2025年湖南省常德市高考数学模拟试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025年湖南省常德市高考数学模拟试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x|(x+1)(x−3)≤0}，B={−3,−2,−1,1,2,3}，则A∩B=(

)A.{−2,−1} B.{−1,1,2,3} C.{1,2} D.{−3,−2,−1}2.命题“∃x∈R，x2+x+2=0”的否定是(

)A.∃x∈R，x2+x+2≠0 B.∃x∈R，x2+x+2>0

C.∀x∈R，x23.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1A.a2=2 B.a4=8 C.4.已知复数z满足：z−1z=2i，则|z|=A.1 B.2 C.3 5.下列不等式正确的是(

)A.0.30.3>0.30.2 B.log0.20.3>6.从1，2，3，4，5，6，7这7个数任选3个不同数排成一个数列，则得到的数列为等差数列的概率为(

)A.335 B.370 C.9357.已知cos2α=2sin2β−56，cosA.17 B.7 C.−178.已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，连接PF1并延长交椭圆A.35 B.75 C.二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设样本空间Ω={5,6,7,8}，且每个样本点是等可能的，已知事件A={5,6}，B={5,7}，C={5,8}，则下列结论正确的是(

)A.事件A与B为互斥事件 B.事件A，B，C两两独立

C.P(ABC)=P(A)P(B)P(C) D.P(A|C)=P(C|A)10.已知连续函数y=f(x)是定义域为R的偶函数，且在区间(0,+∞)上单调递增，则下列说法正确的是(

)A.函数y=x2+f(x)在(0,+∞)上单调递增

B.函数y=x2f(x)在(0,+∞)上单调递增

C.函数y=f(x211.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，空间中的点P满足AP=A.若μ=1，则BP⊥A1D

B.若AP=5，则λ+2μ的最大值为52

C.若λ=1，则平面BPD1截该正方体的截面面积的最小值为6

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知双曲线C：x2a2−y13.若函数f(x)=1−ax,x≤1xlnx,x>1有最小值，则实数a的取值范围是______．14.已知函数f(x)=cos(ωx−π3)(ω>0)在区间(−π,π)上有且仅有1个零点和1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

某景区经过提质改造后统计连续5天进入该景区参观的人数(单位：千人)如下：日期3月5日3月6日3月7日3月8日3月9日第x天12345参观人数y2.22.63.15.26.9(1)建立y关于x的回归直线方程，预测第10天进入该景区参观的人数；

(2)该景区只开放东门、西门供游客出入，游客从东门、西门进入该景区的概率分别为34、14，且出景区与进入景区选择相同的门的概率为15，出景区与进入景区选择不同的门的概率为45.假设游客从东门、西门出入景区互不影响，求甲、乙两名游客都从西门出景区的概率．

附：参考数据：i=15xiyi=72，i=1516.(本小题15分)

如图，在四棱锥E−ABCD中，底面四边形ABCD是正方形，AE⊥平面CDE，二面角E−AB−D为π4．

(1)证明：平面ADE⊥平面ABCD；

(2)求直线BE与平面ABCD所成角的正弦值．17.(本小题15分)

如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD=CE，BE与CD交于点O，已知OC=OD=2，且∠EOC=π3．

(1)若OB=32，求BC的长；

(2)求18.(本小题17分)

已知函数f(x)=(x2−m)ex在x=0处的切线与直线y=x−1垂直．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若f(x)≥ax−1对任意x∈(−1,+∞)恒成立，求实数a的值；

(3)对于函数f(x)，规定：f′(x)=[f(x)]′，f(2)(x)=[f′(x)]′，⋯，f(n)(x)=[f(n−1)(x)]′，f(n)(x)19.(本小题17分)

已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点P(a,2)在C上，且|PF|=2．

(1)求抛物线C的方程；

(2)过点P作圆O：x2+y2=r2(r>0)的两条切线l1，l2，且l1，l2分别与C相交于点A，B(异于点P)．

参考答案1.B

2.C

3.D

4.A

5.D

6.A

7.C

8.C

9.BD

10.ACD

11.ABD

12.y=±x

13.[1,+∞)

