人教版七年级数学下册 第七章 平行线复习题-常见四大模型（含解析）

平行线复习题---常见四大模型 【模型1“猪蹄”模型】1．如图，直线l1∥l2，∠EAB=125°,∠FBA=85°，则∠1+∠2=(A．30° B．35° C．36° D．40°2．如图，a∥b，∠3=70°，∠1−∠2=10°，则

A．30° B．40° C．50° D．60°3．如图，AB∥DE，∠A=30°，∠ACE=110°，则∠E的度数为(

)A．30° B．150° C．100° D．120°4．如图，AB∥EF，∠C=90°，则α，β和γ的数量关系是

5．如图，a∥b，∠3=65°，∠1=∠2+15°，则∠2=6．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD=80°，∠BCD=n°，则∠BED的度数为．（用含7．如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝．8．如图，AB∥CD，∠1+∠2=110°，求9．请阅读小明同学在学习平行线这章知识点时的一段笔记，然后解决问题．小明：老师说在解决有关平行线的问题时，如果无法直接得到角的关系，就需要借助辅助线来帮助解答，今天老师介绍了一个“美味”的模型“猪蹄模型”．即已知：如图1，AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接AE，CE得到求证：∠AEC=∠A+∠C小明笔记上写出的证明过程如下:证明：过点E作EF∵∠1=∠A∵AB∥CD∴EF∴∠2=∠C∴∠AEC=∠1+∠2∴∠AEC=∠A+∠C请你利用“猪蹄模型”得到的结论或解题方法，完成下面的两个问题．(1)如图，若AB∥CD，∠E=60(2)如图，AB∥CD，BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∠G=∠H+2710．问题情境：如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，(1)猜想：若∠1=130°，∠2=150°，试猜想∠P=______°；(2)探究：在图①中探究∠1，∠2，∠P之间的数量关系，并证明你的结论；(3)拓展：将图①变为图②，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．【模型2“铅笔头”模型】1．如图，AB∥ED，∠B+∠C+∠D=（

