河南省许昌市襄城县名校联盟2025年中考数学一模试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页河南省许昌市襄城县名校联盟2025年中考数学一模试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作(

)A.−3℃ B.3℃ C.−5℃ D.5℃2.随着我国科技迅猛发展，电子制造技术不断取得突破性成就，电子元件尺寸越来越小，在芯片上某种电子元件大约占0.0000007mm2，将0.0000007用科学记数法表示应为(

)A.0.7×10−7 B.0.7×10−6 C.3.在同一平面内，将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如图方式摆放，若AB//CD，则∠1的大小为(

)A.30°

B.45°

C.60°

D.75°4.马家窑彩陶绚丽典雅，符号丰富，被称为彩陶文化的“远古之光”.如图是一件马家窑彩陶作品的立体图形，有关其三视图说法正确的是(

)A.主视图和左视图完全相同 B.主视图和俯视图完全相同

C.左视图和俯视图完全相同 D.三视图各不相同5.不等关系在生活中广泛存在.如图，a、b分别表示两位同学的身高，c表示台阶的高度.图中两人的对话体现的数学原理是(

)A.若a>b，则a+c>b+c B.若a>b，b>c，则a>c

C.若a>b，c>0，则ac>bc D.若a>b，c>0，则a6.如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD，若B(0,1)，D(0,3)，则△OAB与△OCD的相似比是(

)A.2：1

B.1：2

C.3：1

D.1：37.3月14日是国际数学节.某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是(

)A.19 B.16 C.138.若a，b是正整数，且满足2a+2a+⋯+2aA.a+3=8b B.3a=8b C.a+3=b8 9.如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D是BC的中点，连结BD，CD.以点D为圆心，BD的长为半径在⊙O内画弧，阴影部分的面积为16π3，则等边三角形ABC的边长为(

)A.4

B.42

C.410.兴趣小组同学借助数学软件探究函数y=ax(x−b)2的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，bA.a<0，b>0 B.a>0，b<0 C.a>0，b>0 D.a<0，b<0二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.请写出3的一个同类二次根式______．12.某校拟招聘一名优秀的数学教师，设置了笔试、面试、试讲三项水平测试，综合成绩按照笔试占30%，面试占30%，试讲占40%进行计算，小徐的三项测试成绩如图所示，则她的综合成绩为______分.13.不等式组x−2>0x−3<0的解集是______．14.如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是中线，将DA绕点D顺时针旋转60°得到DE，连接BE，则S△BDE=______．15.如图，正方形ABCD的边长为32，对角线AC，BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE=5，连接DE．

(Ⅰ)线段AE的长为______；

(Ⅱ)若F为DE的中点，则线段AF的长为______．三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题10分)

(1)计算：(12)0−4cos30°+17.(本小题9分)

为落实“双减”政策，培养德智体美劳全面发展的时代新人，某校组织调研学生体育和美育发展水平.现从七年级共180名学生中随机抽取20名学生，对每位学生的体育和美育水平进行测评后按百分制分数量化，并进行等级评定(成绩用x表示，分为四个等级，包括优秀：90≤x≤100；良好：80≤x<90；合格：70≤x<80；待提高：x<70).对数据进行整理，描述和分析，部分信息如下．

信息一：体育成绩的人数(频数)分布图如图．

信息二：美育成绩的人数(频数)分布表如下．分组90≤x≤10080≤x<9070≤x<80x<70人数m727信息三：20位学生的体育成绩和美育成绩得分统计如下(共20个点)．

根据以上信息，回答下列问题：

(1)填空：m=______；

(2)下列结论正确的是______；(填序号)

①体育成绩低于80分的人数占抽取人数的40%；

②参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“合格”；

③在信息三中，相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升；

(3)请结合以上信息，估计七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数．18.(本小题9分)

小明在草稿纸上画了某反比例函数在第二象限内的图象，并把矩形直尺放在上面，如图．

请根据图中信息，求：

(1)反比例函数表达式；

(2)点C坐标．19.(本小题9分)

如图，在△ABC中，∠A=45°，AC>BC．

(1)尺规作图：作线段AB的垂直平分线l，分别交AB，AC于点D，E；(要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母)

(2)在(1)所作的图中，连接BE，若AB=8，求BE的长．20.(本小题9分)

图1是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别)，其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA=160cm，识别的最远水平距离OB=150cm．

