滁州市定远县2023年九年级《数学》上学期期末试题与参考答案

30/30滁州市定远县2023年九年级《数学》上学期期末试题与参考答案一、选择题本大题共10小题，共40分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项。1.若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（）A.a≠0 B.a≠2 C.a＜2 D.a＞2【答案】B【详解】解：因为函数y=（2-a）x2-x是二次函数，所以2-a≠0，即a≠2，故选B．2.已知的图象如图所示，对称轴为直线，若，是一元二次方程的两个根，且，，则下列说法正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【分析】利用函数图象对称轴位置及抛物线与轴交点的位置，分别判断四个结论正确性．【详解】解：，是一元二次方程的两个根，、是抛物线与轴交点的横坐标，抛物线的对称轴为，，即，故选项错误；由图象可知，，，解得：，故选项正确；抛物线与轴有两个交点，，故选项错误；由对称轴可知，可知，故选项错误．故选：．【点睛】主要考查二次函数与一元二次方程之间的关系，会利用对称轴的值求抛物线与轴交点的横坐标间的数量关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．3.如图，直线AB交x轴于点C，交反比例函数y＝（a＞1）的图像于A、B两点，过点B作BD⊥y轴，垂足为点D，若S△BCD＝5，则a的值为（）A.8 B.9 C.10 D.11【答案】D【分析】设，由S△BCD=即可求解.【详解】解：设，因为BD⊥y轴所以S△BCD==5，解得：故选：D．【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，掌握反比例函数的相关知识是解题的关键．4.如图，中，点D，E分别在，边上，．若，则等于（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据平行线分线段成比例，得到；【详解】解：因为，所以，故选：A．5.如图，在中，，，点从点出发以1个单位长度/秒的速度向点运动，同时点从点出发以2个单位长度/秒的速度向点运动，其中一点到达另一点即停．当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为（）A.秒 B.秒 C.秒或秒 D.以上均不对【答案】C【分析】首先设秒钟与以、、为顶点的三角形相似，则，，，然后分两种情况当和当讨论．【详解】解：设运动时间为秒．，，，当，，即，解得；当，，即，解得，综上所述，当以，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为或，故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，注意数形结合思想与分类讨论思想．6.如图，在等边中，点D，E分别是上的点，，则（）A.3 B. C. D.【答案】D【分析】先利用三角形的外角性质证明，再证明，再利用相似三角形的性质即可求得答案．【详解】解：，，，，又，，，等边中，，设，，，，；故选：D．【点睛】此题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握相关性质与判定是解答此题的关键．7.如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，已知点的横坐标为，点的横坐标为，点的坐标为，则点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【分析】根据位似图形的概念得到，得到，进而求出，根据位似变换的性质计算，得到答案．【详解】解：点的横坐标为，点的横坐标为，所以，与是以原点为位似中心的位似图形，所以，，所以，与的相似比为：，点的坐标为，点的坐标是，故选：．【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．8.若∠A为锐角，且sinA＝，则cosA的值是()A.1 B. C. D.【答案】D【分析】先由正弦求出∠A，再求出∠A的余弦．【详解】因为，sinA＝，所以，∠A=60°所以，cosA=cos60°=0.5，故选D9.如图为东西流向且河岸平行的一段河道，点，分别为两岸上一点，且点在点正北方向，由点向正东方向走米到达点，此时测得点在点的北偏西55°方向上，则河宽的长为（）米 B.米 C.米 D.米【答案】D【分析】根据题意求出∠ABC的度数，再利用三角函数求解即可．【详解】解：如图，因为点B在点C的北偏西55°方向上，所以∠BCD=55°，因为该河道东西流向且与河岸平行，点B在点A正北方向，所以AB⊥AC，所以AB∥CD，所以∠ABC=55°，因为点A向正东方向走a米到达点C，所以AC=a，所以故选D．