重庆市黔江区2024-2025学年高一上学期1月期末联合检测数学试卷

重庆市黔江区2024-2025学年高一上学期1月期末联合检测数学试卷考试时间：120分钟 总分：100分 年级/班级：高一（1）班一、选择题（每题5分，共20分）要求：从四个选项中选出正确答案。1.已知函数f(x)=x^2+2x+3，则函数f(x)的图像的对称轴是：A.x=-1B.x=1C.y=-1D.y=12.已知等差数列{an}的公差为d，且a1=3，a5=11，则d的值为：A.2B.3C.4D.53.若复数z满足|z-1|=2，则复数z在复平面上的轨迹是：A.圆B.线段C.点D.直线4.已知函数f(x)=log2(x-1)，则f(x)的定义域是：A.x>1B.x≥1C.x<1D.x≤15.若向量a=(2,3)，向量b=(1,2)，则向量a和向量b的数量积是：A.7B.5C.9D.36.已知等比数列{bn}的公比为q，且b1=2，b3=8，则q的值为：A.2B.4C.1D.1/2二、填空题（每题5分，共20分）要求：直接写出答案。1.函数f(x)=x^3-3x+1的零点是______。2.已知等差数列{an}的公差为d，且a1=5，a4=13，则an=______。3.复数z=3+4i的模是______。4.函数f(x)=|x-2|+|x+3|的最小值是______。5.向量a=(2,3)与向量b=(1,2)的夹角余弦值是______。6.已知等比数列{bn}的公比为q，且b1=3，b4=27，则bn=______。三、解答题（每题10分，共20分）要求：写出解题过程，求解答案。1.解不等式组：$$\begin{cases}{2x-3y<6}\\{x+y>2}\end{cases}$$，并画出不等式组的解集。2.已知函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1，求函数f(x)的极值。四、证明题（每题10分，共20分）要求：证明下列命题。1.证明：若a、b、c是等差数列的连续三项，则a^2+b^2+c^2=3abc。2.证明：对于任意实数x，都有x^3+x+1≥x+1。五、计算题（每题10分，共20分）要求：计算下列各题，写出计算过程。1.计算定积分$$\int_{0}^{2}(3x^2-4x+1)\,dx$$。2.解方程组：$$\begin{cases}{x^2+2xy-3y^2=0}\\{x-y=1}\end{cases}$$。六、应用题（每题10分，共20分）要求：根据题目条件，列出方程或方程组，并求解。1.某工厂生产两种产品A和B，生产产品A的利润为每件50元，生产产品B的利润为每件30元。若每天生产产品A和B共需投入原材料1000元，且生产产品A和B的工时比为2:3，求每天生产产品A和B各多少件，以使利润最大。2.一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，行驶了2小时后，速度减为40公里/小时，再行驶了3小时后，速度再次减为60公里/小时。求汽车在这段时间内的平均速度。本次试卷答案如下：一、选择题1.B.x=1解析：函数f(x)=x^2+2x+3是一个二次函数，其标准形式为f(x)=a(x-h)^2+k，其中(h,k)是顶点坐标。通过配方或使用顶点公式，可以找到顶点坐标为(-1,-2)，因此对称轴是x=-1。2.A.2解析：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中a1是首项，d是公差。根据题目给出的信息，可以列出方程a5=a1+4d，解得d=2。3.A.圆解析：复数z满足|z-1|=2表示z到点(1,0)的距离为2，这是一个以(1,0)为圆心，半径为2的圆。4.A.x>1解析：函数f(x)=log2(x-1)中的对数部分要求x-1>0，即x>1，因此定义域是x>1。5.A.7解析：向量a和向量b的数量积是a·b=2*1+3*2=2+6=7。6.A.2解析：等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)，其中a1是首项，q是公比。根据题目给出的信息，可以列出方程b3=a1*q^2，解得q=2。二、填空题1.1,-1解析：通过因式分解或使用求根公式，可以找到函数f(x)=x^3-3x+1的零点为1和-1。2.5+2(n-1)解析：根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，代入a1=5和d=2，得到an=5+2(n-1)。