(1)如图2，张亮站在摄像头前水平距离100cm的点G处，恰好能被识别(头的顶部在仰角线AD)，求张亮的身高约是多少厘米；

(2)夕夕身高136cm，头部高度为18cm，踮起脚尖可以增高3cm，此时夕夕能被识别吗？请计算说明.(精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)

21.(本小题9分)

【问题背景】2024年4月23日是第18个“世界读书日”，为给师生提供更加良好的阅读环境，学校决定扩大图书馆面积，增加藏书数量，现需购进20个书架用于摆放书籍．

【素材呈现】

素材一：有A，B两种书架可供选择，A种书架的单价比B种书架单价高20%；

素材二：用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个；

素材三：A种书架数量不少于B种书架数量的23；

【问题解决】

问题一：求出A，B两种书架的单价；

问题二：设购买a个A种书架，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出费用最少时的购买方案；

问题三：实际购买时，商家调整了书架价格，A种书架每个降价m元，B种书架每个涨价13m元，按问题二的购买方案需花费21120元，求22.(本小题10分)

今年春节期间全国各影院上映多部影片，《哪吒之魔童闹海》以强劲势头打破国内外多项票房纪录，截至2025年2月24日影片总票房突破136亿，登顶全球动画电影票房榜首，成为中国文化与电影工业实力的重要象征.某影院每天运营成本为2000元，该影院每天售出的电影票数量y(单位：张)与售价x(单位：元/张)之间满足一次函数关系(30≤x≤80，且x是整数)，部分数据如下表所示：电影票售价x(元/张)4050售出电影票数量y(张)164124(1)请求出y与x之间的函数关系式；

(2)设该影院每天的利润(利润=票房收入−运营成本)为w(单位：元)，求w与x之间的函数关系式；

(3)该影院将电影票售价x定为多少时，每天获利最大？最大利润是多少？23.(本小题10分)

综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”.同学们以此开展了数学活动．

操作发现

(1)①如图1构造一个四边形ABCD，使得AB=AD，BC=DC，那么四边形ABCD______“垂美四边形”.(填“是”或“不是”)

②如图2，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE、BG、GE.那么四边形BCGE是“垂美四边形”吗？请说明理由．

拓展探究

(2)如图3，四边形ABCD是“垂美四边形”，则两组对边AB、CD与BC、AD之间有什么数量关系？请说明理由．

迁移应用

(3)如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4.P、Q分别是射线AB，AC上一个动点，同时从点A出发，分别沿AB和AC方向以每秒5个单位长度和每秒21个单位长度的速度匀速运动，运动时间为t秒，连接CP、BQ、PQ、PC与BQ交于点O，当以点B，C，P，Q为顶点的四边形是“垂美四边形”时，直接写出t的值．

答案解析1.【答案】A

【解析】解：“正”和“负”相对，所以，如果零上2℃记作+2℃，那么零下3℃记作−3℃．

故选：A．

在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．

此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．2.【答案】C

【解析】解：0.0000007=7×10−7．

故选：C．

科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，3.【答案】A

【解析】解：∵AB/​/CD，

∴∠CDB=∠ABF=60°，

∵CD⊥DE，

∴∠CDE=90°，

∴∠1=180°−60°−90°=30°．

故选：A．

由平行线的性质推出∠CDB=∠ABF=60°，由垂直的定义得到∠CDE=90°，由平角定义求出∠1=180°−60°−90°=30°．

本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠CDB=∠ABF．4.【答案】D

【解析】解：该几何体的三视图各不相同，主视图的中间处有两个“耳朵”而左视图则没有；俯视图是三个同心圆(夹在中间的圆由虚线构成)．

故选：D．

根据主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从上面看得到的图形，左视图是左边看到的图形，即可得出答案．