）

A．180° B．360° C．540° D．270°2．如图，AB//ED，α＝∠A+∠E，β＝∠B+∠C+∠D，则β与α的数量关系是（

）A．2β＝3α B．β＝2α C．2β＝5α D．β＝3α3．如图所示，若AB∥EF，用含α、β、γ的式子表示x，应为（

）A．α+β+γ B．β+γ−α C．180°−α−γ+β D．180°+α+β−γ4．如图，如果AB∥CD，那么∠B+∠F+∠E+∠D=°．5．如图1所示的是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2所示的是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知AB∥CD，CG∥EF，∠BAG=150°，∠DEF=130°，则∠AGC的度数是6．如图，一大门的栏杆如右图所示，BA⊥AE，若CD∥AE，则∠ABC+∠BCD＝度；7．如图，直线a与∠AOB的一边射线OA相交，∠1＝130°，向下平移直线a得到直线b，与∠AOB的另一边射线OB相交，则∠2+∠3＝．8．综合与探究：（1）问题情境：如图1，AB∥CD,∠PAB=130°,∠PCD=120°．求∠APC的度数．小明想到一种方法，但是没有解答完：如图2，过P作PE∥AB，∴∠APE+∠PAB=180°．∴∠APE=180°−∠PAB=180°−130°=50°．∵AB∥CD．∴PE∥CD．…………请你帮助小明完成剩余的解答．（2）问题探究：请你依据小明的思路，解答下面的问题：如图3，AD∥BC，点P在射线OM上运动，∠ADP=∠α,∠BCP=∠β．当点P在A，B两点之间时，∠CPD,∠α,∠β之间有何数量关系？请说明理由．9．如图，已知AB∥CD．（1）如图1所示，∠1+∠2＝；（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝；并写出求解过程．（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如图4所示，试探究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝．10．探索：小明在研究数学问题：已知AB//CD，AB和CD都不经过点P，探索∠P与∠A、∠C的数量关系．发现：在图1中，∠APC=∠A+∠C；如图5小明是这样证明的：过点Р作PQ//AB∴∠APQ=∠A___________∵PQ//AB，AB//CD．∴PQ//CD__________∴∠CPQ=∠C∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C即∠APC=∠A+∠C（1）为小明的证明填上推理的依据；（2）理解：①在图2中，∠P与∠A、∠C的数量关系为_____________________；②在图3中，若∠A=30°，∠C=70°，则∠P的度数为_________________；（3）拓展：在图4中，探究∠P与∠A、∠C的数量关系，并说明理由．【模型3“锯齿”模型】1．（1）如图1，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3＝______．（直接写出结果）（2）如图2，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4＝_____．（直接写出结果）（3）如图3，l1∥l2，求∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝_______．（直接写出结果）（4）如图4，l1∥l2，求∠A1+∠A2+…+∠An＝_______．（直接写出结果）2．已知直线AB∥CD，点E在AB、CD之间，点P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、(1)如图1，直接写出∠APE、∠PEQ、∠CQE之间的数量关系；(2)如图2，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，当∠PEQ=150°时，求出∠PFQ的度数；(3)如图3，若点E在CD的下方，PF平分∠BPE，QH平分∠EQD，QH的反向延长线交PF于点F，当∠PEQ=60°时，直接写出∠PFQ的度数．3．如图1，直线MN∥PQ，直线AB分别交MN、PQ于A、B点，∠ABP<90°，点D在线段BQ上（不在端点处），点C在直线AB上，点E在直线MN上，连接CD、CE．(1)如图1，点C在线段AB上，若EC⊥CD，∠AEC=65°，则∠CDB的度数为________；(2)如图2，点C在线段AB上，点K为直线MN与PQ之间区域的一点，点E在线段AN上（不与端点重合），连EK、KD．若∠ECD=60°，∠NEK=13∠CEN，∠KDQ=(3)如图3，DH⊥AB于点H，EC⊥CD，点C在射线HA上运动(C不与H重合），∠AEC与∠CDB的角平分线所在直线交于点G，∠AEC与∠CDQ的角平分线所在直线交于点F，∠FGD与∠GFD的角平分线交于点T，直接写出∠FEN、∠CDG与∠FGT的数量关系．4．如图，AB∥CD．(1)如图1，请探索∠A，∠E，∠C三个角之间的数量关系，并说明理由；(2)已知∠A=24°．①如图2，若∠F=100°，求∠C+∠E的度数；②如图3，若∠AEF和∠DCF的平分线交于点G，请直接写出∠EGC与∠F的数量关系．5．已知，过∠ECF内一点A作AD∥EC交CF于点D，作AB∥CF交(1)如图1，求证：∠ABE=∠ADF；(2)如图2，射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，求证：BM∥(3)如图3，在（2）的条件下，点G，Q在线段DF上，连接AG，AQ，AC，AQ与DN交于点H，反向延长AQ交BM于点P，如果∠GAC=∠GCA，AQ平分∠GAD，∠QAC=50°，求∠MPA+∠PQF的度数．6．如图，已知AB∥(1)感知与探究：如图1，已知∠B=45°,∠BCD=110°,请求出∠CDE的度数；(2)问题迁移：如图2，BG、DF分别是∠ABC、∠CDE的角平分线，BG的反向延长线与DF相交于点F，猜想∠F与∠BCD之间的数量关系，并说明理由；(3)联想拓展：在（2）的条件下，若∠BCD=100∘，则7．已知直线AB∥CD，点P是AB上方一点，E是AB上一点，F是CD上一点连接PE、(1)如图①，求证：∠P=∠PEB−∠PFD(2)如图②，∠PEB，∠CFP的平外线所在直线交于点Q，若∠P=50°，求∠Q的度数．(3)如图③，∠PEB、∠PFD的平分线交于H点，且∠P−∠H=15°，直接写出∠PFD−∠PEB=___．8．感知发现：（1）在学习平行线中，“启智”兴趣小组发现了很多有趣的模型图，如图1，当AB∥CD时，可以得到结论：∠BED=∠B+∠D．请你写出证明过程；探索思考：（2）那么如果把条件和结论互换一下是否还成立呢？于是“启智”兴趣小组想尝试证明：如图1，∠BED=∠B+∠D，求证：AB∥综合与实线：（3）利用这个“模型结论”，我们可以解决很多问题．“启智”兴趣小组的同学们以“一个含30°角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动，如图2．已知两直线a，b且a∥b，在直角△ABC中，∠BCA=90°，∠BAC=30°，实践探究：（4）如图3，当AB∥CD时，F是EM上一点，NE平分∠FND，FH平分∠NFE，试探究∠NHF与9．2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE=60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出10．已知，直线AB∥CD，点E为直线AB上一定点，直线EK交CD于点F，FG平分∠DFK，∠AEF=α．(1)如图1，当α=70°时，∠GFK=________°；(2)点P为射线FE上一点，点M为直线AB上的一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM交直线CD于点N．①如图2，点P在线段EF上，若点M在点E左侧，求∠BMP与∠PNC的数量关系；②点P在线段FE的延长线上，当点M在直线AB上运动时，∠MPN的一边恰好与射线FG平行，直接写出此时∠PNF的度数（用含α的式子表示）．【模型4“三角尺”模型】1．如图，直线a∥b，将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1=56°，则∠2的度数为（

）A．30° B．34° C．42° D．58°2．将一副三角尺在平行四边形按如图所示的方式摆放，设∠1=30°，则∠2的度数为（

）A．55° B．65° C．75° D．85°3．一副三角尺按如图摆放，若EF∥AC，DF交AB于点M，则∠DMB的度数为（

）A．45° B．60° C．75° D．90°4．将斜边上的高不相等的两块直角三角尺按如图方式摆放，∠BAC=∠DAE=90°，∠C=30°，∠B=60°，∠D=∠E=45°．（1）若BC⊥AD，则∠DAC的度数为；（2）若将三角形ADE绕点A转动，使得两个直角三角形的斜边平行，则∠DAC的度数为．5．如图，将一副三角尺按如图所示方式摆放，点A，B，D在同一条直线上，EF∥AD，∠E＝60°，则∠BFD的度数为度6．将一副三角尺按照如图方式摆放，其中有一个角为30的直角三角形的长直角边与等腰直角三角形的斜边平行，则∠α的度数为．

7．如图，MN∥PQ．将两块直角三角尺（一块含30°，一块含45°）按如下方式进行摆放，恰好满足(1)若∠NAC=16°，求∠CBQ的度数；(2)试判断AB与DE的位置关系，并说明理由．8．数学课上，老师要求同学们利用三角尺画两条平行线．(1)如图1，小颖用两个含30°的三角尺画出平行线a，b．那么小颖得到a∥b的直接依据是______．(2)同桌小亮用一个含45°的三角尺和两个含30°的三角尺按如图2方式摆放，并画出平行线a，b．请帮助小亮完成下面的证明：由题意得∠ABC＝90°，∠1＝30°，∠2＝60°，过点B作BD∥a，又∵∠2＝60°（已知），∴______＝∠2＝60°（______）．∵∠ABC＝90°（已知），∴∠CBD＝______°．又∵∠1＝30°（已知），∴∠CBD＝∠1（等量代换），∴______∥______（内错角相等，两直线平行）．∵BD∥a，∴a∥b（______）．9．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点O按如图方式叠放在一起，将三角尺COD的OD边与OA边重合，然后OD绕点O按顺时针方向以10°/秒的速度转动．（设OD边再次与OA边重合时停止，转动时间为t秒）