3.5解析：复数z=3+4i的模是|z|=√(3^2+4^2)=√(9+16)=√25=5。4.5解析：函数f(x)=|x-2|+|x+3|的最小值出现在x的值使得两个绝对值内的表达式都为0，即x=2或x=-3。在这两个点上，函数值为5。5.1/√5解析：向量a=(2,3)与向量b=(1,2)的夹角余弦值是a·b/(|a||b|)=(2*1+3*2)/(√(2^2+3^2)√(1^2+2^2))=7/(√13√5)=7/(√65)=1/√5。6.3*2^(n-1)解析：根据等比数列的通项公式an=a1*q^(n-1)，代入a1=3和q=2，得到bn=3*2^(n-1)。三、解答题1.解不等式组：解析：首先，将不等式组中的不等式转换为等式，得到2x-3y=6和x+y=2。然后，在坐标系中画出这两条直线，找到它们的交点，这个交点就是不等式组的解集。2.求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+1的极值：解析：首先，求函数的导数f'(x)=3x^2-12x+9。然后，找到导数等于0的点，即解方程3x^2-12x+9=0。解得x=1和x=3。通过测试这些点附近的值，可以确定x=1是极大值点，x=3是极小值点。计算这些点的函数值，得到极大值为f(1)=1，极小值为f(3)=1。四、证明题1.证明：若a、b、c是等差数列的连续三项，则a^2+b^2+c^2=3abc。解析：设等差数列的公差为d，则b=a+d，c=a+2d。根据等差数列的性质，有b-a=d和c-b=d。现在要证明a^2+b^2+c^2=3abc。左边=a^2+(a+d)^2+(a+2d)^2=a^2+a^2+2ad+d^2+a^2+4ad+4d^2=3a^2+6ad+5d^2右边=3abc=3a(a+d)(a+2d)=3a(a^2+3ad+2d^2)=3a^3+9a^2d+6ad^2由于a^2+b^2+c^2=3a^2+6ad+5d^2和3a^3+9a^2d+6ad^2都包含3a^2和6ad，因此只需证明5d^2=6ad^2。由于d不为0，可以两边同时除以d^2，得到5=6a，这与等差数列的性质矛盾，因为公差d不可能等于0。因此，原命题成立。2.证明：对于任意实数x，都有x^3+x+1≥x+1。解析：要证明的不等式可以简化为x^3≥0。对于任意实数x，x^3的符号取决于x的符号。如果x≥0，那么x^3≥0显然成立。如果x<0，那么x^3是负数，但加上x和1后，不等式仍然成立，因为负数加上一个正数（x+1）仍然是一个负数，而x^3是负数，所以x^3+x+1仍然大于或等于x+1。因此，对于任意实数x，都有x^3+x+1≥x+1。五、计算题1.计算定积分$$\int_{0}^{2}(3x^2-4x+1)\,dx$$。解析：首先，找到被积函数的原函数，即对3x^2-4x+1进行不定积分。原函数为x^3-2x^2+x。然后，使用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分：$$\int_{0}^{2}(3x^2-4x+1)\,dx=[x^3-2x^2+x]_{0}^{2}$$$$=(2^3-2*2^2+2)-(0^3-2*0^2+0)$$$$=(8-8+2)-0$$$$=2$$2.解方程组：$$\begin{cases}{x^2+2xy-3y^2=0}\\{x-y=1}\end{cases}$$解析：首先，从第二个方程中解出x，得到x=y+1。然后，将x的表达式代入第一个方程中：$$(y+1)^2+2(y+1)y-3y^2=0$$展开并整理得到：$$y^2+2y+1+2y^2+2y-3y^2=0$$$$y^2+4y+1=0$$使用求根公式解这个一元二次方程，得到y的两个解。然后，将y的解代入x=y+1中，得到对应的x值。六、应用题1.某工厂生产两种产品A和B，生产产品A的利润为每件50元，生产产品B的利润为每件30元。若每天生产产品A和B共需投入原材料1000元，且生产产品A和B的工时比为2:3，求每天生产产品A和B各多少件，以使利润最大。解析：设每天生产产品A的数量为2x件，产品B的数量为3x件。根据题目条件，有2x+3x=1000/50+1000/30，即5x=20+100/3。解得x=12/3=4。因此，生产产品A的数量为2x=2*4=8件，产品B的数量为3x=3*4=12件。2.一辆汽车以60公里/小时的速度行驶，行驶了2小时后，速度减为40公里/