本题考查了简单组合体的三视图，理解三视图的意义是解题关键．5.【答案】A

【解析】解：由题意得，a>b，

∴a+c>b+c，

∴图中两人的对话体现的数学原理是若a>b，则a+c>b+c．

故选：A．

根据不等式的性质判断即可．

本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质性质是解答本题的关键．6.【答案】D

【解析】解：∵B(0,1)，D(0,3)．

∴OB=1，OD=3．

∵△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OCD．

∴△OAB与△OCD的相似比是OB：OD=1：3．

故选：D．

根据信息，找到OB与OD的比值即可．

本题考查位似变换、坐标与图形的性质．关键在于找到相似比就是对应边的比．7.【答案】C

【解析】解：把“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个活动分别记为A、B、C，

画树状图如下：

共有9种等可能的结果，小华和小丽恰好选到同一个宣传队的结果有3种，

∴小华和小丽恰好选到同一个宣传队的概率为39=13，

故选：C．

画树状图，共有9种等可能的结果，小红和小丽恰好选到同同一个活动的结果有3种，再由概率公式求解即可．

本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A8.【答案】A

【解析】解：由题意得：8×2a=(2b)8，

∴23×2a=29.【答案】C

【解析】解：如图，过D作DE⊥BC于E，

∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，

∴∠A=60°，∠BDC+∠A=180°，

∴∠BDC=120°，

∵点D是BC的中点，

∴BD=CD，

∴BD=CD，

∴BC=2BE，∠BDE=12∠BDC=60°，

∴∠DBE=30°，

∵阴影部分的面积为16π3，

∴120π×BD2360=16π3，

∴BD=4，

∴DE=12BD=2，

∴BE=3DE=23，

∴BC=43，

故选：C10.【答案】A

【解析】解：∵y=ax(x−b)2，

∴x的取值范围是x≠b，

由图可知，两支曲线的分界线位于y轴的右侧，

∴b>0，

由图可知，当x>0时的函数图象位于x轴的下方，

∴当x>0时，y<0，

又∵当x>0时，(x−b)2>0，

∴a<0，

故选：A．

由两支曲线的分界线在y轴左侧可以判断b11.【答案】23(【解析】解：3的同类根式有23、33…(答案不唯一)

故答案为：212.【答案】85.8

【解析】解：她的综合成绩为86×30%+80×30%+90×40%=85.8(分)，

故答案为：85.8．

根据加权平均数的定义列式计算即可．

本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义．13.【答案】2<x<3

【解析】解：x−2>0①x−3<0②，

由①得：x>2，

由②得：x<3，

∴不等式组x−2>0x−3<0的解集是：2<x<3．

故答案为：2<x<3．

首先分别求得x−2>0与x−3<0的解集，继而求得不等式组x−2>0x−3<014.【答案】3【解析】解：过点E作EH⊥BC于H，

∵△ABC是等边三角形，AD是中线，

∴BD=2，AD=23，AD⊥BC，

∵将DA绕点D顺时针旋转60°得到DE，

∴AD=DE=23，∠ADE=60°，

∴∠EDH=30°，

又∵EH⊥BC，

∴EH=12DE=3，

∴S△BDE=12×BD⋅15.【答案】2

10【解析】(Ⅰ)∵四边形ABCD是正方形，

∴OA=OC=OD=OB，∠DOC=90°，

∴在Rt△DOC中，OD2+OC2=DC2，

∵DC=32，

∴OA=OD=OC=OB=3，

∵OE=5，

∴AE=OE−OA=2；

故答案为：2．

(Ⅱ)延长DA到点G，使AG=AD，连接EG，过E作EH⊥AG于H，

∵F为DE中点，A为DG中点，

∴AF为△DGE中位线，AF=12EG，

在Rt△EAH中，∠EAH=∠DAC=45°，

∴AH=EH，

∵AH2+EH2=AE2，

∴AH=EH=2，

∴GH=AG−AH=32−2=216.【答案】解：(1)(12)0−4cos30°+12

=1−4×32+23

=1−23+2【解析】(1)根据零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根的运算法则分别计算即可；

(2)根据分式的混合运算法则计算即可．

本题考查了分式的混合运算、零指数幂、特殊角的三角函数值、算术平方根，熟练掌握运算法则是解题的关键．17.【答案】4

①③

【解析】解：(1)m=20−7−2−7=4，

故答案为：4，

(2)①根据20位学生的体育成绩得分统计图可知：体育成绩低于80分的人数有8人，因此体育成绩低于80分的人数有占抽取人数的(8÷20)×100%=40%，故①正确；

②根据20位学生的美育成绩得分统计图可知一共有20人，成绩从小到大排序，中位数为第10位和第11位的平均数，因此中位数位于80≤x<90之间，即参与测评的20名学生美育成绩的中位数对应的等级是“良好”，故②错误；

③在信息三中，点A的美育成绩为90，体育成绩为70，点B的美育成绩为70，体育成绩为70，所以相比于点A所代表的学生，点B所代表的学生的体育水平与其大致相同，但美育水平还存在一定差距，需要进一步提升，故③正确；