(1)如图（1），若∠BOD=50°，则t=______秒，∠AOC=______．(2)如图（2），在转动过程中“AB//OD”与“(3)将三角尺COD的OD边与OA边重合，OA绕点O按顺时针方向以m°/秒的速度与OD同时转动，在30秒后这两块三角尺的斜边互相平行，求m的值．10．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，

(1)若∠1与∠2都是锐角，如图甲，写出∠C与∠1，(2)若把一块三角尺（∠A=30°，∠C=90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN=∠A，求(3)将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG=∠CEM，求∠GEN∠BDF11．课题学习：平行线的“等角转化”功能．阅读理解：如图1，已知点A是BC外一点，连接AB、AC．求∠BAC+∠B+∠C的度数．解：过点A作DE∥BC，∵DE∥BC，∴∠B=∠EAB又∵∠EAB+∠BAC+∠DAC=180°，∴∠BAC+∠B+∠C=180°．解题反思：从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”功能．方法运用：如图2，将一副三角板和一张对边平行的纸条按如上方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，求∠1的度数．12．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起，其中，∠A=60°，∠D=30°；∠E=∠B=45°．(1)①∠DCE=30°时，∠ACB的度数为_______；②∠ACB=135°时，∠DCE的度数为_______；【探究】(2)由（1）猜想∠ACB与∠DCE的数量关系，并说明理由．【应用】(3)现按照这种折叠方式，用这样两块直角三角尺的木板制作一个画平行线的工具，需要满足两个三角尺存在一组边互相平行，若∠ACE＜180°且点E在直线AC的上方时，这两块三角尺是否存在一组边互相平行？若存在，请直接写出∠ACE角度所有可能的值（不必说明理由）；若不存在，请说明理由．13．如图1，将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起；如图2，其中∠ACB＝30°，∠DAE＝45°，∠BAC＝∠D＝90°．固定三角板ABC，将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角∠CAE＝α(0°＜α＜180°)．(1)当α为度时，AD∥BC，并在图3中画出相应的图形；(2)在旋转过程中，试探究∠CAD与∠BAE之间的关系；(3)当△ADE旋转速度为5°/秒时，且它的一边与△ABC的某一边平行(不共线)时，直接写出时间t的所有值．

14．将两块三角板按图1摆放，固定三角板ABC，将三角板CDE绕点C按顺时针方向旋转，其中∠A=45°，∠D=30°，设旋转角为α，(0°<a<80°)1当DE//AC时(如图2)，求α的值；2当DE//AB时(如图3).AB与CE相交于点F，求α的值；3当0°<α<90°时，连结AE(如图4)，直线AB与DE相交于点F，试探究∠1+∠2+∠3的大小是否改变？若不改变，请求出此定值，若改变，请说明理由．15．如图，AB∥CD，直线EF与AB，CD分别相交于点G，H，∠EHD=α（0°＜α＜90°）．小安将一个含30°角的直角三角尺PMN按如图1所示的方式放置，使点N，M分别在直线AB，CD上，且在点G，(1)∠PNB+∠PMD____∠P（填“>”“<”或“=”）．(2)如图2，∠MNG的平分线NO交直线CD于点O．①当NO∥EF∥PM时，求α的度数．②小安将三角尺PMN保持EF∥PM并向左平移，在平移的过程中求∠MON的度数（用含α的代数式表示）．答案【模型1“猪蹄”模型】1.A【分析】本题主要考查了三角形的外角定理以及平行线的性质，解题的关键是掌握“三角形的一个外角定于与它不相邻的两个内角之和”，“两直线平行，同旁内角互补”．根据三角形的外角定理可得∠BAE=∠1+∠3=125°，∠ABF=∠2+∠4=85°，再根据平行线的性质可得∠3+∠4=180°，即可求解．【详解】解：如图，根据题意可得：∠BAE=∠1+∠3=125°，∠ABF=∠2+∠4=85°，∴∠1+∠3+∠2+∠4=125°+85°=210°，∵l1∴∠3+∠4=180°，∴∠1+∠2=210°−180°=30°，故选：A．2．B【分析】作c∥b，根据平行线的判定和性质可得∠1+∠2=70°，结合∠1−∠2=10°，两式相加即可求出【详解】解：如图，作c∥

∵a∥∴a∥∴∠4=∠1，∠5=∠2，∴∠4+∠5=∠1+∠2=70°，∵∠1−∠2=10°，∴2∠1=80°，∴∠1=40°，故选：B．3．C【分析】过C作CQ∥AB，得出AB∥DE∥CQ，根据平行线的性质推出∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，求出∠ECQ，即可求出选项．【详解】解：过C作CQ∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥DE∥CQ，∵∠A=30°，∴∠A=∠QCA=30°，∠E+∠ECQ=180°，∵∠ACE=110°，∴∠ECQ=110°-30°=80°，∴∠E=180°-80°=100°，故选：C．4．解：如图，分别过点C，D作CM∥

