变为求解等比数列基本量的问题.【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题,在等比数列中,公比,前项和为,,,求的值.因为,解得,,解得.故选B.【点睛】本题考查等比数列的实际应用,难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算,对于解决实际问题很有帮助.11.B【解析】

利用指数函数和对数函数的单调性,将数据和做对比,即可判断.【详解】由于,,故.故选:B.【点睛】本题考查利用指数函数和对数函数的单调性比较大小,属基础题.12.D【解析】根据四个列联表中的等高条形图可知,图中D中共享与不共享的企业经济活跃度的差异最大,它最能体现共享经济对该部门的发展有显著效果,故选D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】

令,所求问题的最大值为,只需求出即可,作出可行域,利用几何意义即可解决.【详解】作出可行域,如图令,则,显然当直线经过时,最大,且,故的最大值为.故答案为:.【点睛】本题考查线性规划中非线性目标函数的最值问题,要做好此类题,前提是正确画出可行域,本题是一道基础题.14.【解析】

基本事件总数,第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个,由此能求出概率.【详解】解:从编号为,,,的张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,基本事件总数,第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字的基本事件有8个,分别为:,,,,,,,.所以第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为.故答案为.【点睛】本题考查概率的求法,考查古典概型、列举法等基础知识,属于基础题.15.【解析】

先设点坐标,由三角形面积相等得出两个三角形的边之间的比例关系,这个比例关系又可用线段上点的坐标表示出来,从而可求得点的横坐标,代入椭圆方程得纵坐标,然后可得.【详解】如图,设,,,由,得,由得,∴,解得,又在椭圆上,∴,,∴.故答案为:.【点睛】本题考查直线与椭圆相交问题,解题时由三角形面积相等得出线段长的比例关系,解题是由把线段长的比例关系用点的横坐标表示.16.5【解析】

△PMF的周长最小,即求最小,过做抛物线准线的垂线,垂足为,转化为求最小,数形结合即可求解.【详解】如图,F为抛物线C:x2=8y的焦点,P为C上一点,M(﹣4,3),抛物线C:x2=8y的焦点为F(0,2),准线方程为y=﹣2.过作准线的垂线,垂足为,则有,当且仅当三点共线时,等号成立,所以△PMF的周长最小值为55.故答案为:5.【点睛】本题考查抛物线定义的应用,考查数形结合与数学转化思想方法,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2)见解析.【解析】

(1)在不等式两边平方化简转化为二次不等式,解此二次不等式即可得出结果;(2)利用绝对值三角不等式可证得成立.【详解】(1),,由得,不等式两边平方得,即,解得或.因此,不等式的解集为;(2),,由绝对值三角不等式可得.因此,.【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解,同时也考查了利用绝对值三角不等式证明不等式,考查推理能力与运算求解能力,属于中等题.18.(1);(2).【解析】

(1)根据离心率以及,即可列方程求得,则问题得解;(2)设直线方程为,联立椭圆方程,结合韦达定理,根据题意中转化出的,即可求得参数,则三角形面积得解.【详解】(1)设,由题意可得.因为是的中位线,且,所以,即,因为进而得,所以椭圆方程为(2)由已知得两边平方整理可得.当直线斜率为时,显然不成立.直线斜率不为时,设直线的方程为,联立消去,得,所以,由得将代入整理得,展开得,整理得,所以.即为所求.【点睛】本题考查由离心率求椭圆的方程,以及椭圆三角形面积的求解,属综合中档题.19.(1)证明见解析;(2).【解析】

(1)把转化成,令,由题意得,即证明恒成立,通过导数求证即可(2)直接求导可得,,令,得或,故根据0与的大小关系来进行分类讨论即可【详解】证明:(1)令,则.分析知,函数的增区间为,减区间为.所以当时,.所以,即,所以.所以当时,.解:(2)因为,所以.讨论:①当时,,此时函数在区间上单调递减.又,故此时函数仅有一个零点为0;②当时,令,得,故函数的增区间为,减区间为,.又极大值,所以极小值.当时,有.又,此时,故当时,函数还有一个零点,不符合题意;③当时,令得,故函数的增区间为,减区间为,.又极小值,所以极大值.若,则,得,所以,所以当且时,,故此时函数还有一个零点,不符合题意.综上,所求实数的值为.【点睛】本题考查不等式的恒成立问题和函数的零点问题,本题的难点在于把导数化成因式分解的形式,如,进而分类讨论,本题属于难题20.(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)直接代入再由诱导公式计算可得;(Ⅱ)先得到,再根据利用两角差的余弦公式计算可得.【详解】解:(Ⅰ);(Ⅱ)因为所以,由得,又因为,故,所以,所以.【点睛】本题考查了三角函数中的恒等变换应用,属于中档题.21.(1);(2).【解析】

(1)通过分类讨论去掉绝对值符号,进而解不等式组求得结果;(2)将不等式整理为,根据能成立思想可知,由此构造不等式求得结果.【详解】(1)当时,可化为,由,解得;由,解得;由,解得.综上所述:所以原不等式的解集为.(2),,,,

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