2025版高中数学课时作业8等差数列的概念与通项公式新人教A版必修5

PAGE1-课时作业8等差数列的概念与通项公式[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列命题：①数列6,4,2,0是公差为2的等差数列；②数列a，a－1，a－2，a－3是公差为－1的等差数列；③等差数列的通项公式肯定能写成an＝kn＋b的形式(k，b为常数)；④数列{2n＋1}是等差数列．其中正确命题的序号是()A．①②B．①③C．②③④D．③④解析：依据等差数列的定义，①中，数列6,4,2,0的公差为－2，①错；②③④均正确．答案：C2．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是()A．15B．30C．31D．64解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，由条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋6d＋a1＋8d＝16，,a1＋3d＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－\f(17,4)，,d＝\f(7,4)，))则a12＝a1＋11d＝－eq\f(17,4)＋11×eq\f(7,4)＝15.答案：A3．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a101＝()A．49B．50C．51D．52解析：∵2an＋1＝2an＋1，∴an＋1－an＝eq\f(1,2)，∴数列{an}是首项为2，公差为eq\f(1,2)的等差数列，∴a101＝a1＋100d＝2＋100×eq\f(1,2)＝52.答案：D4．已知等差数列{an}中各项都不相等，a1＝2，且a4＋a8＝aeq\o\al(2,3)，则公差d＝()A．0B.eq\f(1,2)C．2D．0或eq\f(1,2)解析：依据题意知d≠0，a4＋a8＝aeq\o\al(2,3)⇒a1＋3d＋a1＋7d＝(a1＋2d)2.又a1＝2，则4＋10d＝(2＋2d)2，解得d＝eq\f(1,2)或d＝0(舍去)，故选B.答案：B5．已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5，则m和nA．2B．3C．6D．9解析：由题意得2n＋m＝8,2m＋n＝10.两式相加得3m＋3n＝18，所以m＋n＝6，所以m和答案：B二、填空题(每小题5分，共15分)6．等差数列{an}的前三项依次为x,2x＋1,4x＋2，则它的第5项为________．解析：由x,2x＋1,4x＋2成等差数列，得2(2x＋1)＝x＋4x＋2，解得x＝0，∴a1＝0，a2＝1，公差d＝1，故a5＝a1＋4d＝4.答案：47．已知1，x，y,10构成等差数列，则x，y的值分别为________．解析：由已知，x是1和y的等差中项，即2x＝1＋y，①y是x和10的等差中项，即2y＝x＋10，②由①②可解得x＝4，y＝7.答案：4,78．已知数列{an}中，a3＝2，a7＝1，则数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an＋1)))为等差数列，则a5＝________.解析：由题意eq\f(1,a3＋1)，eq\f(1,a5＋1)，eq\f(1,a7＋1)成等差数列，所以2×eq\f(1,a5＋1)＝eq\f(1,2＋1)＋eq\f(1,1＋1)，解得a5＝eq\f(7,5).答案：eq\f(7,5)三、解答题(每小题10分，共20分)9．在等差数列{an}中，a1＋a5＝8，a4＝7.(1)求数列的第10项；(2)问112是数列{an}的第几项？解析：设{an}公差为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a1＋4d＝8，,a1＋3d＝7，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－2，,d＝3，))(1)a10＝a1＋9d＝－2＋27＝25.(2)an＝－2＋(n－1)×3＝3n－5，由112＝3n－5，解得n＝39.所以112是数列{an}的第39项．10．已知数列{an}，满意a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2).(1)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是否为等差数列？说明理由；(2)求an.解析：(1)数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是等差数列，理由如下：因为a1＝2，an＋1＝eq\f(2an,an＋2)，所以eq\f(1,an＋1)＝eq\f(an＋2,2an)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,an).所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝eq\f(1,2).即eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是首项为eq\f(1,a1)＝eq\f(1,2)，公差为d＝eq\f(1,2)的等差数列．(2)由上述可知eq\f(1,an)＝eq\f(1,a1)＋(n－1)d＝eq\f(n,2)，所以an＝eq\f(2,n).[实力提升](20分钟，40分)11．{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d＝()A．2B.eq\f(3,2)C．1D.eq\f(1,2)解析：∵{an}是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，∴a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减得a3－a1＝2d＝4－2，解得d＝1.答案：C12．一个等差数列的首项为eq\f(1,25)，从第10项起起先比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是______．解析：由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a10>1，,a9≤1))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,25)＋9d>1，,\f(1,25)＋8d≤1))，所以eq\f(8,75)<d≤eq\f(3,25).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,75)，\f(3,25)))13．已知△ABC的三边a，b，c成等差数列，eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)也成等差数列，推断△ABC的形态．解析：由a，b，c成等差数列得a＋c＝2b.①由eq\r(a)，eq\r(b)，eq\r(c)成等差数列得eq\r(a)＋eq\r(c)＝2eq\r(b).②②2－①得2eq\r(ac)＝2b，即b2＝ac.将①平方得a2＋2ac＋c2＝4b2③将b2＝ac代入③得a2＋2ac＋c2＝4ac，即(a－c)2＝0，∴a＝c.又∵a＋c＝2b，∴2a＝2b，∴a＝b，∴a＝b＝c14．已知数列{an}满意an＋1＝eq\f(6an－4,an＋2)，且a1＝3(n∈N*)．(1)证明：数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－2)))是等差数列；(2)求数列{an}的通项公式．解析：(1)证明：eq\f(1,an＋1－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(1,\f(6an－4,an＋2)－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an＋2,4an－2)－eq\f(1,an－2)＝eq\f(an＋2－4,4an－2)＝eq\f(1,4).∵a1＝3，∴eq\f(1,a1－2)＝eq\f(1,3