∵AB∥∴CM∥∴∠BCM=∠α,∠DCM=∠CDN,∴∠β=∠CDN+∠EDN=∠CDN+∠γ①∠BCD=∠BCM+∠DCM=∠α+∠DCM②由①-②得：∠β−∠BCD=∠γ−∠α，∵∠BCD=90°，∴∠α+∠β−∠γ=90°．故答案为：∠α+∠β−∠γ=90°．5．25【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过∠3的顶点作c∥a，则a∥b∥c，由平行线的性质得到∠5=∠1，【详解】解：如图，过点A作c∥a，∵a∥b，∴a∥b∥c，∴∠5=∠1，∠4=∠2，∵∠BAC=∠5+∠4=65°，∴∠1+∠2=65°，又∵∠1=∠2+15°，∴∠2=25°，故答案为：25．6．40°+【分析】首先过点E作EF∥AB，由平行线的传递性得AB∥CD∥EF，再根据两直线平行，内错角相等，得出∠BCD=∠ABC=n°，∠BAD=∠ADC=80°，由角平分线的定义得出∠ABE=12n°，∠EDC=40°，再由两直线平行，内错角相等得出∠BEF=∠ABE=12【详解】解：如图，过点E作EF∥AB，则AB∥CD∥EF，∵AB∥CD，∴∠BCD=∠ABC=n°，∠BAD=∠ADC=80°，又∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE=1∠EDC=1∵AB∥EF∥CD，∴∠BEF=∠ABE=1∠FED=∠EDC=40°，∴∠BED=∠FED+∠BEF=40°+1故答案为：40°+17．230°【分析】过点O作OC//a，利用平移的性质得到a//b，可得判断OC//b，根据平行线的性质得∠1+∠AOC=180°，【详解】解：过点O作OC//∵直线a向下平移得到直线b，∴a//∴OC//∴∠1+∠AOC=180°，∠COB+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°，∴∠2+∠3=360°−∠1=230°．故答案为：230°．8．解：过点G作GM∥AB，∵AB∥CD，∴GM∥AB∥CD，∴∠1=∠EGM，∠2=∠FGM，∴∠EGF=∠EGM+∠FGM=∠1+∠2=110°，9．（1）作EM∥AB，FN∴EM∴∠B=∠1，∠2=∠3，∠4+∠C=∴∠B+∠CFE+∠C=∠1+∠3+∠4+∠C=∠BEF+∠4+∠C=∠BEF+180∵∠BEF=60∴∠B+∠CFE+∠C=60（2）如图，分别过G、H作AB的平行线MN和RS，∵BE平分∠ABG，CF平分∠DCG，∴∠ABE=12∠ABG∵AB∴AB∴∠RHB=∠ABE=12∠ABG∴∠NGB+∠ABG=∠MGC+∠DCG=180∴∠BHC=180∠BGC=∴∠BGC=360∵∠BGC=∠BHC+27∴180∘∴∠BHC=5110．（1）解：如图过点P作MN∥∵AB∥∴AB∥∴∠1+∠EPN=180°，∠2+∠FPN=180°．∵∠1=130°，∠2=150°，∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°∴∠EPN+FPN=360°−130°−150°=80°．∵∠P=∠EPN+∠FPN，∴∠P=80°．故答案为：80°；（2）解：∠P=360°−∠1−∠2，理由如下：如图过点P作MN∥∵AB∥∴AB∥∴∠1+∠EPN=180°，∠2+∠FPN=180°．∴∠1+∠2+∠EPN+∠FPN=360°∵∠EPN+∠FPN=∠P，∠P=360°−∠1−∠2．（3）如图分别过点P、点G作MN∥AB∵AB∥∴AB∥∴∠1+∠EPN=180°，∠NPG+∠PGR=180°，∠RGF+∠2=180°．∴∠1+∠EPN+∠NPG+∠PGR+RGF+∠2=540°∵∠EPG=∠EPN+∠NPG=75°，∠PGR+∠RGF=∠PGF，∠1+∠2=325°，∴∠PGF+∠1+∠2+∠EPG=540°∴∠PGF=540°−325°−75°=140°故答案为：140°．【模型2“铅笔头”模型】1．B【分析】过C点作直线CF∥AB，根据平行线的性质可得∠B+∠BCF=180°，∠FCD+∠D=180°，然后再计算∠B+∠C+∠D即可.【详解】

如图，过C点作直线CF∥AB，∵AB∥ED，

∴CF∥ED，∴∠B+∠BCF=180°，∠FCD+∠D=180°，∴∠B+∠BCF+∠FCD+∠D=360°，即∠B+∠BCD+∠D=360°.故选：B2．B【分析】作CF//ED，利用平行线的性质求得β与α，再判断β与α的数量关系即可．【详解】解：如图，作CF//ED，

