简单的线性规划问题教案

简单的线性规划问题教案一、教学目标1.知识与技能目标了解线性规划的意义，了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念。理解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题。2.过程与方法目标通过从实际问题中抽象出数学模型的过程，培养学生的数学建模能力。通过对线性规划问题的图解法探究，培养学生运用数形结合思想解决问题的能力。3.情感态度与价值观目标通过对实际问题的研究，让学生体验数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。在探究活动中，培养学生的合作交流意识和创新精神，增强学生学好数学的信心。二、教学重难点1.教学重点用图解法解决简单的线性规划问题。建立线性规划问题的数学模型。2.教学难点理解线性规划问题的图解法的原理，并能准确找到最优解。如何将实际问题转化为线性规划问题，确定约束条件和目标函数。三、教学方法讲授法、讨论法、探究法相结合，借助多媒体辅助教学手段，直观展示线性规划问题的求解过程。四、教学过程（一）导入新课（5分钟）1.展示问题情境通过多媒体展示一个生产安排的实际问题：某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？2.引导学生分析问题让学生思考如何用数学语言来描述这个问题，例如设生产甲产品\(x\)件，生产乙产品\(y\)件，然后尝试找出\(x\)、\(y\)所满足的条件。3.引出课题在学生讨论的基础上，引出本节课的主题简单的线性规划问题，让学生了解线性规划在实际生产生活中的应用价值，激发学生的学习兴趣。（二）讲解新课（25分钟）1.线性规划相关概念线性约束条件结合刚才的生产问题，引导学生分析得出\(x\)、\(y\)满足的不等式组：\(\begin{cases}x\geq0\\y\geq0\\4x\leq16\\4y\leq12\\x+2y\leq8\end{cases}\)像这样由\(x\)、\(y\)的一次不等式（或方程）组成的不等式组称为线性约束条件。线性目标函数在这个生产问题中，若生产甲产品每件获利2万元，生产乙产品每件获利3万元，那么生产\(x\)件甲产品和\(y\)件乙产品所获得的利润\(z=2x+3y\)，我们把\(z=2x+3y\)称为线性目标函数。其中，\(x\)、\(y\)是变量，\(z\)随\(x\)、\(y\)的变化而变化，我们把\(z\)称为目标函数。可行解、可行域和最优解满足线性约束条件的解\((x,y)\)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域。使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的最优解。2.线性规划问题一般地，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。3.线性规划问题的图解法讲解图解法的基本步骤首先，在平面直角坐标系中画出线性约束条件所表示的可行域。然后，对于目标函数\(z=ax+by\)（\(b\neq0\)），把它变形为\(y=\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}\)，这里\(\frac{z}{b}\)是直线\(y=\frac{a}{b}x+\frac{z}{b}\)在\(y\)轴上的截距。当\(b\gt0\)时，直线向上平移，\(\frac{z}{b}\)增大，\(z\)增大；直线向下平移，\(\frac{z}{b}\)减小，\(z\)减小。当\(b\lt0\)时，情况相反。通过平移目标函数对应的直线，观察直线在\(y\)轴上截距的变化情况，从而找到最优解。结合实例进行演示以刚才的生产问题为例，画出可行域（如图所示）。在平面直角坐标系中，分别画出不等式\(x\geq0\)，\(y\geq0\)，\(4x\leq16\)（即\(x\leq4\)），\(4y\leq12\)（即\(y\leq3\)），\(x+2y\leq8\)所表示的区域，它们的公共部分就是可行域。对于目标函数\(z=2x+3y\)，变形为\(y=\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}\)。当直线\(y=\frac{2}{3}x+\frac{z}{3}\)经过可行域内的点时，通过平移直线可以发现，当直线经过点\((4,2)\)时，\(\frac{z}{3}\)取得最大值，此时\(z\)取得最大值。把\((4,2)\)代入\(z=2x+3y\)，可得\(z_{max}=2\times4+3\times2=14\)（万元）。所以，当生产甲产品4件，乙产品2件时，可获得最大利润14万元。（三）课堂练习（15分钟）1.布置练习题目已知\(x\)、\(y\)满足约束条件\(\begin{cases}x+y\leq5\\xy\leq1\\y\geq1\end{cases}\)，求目标函数\(z=3x+5y\)的最大值和最小值。2.学生自主练习让学生按照图解法的步骤，自己在练习本上画出可行域，求解目标函数的最值。3.教师巡视指导在学生练习过程中，教师巡视教室，观察学生的解题情况，及时发现学生存在的问题并给予指导。4.讲解练习选取部分学生的练习答案进行展示，让学生自己讲解解题思路，然后教师进行点评和总结。画出可行域分别画出\(x+y=5\)，\(xy=1\)，\(y=1\)这三条直线，然后根据不等式确定可行域（如图所示）。求最优解对于目标函数\(z=3x+5y\)，变形为\(y=\frac{3}{5}x+\frac{z}{5}\)。通过平移直线，当直线经过点\((2,3)\)时，\(\frac{z}{5}\)取得最小值，\(z\)取得最小值，\(z_{min}=3\times2+5\times3=21\)；当直线经过点\((4,1)\)时，\(\frac{z}{5}\)取得最大值，\(z\)取得最大值，\(z_{max}=3\times4+5\times1=17\)。通过练习，让学生进一步熟悉线性规划问题的图解法，提高学生运用所学知识解决问题的能力。（四）课堂小结（5分钟）1.引导学生回顾让学生回顾本节课所学的主要内容，包括线性规划的相关概念（线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解）、线性规划问题的定义以及图解法的步骤。2.强调重点难点再次强调本节课的重点是用图解法解决简单的线性规划问题和建立线性规划问题的数学模型，难点是理解图解法的原理并准确找到最优解以及将实际问题转化为线性规划问题。3.总结学习方法鼓励学生在今后的学习中，要善于运用数形结合的思想方法，将抽象的数学问题直观化，同时要注重实际问题与数学模型之间的联系，提高数学应用能力。（五）布置作业（5分钟）1.书面作业课本第100页练习第1、2、3题。2.拓展作业某运输公司有7辆载重量为6吨的A型卡车与4辆载重量为10吨的B型卡车，有9名驾驶员。在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360吨沥青的任务。已知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车8次，B型卡车6次；每辆卡车每天的成本费为A型车160元，B型车252元。问每天派出A型车与B型车各多少辆，公司所花的成本费最低？通过书面作业巩固本节课所学的基础知识，拓展作业则进一步加深学生对线性规划问题的理解和应用能力，培养学生解决实际问题的能力。五、教学反思通过本节课的教学，学生对线性规划问题有了初步的认识和理解，掌握了线性规划问题的基本概念和图解法。在教学过程中，通过实际问题的引入，激发了学生的学习兴趣，让学生体会到数学与生活的紧密联系。同时，借助多媒体演示，直观地展示了可行域和目标函数的变化情况，帮助学生更好地理解了图解法的原理。在课堂练习环节，大部分学生能够按照步骤正确地画出可行域并求解目标函数的最值，但仍有部分学生在将实际问题转化为线性规划问题时存在困难，不能准确地确定约束条件和目标函数。在今后的教学中，应加强这方面的训练，多举一些实际例子，让学生进行针对性的练习，提高学生