吉林省长春市二道区2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试卷(含解析)

2024-2025学年吉林省长春市二道区八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（3分）下列各数中，是无理数的是（）A．0.101001001 B． C． D．3.1415926解：A．0.101001001是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意；B．是分数，属于有理数，故本选项不符合题意；C．是无理数，故本选项符合题意；D．3.1415926是有限小数，属于有理数，故本选项不符合题意．故选：C．2．（3分）64的立方根是（）A．8 B．4 C． D．±8解：∵43＝64，∴64的立方根是4．故选：B．3．（3分）下列各式中，计算结果等于a8的是（）A．a2•a4 B．（a2）4 C．a2+a4 D．a16÷a2解：A、a2•a4＝a6，故选项不符合题意；B、（a2）4＝a8，故选项符合题意；C、a2和a4不是同类项，不能合并，故选项不符合题意；D、a16÷a2＝a14，故选项不符合题意．故选：B．4．（3分）下面四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A．，， B．1.3，1.4，1.5 C．32，42，52 D．1，，2解：A、（）2+（）2≠（）2，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；B、（1.3）2+（1.4）2≠（1.5）2，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；C、（9）2+（16）2≠（15）2，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意；D、12+（）2＝22，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故本选项符合题意．故选：D．5．（3分）等腰三角形有两条边长分别为5和10，则这个等腰三角形的周长为（）A．15 B．20 C．25或20 D．25解：当等腰三角形的腰为5时，三边为5，5，10，5+5＝10，三边关系不成立；当等腰三角形的腰为10时，三边为5，10，10，三边关系成立，周长为5+10+10＝25．故选：D．6．（3分）如图，要测量池塘两岸相对的两点A，B的距离，小明在池塘外取AB的垂线BF上的点C，D，使BC＝CD，再画出BF的垂线DE，使E与A，C在一条直线上，这时测得DE的长就是AB的长，依据是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．HL解：因为证明在△ABC≌△EDC用到的条件是：CD＝BC，∠ABC＝∠EDC，∠ACB＝∠ECD，所以用到的是两角及这两角的夹边对应相等即ASA这一方法．故选：C．7．（3分）如图，在△ABC中，AC＞BC．按下列步骤用直尺和圆规作图：第一步：分别以点A和点B为圆心、大于AB一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点M和点N；第二步：作直线MN交边AC于点D；第三步：连结BD．根据以上信息推断，下列结论错误的是（）A．CB＝BD B．∠A＝∠ABD C．∠ADN＝∠BDN D．MN⊥AB解：由作图可知，MN垂直平分线段AC，∴DA＝DB，MN⊥AB，∴∠A＝∠ABD，∠ADN＝∠BDN，故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意．故选：A．8．（3分）如图，小明同学在一次数学活动课上做了如下的一次拼图操作：用两种大小不同的正方形各两个，拼接成一个中间是长方形ABCD的图案．若AB+BC＝6，且这四个正方形的面积和为50，则长方形ABCD的面积是（）A．5 B．5.5 C．6 D．6.5解：由题意可得2AB2+2BC2＝50，则AB2+BC2＝25，∵AB+BC＝6，∴（AB+BC）2＝36，∴AB2+2AB•BC+BC2＝36，则2AB•BC＝11，那么AB•BC＝5.5，即长方形ABCD的面积是5.5，故选：B．二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。9．（3分）计算：（ax﹣bx）÷x＝a﹣b．解：（ax﹣bx）÷x＝ax÷x﹣bx÷x＝a﹣b，故答案为：a﹣b．10．（3分）因式分解：a3﹣a＝a（a+1）（a﹣1）．解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），故答案为：a（a+1）（a﹣1）11．（3分）三角形的外角大于该三角形的任一内角是假（填“真”或“假”）命题．解：由三角形的外角的性质可得：三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角，∴命题是假命题．