∵AB//ED，∴∠A+∠E=180°=α，∵ED//CF，∴∠D+∠DCF=180°，∵AB//ED，ED//CF，∴AB//CF，∴∠B+∠BCF=180°，∴∠D+∠DCF+∠B+∠BCF=180°+180°即∠B+∠C+∠D=360°=β，∴β＝2α．故选B．3．C【分析】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，推出AB∥CD∥MN∥EF，根据平行线的性质得出α+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=γ，求出∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ，即可得出答案．【详解】过C作CD∥AB，过M作MN∥EF，∵AB∥EF，∴AB∥CD∥MN∥EF，∴α+∠BCD=180°，∠DCM=∠CMN，∠NMF=γ，∴∠BCD=180°-α，∠DCM=∠CMN=β-γ，∴x=∠BCD+∠DCM=180°−α−γ+β，故选：C．4．540【分析】本题主要考查了平行线的性质等知识点，过点E作EM∥CD，过点F作FN∥CD，再根据两直线平行，同旁内角互补即可作答，构造辅助线EM∥CD，【详解】过点E作EM∥CD，过点F作FN∥∵AB∥CD，EM∥CD，∴AB∥FN，∴∠B+∠BFN=180°，∠FEM+∠EFN=180°，∠D+∠DEM=180°，∵∠DEF=∠DEM+∠FEM，∠BFE=∠BFN+∠EFN，∴∠B+∠BFE+∠DEF+∠D=∠B+∠BFN+∠FEM+∠EFN+∠D+∠DEM=540°，故答案为：540．5．80°【分析】过点F作FM∥CD，因为AB∥CD，所以AB∥CD∥FM，再根据平行线的性质可以求出【详解】解：如图，过点F作FM∥∵AB∥∴AB∥∴∠DEF+∠EFM=180°，∠MFA+∠BAG=180°，∵∠BAG=150°，∠DEF=130°，∴∠MFA=30°，∠EFM=50°，∴∠EFA=∠EFM+∠AFM=80°，∵CG∥EF，∴∠AGC=∠EFA=80°．故答案为80°．6．270【详解】解：过点B作BF∥AE，∵CD∥AE，∴CD∥BF∥AE，∴∠BCD+∠CBF=180°，∠ABF+∠BAE=180°，∴∠BAE+∠ABF+∠CBF+∠BCD=360°，即∠BAE+∠ABC+∠BCD=360°，∵BA⊥AE，∴∠BAE=90°，∴∠ABC+∠BCD=270°．故答案为：270．7．230°【分析】过点O作OC//a，利用平移的性质得到a//b，可得判断OC//b，根据平行线的性质得∠1+∠AOC=180°，【详解】解：过点O作OC//∵直线a向下平移得到直线b，∴a//∴OC//∴∠1+∠AOC=180°，∠COB+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°，∴∠2+∠3=360°−∠1=230°．故答案为：230°．8．解：（1）过P作PE∥AB，∴∠APE+∠PAB=180°，∴∠APE=180°−∠PAB=180°−130°=50°．∵AB∥CD，∴PE∥CD．∴∠CPE+∠PCD=180°，∴∠CPE=180°−120°=60°，∴∠APC=50°+60°=110°．（2）∠CPD=∠α+∠β，如图3，过P作PE//AD交CD于E，∵AD//BC，∴AD//PE//BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；9．解：（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：180°；（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，∵AB∥CD，∴AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°；（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，故答案为：540°；（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，故答案为：（n-1）×180°．10．（1）证明：过点P作PQ//AB，∴∠APQ=∠A（两直线平行，内错角相等）∵PQ//AB，AB//CD．∴PQ//CD（平行于同一直线的两直线平行）∴∠CPQ=∠C∴∠APQ+∠CPQ=∠A+∠C即∠APC=∠A+∠C故答案为：两直线平行，内错角相等；平行于同一直线的两直线平行；（2）①解：过点P作PQ//AB，所以∠APQ+∠A=180°，∵PQ//AB，AB//CD．∴PQ//CD，∴∠CPQ+∠C=180°，∴∠APQ+∠CPQ，∠A+∠C=360°，即∠APC+∠A+∠C=360°，故答案为：∠APC+∠A+∠C=360°；②解：∵AB//CD，∠C=70°，∴∠PEB=∠C=70°，∵∠A=30°，∴∠P=∠PEB−∠A=40°，故答案为：40°；（3）解：∠APC=∠A−∠C．理由是：如图4，过点P作PG//AB，∵PG//AB，∴∠APG+∠A=180°，∴∠APG=180°−∠A∵PG//AB，AB//CD，∴PG//CD（平行于同一直线的两直线平行）∴∠CPG+∠C=180°，∴∠CPG=180°−∠C，∴∠APC=∠CPG−∠APG=∠A−∠C．【模型3“锯齿”模型】1．