14.(115.解：(1)依题意，x−=1+2+3+4+55=3，而i=15xiyi=72，i=15xi2=55,y=4，

则b=i=15xiyi−nx−y−i=15xi2−nx−2=72−5×3×455−5×32=1.2，a=4−1.2×3=0.4，

因此y=1.2x+0.4，当x=10时，y=1.2×10+0.4=12.4，

所以y关于x的回归直线方程为y=1.2x+0.4，第10天进入该景区参观的人数约为12.4千人；

(2)记“甲从西门进入景区”为事件A，“甲从西门出景区”为事件B，“乙从西门出景区”为事件C，

P(A)=14，P(A−)=34，P(B|A)=15,P(B|A−)=45，

由全概率公式得P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|A−)P(A−)=15×14+34×45=1320，

同理P(C)=1320，所以甲，乙两名游客都从西门出景区的概率P(BC)=P(B)P(C)=169400．

16.解：(1)证明：在四棱锥E−ABCD中，由AE⊥平面CDE，CD⊂平面CDE，得AE⊥CD，

由四边形ABCD是正方形，得AD⊥CD，而AD∩AE=A，AD，AE⊂平面ADE，

因此CD⊥平面ADE，又CD⊂平面ABCD，

所以平面ADE⊥平面ABCD．

(2)由(1)知，CD⊥平面ADE，而AB//CD，

则AB⊥17.解：(1)在△BOC中，∵OC=2,OB=32,∠BOC=π−π3=2π3，

∴BC2=OB2+OC2−2OB⋅OCcos∠BOC

=94+4−2×32×2×(−12)=374，

∴BC=372；

(2)如图，在OB上取点18.解：(1)由题意可知：函数f(x)的定义域为R，

则f′(x)=(x2+2x−m)ex，

若函数f(x)=(x2−m)ex在x=0处的切线与直线y=x−1垂直，

则f′(0)=−m=−1，解得m=1，

所以f′(x)=(x2+2x−1)ex，

令f′(x)>0，则x2+2x−1>0，解得x>2−1或x<−2−1；

令f′(x)<0，则x2+2x−1<0，解得−2−1<x<2−1；

所以函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−2−1),(2−1,+∞)，单调递减区间为(−2−1,2−1)．

(2)构造g(x)=f(x)−ax+1=(x2−1)ex−ax+1，

则g′(x)=(x2+2x−1)ex−a，

由题意可知：g(x)≥0对任意x∈(−1,+∞)恒成立，且g(0)=0，

则g′(0)=−1−a=0，解得a=−1，

若a=−1，则g(x)=(x2−1)ex+x+1=(x+1)[(x−1)ex+1]，

构造ℎ(x)=(x−1)ex+1，x>−1，

则ℎ′(x)=xex，

令ℎ′(x)>0，解得x>0；令ℎ(x)<0，解得−1<x<0；

可知ℎ(x)在(−1,0)内单调递减，在(0,+∞)内单调递增，

则ℎ(x)≥ℎ(0)=0，即(x−1)ex+1≥0对任意x∈(−1,+∞)恒成立，

且x+1>0对任意x∈(−1,+∞)恒成立，

可知g(x)≥0对任意x∈(−1,+∞)恒成立，所以a=−1符合题意；

综上所述：a=−1．

(3)由(1)可知：f′(x)=(x2+2x−1)ex，

根据求导法则可设f(n)(x)=(x2+anx+bn)ex,n∈N∗，其中a1=2，b1=−1，

则f(n+1)(x)=(x2+anx+bn)ex+(2x+an)ex=[x2+(an+2)x+an+bn]ex，

则an+1=an+2，bn+1=an+bn，

可知数列{an}是以首项为2，公差为2的等差数