故答案为：①③；

(3)根据信息三，可知：美育和体育成绩都在90分以及以上的只有2人，故七年级全体学生中体育和美育两项成绩均属于“优秀”等级的人数有180×220=18(人)．

(1)用样本总体减去良好、合格、待提高成绩的人数即可得出答案；

(2)①用体育成绩低于80分的人数8除以样本总体20即可得出判断；②用中位数的定义判断即可；③根据坐标得出点A和点B各自的美育和体育的成绩判断即可；

(3)18.【答案】解：(1)根据图象信息，点A的坐标为(−3,2)，

∵反比例函数图象上过点A，设反比例函数关系式为y=kx，

∴k=−6，

∴反比例函数解析式为y=−6x；

(2)直线OA的解析式为y=−23x，

由图象可知，直线OA向上平移三个单位得到直线BC的解析式为y=−23x+3，

联立方程组y=−2【解析】(1)根据图象信息可知A(−3,2)，待定系数法求出反比例函数解析式即可；

(2)由图象可知，BC的解析式为y=−23x+3，与反比例函数解析式联立方程组求出点C19.【答案】解：(1)图形如图所示：

(2)∵DE垂直平分线段AB，

∴EB=EA，

∴∠EBA=∠A=45°，

∴∠BEA=90°，

∵BD=DA，

∴DE=DB=DA=12AB=4，

∴BE=【解析】(1)根据要求作出图形；

(2)证明△BDE是等腰直角三角形，可得结论．

本题考查作图−基本作图，线段的垂直平分线，等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．20.【答案】解：(1)过G作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点F，

在Rt△AMF中，

tan∠MAF=MFAF，

∴MF=AF⋅tan15°≈100×0.27=27(cm)，

由题意，知∠AOB=∠OAF=∠FGO=90°，

∴四边形AOGF是矩形，

∴GF=OA=160cm，

∴GM=GF+MF=160+27=187(cm)，

∴张亮的身高约是187厘米；

(2)此时夕夕能被识别，

理由：如图，过B点垂直于OB的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，

则AP=OB=150cm，

∴PN=AP⋅tan15°=150×0.27=40.5(cm)，

∴BN=160−40.5=119.5<136+3−18=121(cm)【解析】(1)过G作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点F，在Rt△AMF中，根据三角函数的定义得到MF=AF⋅tan15°≈100×0.27=27(cm)，由题意，知∠AOB=∠OAF=∠FGO=90°，根据矩形的性质得到GF=OA=160cm，于是得到结论；

(2)如图，过B点垂直于OB的垂线分别交仰角、俯角线于点M，N，交水平线于点P，得到AP=OB=150m，根据三角函数的定义得到PN=AP⋅tan15°=150×0.27=40.5(cm)，于是得到结论．21.【答案】解：问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是(1+20%)x元，

根据题意得：18000(1+20%)x−9000x=6，

解得：x=1000，

经检验，x=1000是所列方程的解，且符合题意，

∴(1+20%)x=(1+20%)×1000=1200．

答：A种书架的单价是1200元，B种书架的单价是1000元；

问题二：∵现需购进20个书架用于摆放书籍，且购买a个A种书架，

∴购买(20−a)个B种书架．

∵购买A种书架数量不少于B种书架数量的23，

∴a≥23(20−a)，

解得：a≥8．

∵购买总费用为w元，A种书架的单价是1200元，B种书架的单价是1000元，

∴w=1200a+1000(20−a)，

即w=200a+20000，

∵200>0，

∴w随a的增大而增大，

∴当a=8时，w取得最小值，此时20−a=20−8=12，

∴费用最少时的购买方案为：购买8个A种书架，12个B种书架；

问题三：根据题意得：(1200−m)×8+(1000+13m)×12=21120【解析】问题一：设B种书架的单价是x元，则A种书架的单价是(1+20%)x元，利用数量=总价÷单价，结合用18000元购买A种书架的数量比用9000元购买B种书架的数量多6个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出m的值(即B种书架的单价)，再将其代入(1+20%)x中，即可求出A种书架的单价；

问题二：由购买总数量及购买A种书架的数量，可得出购买(20−a)个B种书架，结合购买A种书架数量不少于B种书架数量的23，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；

问题三：利用总价=单价×数量，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．

本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：问题一：找准等量关系，正确列出分式方程；问题二：根据各数量之间的关系，找出w关于a22.【答案】y=−4x+324；

w=−4x2+324x−2000；

该影院将电影票售价x定为40元或41元时，每天获利最大，最大利润是【解析】解：(1)设y与x之间的函数关系式是y=kx+b，

由表