（1）360°；（2）540°；（3）720°；（4）（n-1）180°【分析】（1）过点A2作A2B∥l1，根据平行线的性质，即可求解；（2）过点A2作A2B∥l1，过点A3作A3C∥l1，根据平行线的性质，即可求解；（3）根据平行线的性质，即可求解；（4）根据平行线的性质，即可求解．【详解】解：（1）过点A2作A2B∥l1，∵l1∥l2，∴A2B∥l1∥l2，∴∠A1+∠A1A2B=180°，∠A3+∠A3A2B=180°，∴∠A1+∠A1A2A3+∠A3＝∠A1+∠A1A2B+∠A3+∠A3A2B=180°+180°=360°，故答案是：360°；（2）过点A2作A2B∥l1，过点A3作A3C∥l1，∵l1∥l2，∴A3C∥A2B∥l1∥l2，∴∠A1+∠A1A2B=180°，∠A4+∠A4A3B=180°，∠BA2A3+∠CA3A2=180°，∴∠A1+∠A1A2A3+∠A2A3A4+∠A4＝∠A1+∠A1A2B+∠A4+∠A4A3B+∠BA2A3+∠CA3A2=180°+180°+180°=540°，故答案是：540°；（3）同理可得：∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5＝180°+180°+180°+180°=720°，故答案是：720°；（4）同理可得：∠A1+∠A2+…+∠An＝（n-1）180°，故答案是：（n-1）180°．2．（1）解：∠PEQ=∠APE+∠CQE，理由如下：如图1，过点E作EH∥AB，∴∠APE=∠PEH，∵EH∥AB，AB∥∴EH∥CD，∴∠CQE=∠QEH，∵∠PEQ=∠PEH+∠QEH，∴∠PEQ=∠APE+∠CQE；（2）解：如图2，过点E作EM∥AB，同理可得，∠PEQ=∠APE+∠CQE=150°，∵∠BPE=180°−∠APE，∠EQD=180°−∠CQE，∴∠BPE+∠EQD=360°−∠APE+∠CQE∵PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，∴∠BPF=12∠BPE∴∠BPF+∠DQF=1作NF∥AB，同理可得，∠PFQ=∠BPF+∠DQF=105°；（3）解：如图3，过点E作EM∥CD，设∠QEM=α，∴∠DQE=180°−α，∵QH平分∠DQE，∴∠DQH=1∴∠FQD=180°−∠DQH=90°+1∵EM∥CD，∴AB∥∴∠BPE=180°−∠PEM=180°−60°+α∵PF平分∠BPE，∴∠BPF=1作NF∥AB，同理可得，3．（1）解：设EC延长线交PQ于点S，∵MN∥PQ，∠AEC=65°，∴∠CSD=∠AEC=65°，∵EC⊥CD，∴△CDS是直角三角形，∴∠CDB=90°−∠CSD=90°−65°=25°，故答案为：25°；（2）解：过点K作KW∥MN交AB于点W，∴∠ENK=∠EKW，∠EKD=∠KDQ，设∠NEK=13∠CEN=a∴∠CEN=3a，∠CDQ=3b，∠EKD=a+b，∴∠CEK=2a，∠CDK=2b，∵∠ECD=60°，∠ECD+∠CEK+∠CDK+∠EKD=360°，∴60°+2a+2b+a+b=360°，即a+b=100°，∴∠EKD的度数为100°；（3）解：当C在线段HA上时，过点C作CO∥PQ交ED于点O，在四边形GDFT中，∠GTF=∠TGD+∠TFD+∠GDF，∵∠AEC与∠CDB的角平分线所在直线交于点G，∠AEC与∠CDQ的角平分线所在直线交于点F，∠FGD与∠GFD的角平分线交于点T，∴∠GTF=∠TGD+∠TFD+∠GDF=12∠EGD+∵CO∥MN∥PQ，∴∠ECD=∠ECO+∠OCD=∠AEC+∠CDB，在四边形EGCD中，∠ECD=∠EGD+1∴∠AEC+∠CDB=∠EGD+1即∠EGD=1∴∠FGT=1即∠FGT=1当C在射线HA上时，过点C作CO∥PQ交ED于点O，∠GTF=∠GTR+∠RTF=∠TGD+∠TDG+∠TFD+∠TDF=∠TGD+∠TFD+∠GDF，∵∠AEC与∠CDB的角平分线所在直线交于点G，∠AEC与∠CDQ的角平分线所在直线交于点F，∠FGD与∠GFD的角平分线交于点T，∴∠GTF=∠TGD+∠TFD+∠GDF=12∠EGD+∵CO∥MN∥PQ，∴∠ECD=∠OCD−∠ECO=∠CDB−∠AEC，在△CSE和△DSG中，∠ECD+1∴∠CDB−∠AEC+1即∠EGD=1∴∠FGT=1即∠FGT=14．（1）解：∠A，∠AEC，∠C三个角之间的数量关系是：∠AEC+∠C−∠A=180°．理由如下：过点E作EM∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EM∥CD，∴∠AEM=∠A，∠MEC+∠C=180°，∴∠AEM+∠MEC+∠C=∠A+180°，即：∠AEC+∠C−∠A=180°．（2）解：①过点F作FN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥FN∥CD，∴∠C+∠NFC=180°，∴∠C=180°−∠NFC，由（1）得：∠E+∠EFN−∠A=180°，∴∠E=180°−∠EFN+∠A，∴∠C+∠E=180°−∠NFC+180°−∠EFN+∠A即：∠C+∠E=360°−(∠NFC+∠EFN)+∠A=360°−∠EFC+∠A，∵∠EFC=100°，∠A=24°，∴∠C+∠E=360°−100°+24°=284°．