故答案为：假．12．（3分）某学校对300名女生的身高进行了测量，身高在157～162（单位：cm）小组的频率为0.25，则该组的人数为75名．解：由题意得：300×0.25＝75（名），∴该组的人数为75名，故答案为：75．13．（3分）如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，爬行的最短路程是2cm．解：如图所示：由于圆柱体的底面周长为20cm，则AD＝2010cm．又因为CD＝AB＝4cm，所以AC2cm．故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是2cm．故答案为：2．14．（3分）如图，在△ABC中，AC＞BC，AD平分∠BAC交边BC于点D，且AD＝AB，延长AD到点E，使得AE＝AC，连结EC、EB．给出下面四个结论：①∠ABD＝∠ADB；②△ABE≌△ADC；③CD＝BD；④∠CAE＝∠CBE．上述结论中，正确结论的序号有①②④．解：∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB，故①正确，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠EAB，在△ABE和△ADC中，，∴△ABE≌△ADC（SAS），故②正确，∵△ABE≌△ADC，∴CD＝BE，故③错误；∵△ABE≌△ADC，∴∠ACD＝∠AEB，∵∠CAE+∠ACD+∠ADC＝∠CBE+∠AEB+∠BDE＝180°，∠ADC＝∠BDE，∴∠CAE＝∠CBE，故④正确，∴上述结论中，正确结论的序号有：①②④，故答案为：①②④．三、解答题：本题共10小题，共78分。15．（6分）计算：．解：．16．（6分）先化简，再求值：（2a+b）2+（a﹣b）（a+b）﹣5a（a﹣b），其中，．解：原式＝4a2+4ab+b2+a2﹣b2﹣5a2+5ab＝（4+1﹣5）a2+（1﹣1）b2+（4+5）ab＝9ab，当a1，b1时，原式．17．（6分）如图，在一块边长为a＝15.2m的正方形空地的四角均留出一块边长b＝2.6m的正方形空地修建花坛，其余的地方种植草坪，问草坪的面积有多大？解：当a＝15.2，b＝2.6时，a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝（15.2+2×2.6）（15.2﹣2×2.6）＝20.4×10＝204（m2）．答：草坪的面积是204m2．18．（7分）【阅读与思考】我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，而因为，即，于是的整数部分是2．将一个数减去其整数部分，差就是它的小数部分，故可用来表示的小数部分．结合以上材料，回答下列问题：（1）的整数部分是3；的小数部分是；（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值．解：（1）∵，∴的整数部分是3，∵，∴，∴，即，∴的整数部分是1，小数部分是，故答案为：3，；（2）∵，∴的整数部分是2，小数部分是，∴，∵，∴的整数部分b＝4，∴．19．（7分）如图，已知∠B＝∠E，点C和点F在线段BE上，AC与DF交于点O，AB＝DE，BF＝EC．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若∠AOF＝56°，则∠ACE的度数为152度．（1）证明：∵BF＝EC，∴BF+CF＝EC+CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）；（2）解：∵△ABC≌△DEF，∴∠ACB＝∠DFE，∴OF＝OC，∵∠AOF＝56°＝∠ACB＝∠DFE，∴∠ACB56°＝28°，∴∠ACE＝180°﹣∠ACB＝152°，故答案为：152．20．（7分）图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A、B、P、Q均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，不要求写出画法．（1）在图①中找一格点C，连结AC、BC，使得△ABC是为以AB为腰的等腰三角形；（2）在图②的线段PQ上找一点C，连结AC、BC，使得△ABC是为以AB为底的等腰三角形；（3）在图③的线段PQ上找一点C，连结AC、BC，使得△ABC是为以AB为底的等腰三角形（保留作图痕迹）．解：（1）如图①，点C即为所求；（2）如图②，点C即为所求；（3）如图③，点C即为所求．21．（8分）近日，冰雪之城长春正在进一步推广普及校园冰雪运动，引领学生参与冰雪活动，激发学生参与冰雪运动的兴趣，提高学生冰雪运动技能水平．某校为了了解学生们对冰雪运动的喜爱程度，随机抽取了八年级若干名学生对“滑雪橇、体验滑雪、速度滑冰、花样滑冰和高山滑雪”五个冰雪项目的喜爱程度进行调查（每人必须选且只选一项最喜欢的冰雪项目，将调查结果绘制成如下的两幅不完整的统计图）．