②解：∠EGC与∠F的数量关系是：∠EGC+1理由如下：∵EG为∠AEF的平分线，CG为∠DCF的平分线，∴∠AEF=2∠GEF，∠DCF=2∠GCF，过E作EH∥AB，而AB∥CD，∴HE∥CD则∠AEH=∠A=24°设∠HEG=x°，∠GEF=y°则∠G=x°+y°，∠HEF+∠F+∠FCD=360°故2x°+24°+∠F+2y°=360°，∴2∠G+∠F=336°故∠EGC+15．（1）证明：∵AD∥EC，∴∠A=∠ABE，∠A=∠ADF，∴∠ABE=∠ADF；（2）证明：过点A作AG平分∠BAD，如图2所示：则∠DAG=∠BAG=1∵射线BM，射线DN分别平分∠ABE和∠ADF，∴∠ABM=12∠ABE∵∠ABE=∠ADF=∠BAD，∴∠ABM=∠DAG=∠BAG=∠ADN，∴BM∥AG，∴BM∥（3）解：∵AQ平分∠GAD，∴∠GAQ=∠QAD，设∠GAQ=∠QAD=x，则∠DAC=50°−x，∠GAC=50°+x=∠GCA，∴∠BAD=100°，∴∠BAQ=100°+x，∵AB∥∴∠BAC=∠GCA=50°+x，∵∠BAP+∠BAQ=180°，∴∠BAP=180°−∠BAQ=80°−x，过点P作PH∥AB，过点Q作∵AD∥∴∠BAD=∠ABE=100°，∠ABM=1∴∠MPH=∠ABM=50°，∠HPA=∠PAB=80°−x，∠QAC=∠IQA=50°，∠FQI=∠FCA=50°+x，∴∠MPA=∠MPH+∠HPA=50°+80°−x=130°−x，∠PQF=∠IQA+∠FQI=50°+50°+x=100°+x，∴∠MPA+∠PQF=130°−x+100°+x=230°．6．（1）如图，过点C作CM∥AB，则CM∥AB∥DE，∴∠B=∠BCM=45°，∴∠DCM=∠BCD−∠BCM=110°−45°=65°，∴∠CDE=180°−65°=115°．（2）2∠F+∠BCD=180°．理由如下：如图，过点F作FM∥AB，过点C作CN∥AB，则FM∥AB∥CN∥DE，∴∠DFM=∠EDF，∵DF平分∠CDE，BG平分∠ABC，∴∠EDF=12∠EDC∴∠BFD=∠DFM−∠BFM=1∴∠CDE−∠ABC=2∠BFD①∵∠CDE+∠DCN=180°，∴∠CDE+∠DCN+∠BCN=180°+∠ABC，∴∠CDE+∠BCD=180°+∠ABC，∴∠CDE=∠ABC+180°−∠BCD②由①②可得2∠BFD=180°−∠BCD，即2∠BFD+∠BCD=180°．（3）由（2）知，2∠BFD+∠BCD=180°，∵∠BCD=100°，∴∠BFD=180°−100°故答案为：40°．7．（1）证明：过点P作PQ∥∵AB∥∴AB∥∴∠QPE=∠PEB,∠QPF=∠PFD，∴∠QPE−∠QPF=∠PEB−∠PFD，即∠FPE=∠PEB−∠PFD；（2）解：如图：设∠BEM=α,∠CFN=β，∵EM平分∠BEP,FN平分∠CFP，∴∠PEM=α,∠PFN=β，由（1）中结论可得∠P=∠PEB−∠PFD,∠Q=∠CFQ−∠AEQ，∴∠P=∠PEM+∠BEM−=α+α−180°−β−β∠Q=180°−∠CFN−∠BEM=180°−β−α，∴2∠Q+∠P=360°−2β−2α+2α+2β−180°=180°，即2∠Q+∠P=180°，∴∠Q=180°−∠P（3）解：过H作HN∥∵AB∥∴AB∥∴∠NHE=∠HEB,∠NHF=∠HFD，∴∠EHF=∠NHF−∠NHE=∠HFD−∠HEB，∵EH,FH分别平分∠PEB,∴∠HEB=1∴∠EHF=1过P作PQ∥∵AB∥∴AB∥∴∠QPE=∠PEB,∠QPF=∠PFD，∴∠EPF=∠QPF−∠QPE=∠PFD−∠PEB，∴∠P−∠EHF=∠PFD−∠PEB−==15°，∴∠PFD−∠PEB=2∠P−∠EHF8．（1）证明：过点E作ET∥AB，∵AB∥ET，AB∴AB∥∴∠B=∠BET，∠D=∠DET，∵∠BED=∠BET+∠DET，∴∠BED=∠B+∠D（2）证明：过点E作ET∥AB，∵AB∥ET，∴∠B=∠BET，∵∠BED=∠B+∠D，∠BED=∠BET+∠DET，∴∠D=∠DET，∴ET∥∵AB∥∴AB∥（3）证明：如图，由（1）可得，∠1+∠3=∠B=60°，∵∠3=180°−∠2，∴∠1+180°−∠2∴∠2=120°+∠1；（4）解：2∠NHF=180°+∠BME，理由如下：如图所示，过点F作FG∥AB，过点H作同（1）可得AB∥CD∥FG∥PH，∴∠MFG=∠BME，∠PHN=∠DNE，∠GFN=∠DNF，∠GFH+∠PHF=180°，∠MFN=∠BME+∠DNF，∵FH平分∠NFE，NE平分∠FND，∴∠NFE=2∠NFH，∠DNF=2∠DNE，∴∠NFE=2∠NFH=180°−∠MFN=180°−∠BME−2∠DNE，∴∠NFH=90°−1∵∠GFH+∠PHF=180°，∴∠GFN+∠NFH+∠PHF=180°，∴2∠DNE+∠NFH+∠PHF=180°，∴∠PHF=180°−2∠DNE−∠NFH=90°−∠DNE+1∴∠NHF=∠PHN+∠PHF=∠DNE+90°−∠DNE+1∴2∠NHF=180°+∠BME．9．解：方法1：延长AB交DE于点G，∵AB∥∴∠BAF=∠AGD∴∠CDE∴∠CDE=60°，∴∠BAF=60°，方法2：过点B做BM∥AF，过点C做∵AF∥∴AF∥∴∠BAF=∠ABM，∠∵AB∥∴∠ABC∴∠ABC∵∠ABM∴∠BAF=∠CDE，∴∠CDE=60°，∴∠BAF=60°，10．（1）解：∵AB∥CD，∴∠KFC=∠FEA=α，∵α=70°，∴∠KFC=70°，∴∠DFK=180°−70°=110°，∵FG平分∠DFK，∴∠GFK=1故答案为：55；（2）①解：过点P作PQ∥AB，如图1，则

∴∠AMP+∠MPQ=180°，∠QPM=∠BMP，∵PN⊥PM，∴∠MPN=90°，即∠MPQ+∠QPN=90°，∴∠QPN=90°−∠QPM=90°−∠BMP，∵∠PNC+∠NPQ=180°，∴∠PNC+90°−∠BMP∴∠PNC−∠BMP=90°，②解：由题意知，分当PN∥FG时，当当PN∥

∵AB∥CD，∠AEF=α，∴∠EFD=∠AEF=α，∴∠DFK=180°−∠EFD=180°−α，∵FG平分∠DFK，∴∠DFG=1∵PN∥∴∠PNF=∠DFG=90°−1当PM∥FG时，如图3，作PH∥AB，则

同理可得∠EFD=∠AEF=α，∠HPE=∠AEF=α，∠HPN=∠PNF，∠KFG=∠DFG=1∵PM∥∴∠FPM=∠KFG=90°−1∴∠NPF=∠MPN−∠FPM=1∴∠HPN=∠HPF−∠NPF=α−1∴∠PNF=1综上所述，∠PNF的度数为90°−α2或【模型4“三角尺”模型】1．B【分析】此题主要考查了平行线的性质，三角板的特征，角度的计算，解题的关键是作出辅助线，构造一组平行线．过点A作AB∥b，先利用平行线的性质求出∠3，进而利用三角板的特征求出∠4，最后利用平行线的性质求解即可．【详解】解：如图，过点A作AB∥b，∴∠3=∠1=56°，∵∠3+∠4=90°，∴∠4=90°−∠3=34°，∵a∥b，AB∥B，∴AB∥b，∴∠2=∠4=34°，故选：B．2．C【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，平行四边形的性质，求出∠NGH的度数是解题的关键．如图所示，过点G作GH∥CD，由平行线的性质得到∠HGB=∠1=30°，∠2+∠NGH=180°，然后求出【详解】解：如图所示，过点G作GH∥由题意得AB∥CD，∠KGN=45°，则∴AB∥∴∠HGB=∠1=30°，∠2+∠NGH=180°，∴∠NGH=∠NGB−∠HGB=105°，∴∠2=180°−∠NGH=75°，故选：C．3．C【分析】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用．先根据平行线的性质，得到∠1的度数，再根据三角形外角性质，求得∠DMA的度数，利用邻补角即可得到∠DMB的度数．【详解】解：∵EF∥AC，∴∠F=∠1=60°，又∵∠DMA=∠1+∠A=60°+45°=105°，∴∠DMB=180°−105°=75°，故选：C．4．（1）如图，设AD交BC于点M，∵BC⊥AD，∴∠BMA=90°，∵∠DAE=90∴∠BMA=∠DAE，∴BC∥∵∠C=30°，∴∠CAE=∠C=30°，∴∠DAC=∠DAE−∠CAE=60°，故答案为：60°；（2）根据题意，分两种情况：①当三角形ADE在线段AC左侧时，如图①，过点A作AP∥∵BC∥∴AP∥∴∠BAP=∠B=60°,∠DAP=∠D=45°∴∠BAD=∠BAP−∠DAP=15°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC=∠BAC+∠BAD=105°；②当三角形ADE在线段AC右侧时，如图②，过点A作AQ∥∵BC∥∴AQ∥∴∠CAQ=∠C=30°，∠DAQ=∠D=45°，∴∠DAC=∠CAQ+∠DAQ=75°，综上所述，∠DAC的度数为105°或75°，故答案为：105°或75°．5．15【分析】根据平行线的性质以及三角板本身的度数即可求解．【详解】解：∵EF//AD，∴∠ABC=∠EFB=45°，∴∠BFD=∠EFB−∠EFD=45°−30°=15°，故答案为：15．6．75°【分析】首先根据题意得出∠A=45°，∠E=60°，∠EDF=90°，DF∥AB，然后由平行线的性质得∠CDF=∠A=45°，进而得∠EDC=45°，最后再利用三角形的内角和定理可求出【详解】解：依题意得：∠A=45°，∠E=60°，∠EDF=90°，DF∥

∴∠CDF=∠A=45°，∴∠EDC=∠EDF−∠CDF=90°−45°=45°，∴∠α=180°−∠E−∠EDC=180°−60°−45°=75°．故答案为：75°．7．（1）解：∵∠NAC=16°，∠BAC=45°，∴∠NAB=45°+16°=61°．∵MN∥PQ，∴∠ABQ=180°−∠NAB=180°−61°=119°，∴∠CBQ=∠ABQ−∠ABC=119°−90°=29°；（2）解：AB∥理由：∵MN∥PQ，∴∠MAB=∠ABQ．∵∠MAE=∠CBQ，∴∠MAB−∠MAE=∠ABQ−∠CBQ，即∠EAB=∠ABC=90°．∵∠AED=90°，∴∠EAB+∠AED=180°，∴AB∥8．（1）解：如图1所示，∵∠CAB＝∠CDE＝30°，∴a∥b（同位角相等，两直线平行）．故答案为：同位角相等，两直线平行（2）过点B作BD∥a，又∵∠2＝60°（已知），∴∠ABD＝∠2＝60°（两直线平行，内错角相等）．∵∠ABC＝90°（已知），∴∠CBD＝30°．又∵∠1＝30°（已知），∴∠CBD＝∠1（等量代换），∴BD∥b（内错角相等，两直线平行），∵BD∥a，∴a∥b（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）．故答案为：∠ABD；两直线平行，内错角相等；30；BD∥b；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行9．（1）解：∵∠BOD=50°，∴∠AOD=∠AOB−∠BOD=90°−50°=40°∴t=40°÷10°=4(秒)，∴∠AOC=∠COD+∠AOD=90°+50°=140°；（2）解：在转动过程中“AB//OD”与“理由：如图2−a中，

当AB//OD又∵∠D=45°，∴∠D≠∠BOD∴OB与CD不平行；如图2−b中，当AB//OD又∵∠D=45°，∴∠D+∠BOD=45°+150°=195°≠180°∴OB与CD不平行；综上，在转动过程中“AB//OD”与“（3）解：由图可知：∠BAC=60°−45°，当m≤10时，如图，延长A′O交C′

由题意，得∠AOD∵A′∴∠C∵∠C′EO=∠∴∠D∴∠AOE=∠AOD∴∠AOA′=180°−∠AOE=135°解得：m=4.5；当m>10时，如图，

同理：∠AOA∴30m°=360°−45°=315°，解得：m=10.5；综上，在30秒后这两块三角尺的斜边互相平行，m的值为4.5或10.5．10．（1）解：∠ACB=∠1+∠2，理由如下：如图所示，过C作CD∥PQ，∵PQ∥MN，∴PQ∥CD∥MN，∴∠1=∠ACD，∠2=∠BCD，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=∠1+∠2，∴∠ACB=∠1+∠2；