请根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）参与本次调查的学生有100人；（2）补全条形统计图；（3）求出扇形统计图中喜欢“花样滑冰”的学生所在扇形的圆心角的度数．解：（1）30÷30%＝100（人），故答案为：100；（2）“体验滑雪”的人数为100﹣30﹣20﹣10﹣5＝35（人），补全条形统计图：（3），答：扇形统计图中喜欢“花样滑冰”的学生所在扇形的圆心角度数为36°．22．（9分）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，在△ABC中，AC＝7，AB＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．（1）经过组内合作交流，小明得到了如下的解决方法，如图②：①延长AD到E使得DE＝AD；②再连结CE，把AB、AC、2AD集中在△ACE中；③利用三角形的三边关系可得4＜AE＜10，则AD的取值范围是2＜AD＜5．感悟：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中．（2）利用小明的作图方法，结合图②，写出AB与CE的位置关系并证明．应用：（3）如图③在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点．若AE是∠BAD的平分线，则线段AB、AD和DC之间的等量关系为AD＝AB+DC．解：（1）∵4＜AE＜10，AD＝DEAE，∴2＜AD＜5；（2）AB∥CE，理由如下：由题可知AD＝DE，∵BD＝CD，∠ADB＝∠CDE，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴∠B＝∠DCE，∴AB∥CE；（3）AD＝AB+DC．理由：如图①中，延长AE，DC交于点F，∵AB∥CD，∴∠BAF＝∠F，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FEC（AAS），∴CF＝AB，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠FAD＝∠F，∴AD＝DF，∵DC+CF＝DF，∴AD＝AB+DC，故答案为：AD＝AB+DC．23．（10分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝4，CD＝2．【发现并提出问题】（1）当AD＝3时，AB2﹣AC2＝12；当AD＝4时，AB2﹣AC2＝12；当AD＝5时，AB2﹣AC2＝12．（2）猜想：小明发现不论线段AD的长度是多少，AB2﹣AC2的值始终不变，值为12．【分析、解决问题】小明的猜想是正确的吗？如果正确请给予证明；如果不正确举出反例．【运用】当AB﹣AC＝1时，△ABC的周长为18．解：（1）当AD＝3时，AB2﹣AC2＝12；当AD＝4时，AB2﹣AC2＝12；当AD＝5时，AB2﹣AC2＝12．故答案为：12，12，12；（2）猜想：小明发现不论线段AD的长度是多少，AB2﹣AC2的值始终不变，值为12，故答案为：12；【分析、解决问题】正确．证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，AB2＝BD2+AD2，在Rt△ACD中，AC2＝AD2+CD2，∴AB2﹣AC2＝（BD2+AD2）﹣（AD2+CD2）＝BD2﹣CD2＝12；【运用】由（1）知，AB2﹣AC2＝12，∴（AB+AC）（AB﹣AC）＝12，又∵AB﹣AC＝1，∴AB+AC＝12，又∵BD＝4，CD＝2，∴△ABC的周长为AB+AC+BC＝AB+AC+BD+CD＝12+4+2＝18，故答案为：18．24．（12分）【模型学习】如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线l经过点C，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．【模型应用】如图②，在△ABC中，AD⊥BC，AB＝10，BC＝14，AD＝6，直线l经过点D（不与BC重合）．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段DB向点B运动，同时动点Q从点C出发，以每秒4个单位的速度沿折线CD﹣DA向点A运动，其中一个动点到达终点时，整个运动停止．当点P、Q不与点D重合时，分别过点P、Q作PM⊥l于点M，QN⊥l于点N．设运动时间为t秒．（1）求线段CD的长度；（2）线段PD的长度为2t；当点Q在线段DA上运动时，线段DQ的长度为4t﹣6；（用含t的代数式表示）（3）当△PMD与△QND全等时，求出t的值．解：【模型学习】证明：∵AD⊥l，BE⊥l，∴∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠DAC+∠ADC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∴∠BCE＝∠DAC，∵AC＝B