【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用，涉及到三角函数值的问题，解决本题的关键是读懂题意，能在图形中找出相应的角或线段，牢记三角函数公式等，考查了学生应用数学的意识与能力．10.如图，点在第二象限，与轴负半轴的夹角是，且，则点的坐标为（） B. C. D.【答案】B【分析】过点P作PA⊥x轴于A，利用求出OA，再根据勾股定理求出PA即可得到点P的坐标.【详解】过点P作PA⊥x轴于A，因为，所以，所以=4，因为点在第二象限，所以点P的坐标是（-3,4）故选：B.【点睛】此题考查三角函数，勾股定理，直角坐标系中点的坐标特点，解题中注意点所在象限的坐标的符号特点.二、填空题本大题共4小题，共20分。11.如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形ABC的腰AB经过原点，底边BC与x轴平行，反比例函数y＝的图象经过A、B两点，若点A的坐标为（1，4），则点C的坐标为_____．【答案】（3，﹣4）．【分析】根据反比例函数的对称性求得B的坐标，然后根据等腰三角形的性质求得D的坐标，进而求得C的坐标．【详解】解：作AD⊥BC于D，因为BC等腰三角形ABC的底边，所以CD＝BD，因为反比例函数y＝的图象经过A、B两点，若点A的坐标为（1，4），所以B（﹣1，﹣4），所以D（1，﹣4），所以BD＝2，所以CD＝BD＝2，所以C（3，﹣4），故答案为（3，﹣4）．【点睛】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知等腰三角形的性质及反比例函数的图象与性质．12.有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米．设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米，则水深超过_____米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．【答案】2.76【分析】以拱顶为坐标原点，水平向右为x轴正方向，建立平面直角坐标系．根据题中数据求出抛物线解析式．桥下水面的宽度不得小于18米，即求当x=9时y的值，然后根据正常水位进行解答．【详解】设抛物线解析式为y=ax2，把点B（10，﹣4）代入解析式得：﹣4=a×102，解得：a=﹣，所以y=﹣x2，把x=9代入，得：y=﹣=﹣3.24，此时水深=4+2﹣3.24=2.76米．故答案是：2.76.【点睛】考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题．13.如图，正方形中，为上一点，交的延长线于点，若，，则的长为__．【答案】7【分析】利用同角的余角相等可得出∠ABP=∠DPF，结合∠A=∠D可得出△APB∽△DFP，利用相似三角形的性质可求出DF的长，进而可得出CF的长，由∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF可得出△PFD∽△EFC，再利用相似三角形的性质可求出CE的长．【详解】解：因为四边形ABCD为正方形，所以∠A=∠D=∠BCD=90°，AB=AD=CD=6，所以DP=AD-AP=2，∠BCD=∠ECF=90°因为BP⊥PE，所以∠BPE=90°，所以∠APB+∠DPF=90°．因为∠APB+∠ABP=90°，所以∠ABP=∠DPF．又因为∠A=∠D，所以△APB∽△DFP，所以，即，所以所以因为∠PFD=∠EFC，∠D=∠ECF，所以△PFD∽△EFC，，即所以CE=7．故答案为：7．【点睛】本题考查了相似三角形判定与性质以及正方形的性质，利用相似三角形的判定定理，找出△APB∽△DFP及△PFD∽△EFC是解题的关键．14.如图，某船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，船航行了海里后到达点，这时测得小岛在北偏东方向上，船继续航行到点时，测得小岛恰好在船的正北方，则此时船到小岛的距离为________海里．【答案】【分析】设海里，可得海里，海里，然后根据海里列方程求解即可．【详解】解：设海里，依题意得，，，海里，海里，海里，海里，即，，故答案：．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握含特殊角的三角形的边角关系是解题的关键．三、解答题本大题共9小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.计算：（1）；（2）.【答案】(1)0;(2)【详解】试题分析：（1）将特殊角的三角函数值代入求解．（2）利用特殊角的三角函数值、绝对值及二次根式的混合运算的顺序求解即可．试题解析：（1）原式（2）原式16.设二次函数，的图像的顶点坐标分别为，．若，，且开口方向相同，则称是的“反倍顶二次函数”．（1）请写出二次函数的“反倍顶二次函数”；（2）已知关于的二次函数和二次函数．若函数恰是的“反倍顶二次函数”，求的值．【答案】（1）（2）【分析】（1）根据“反倍顶二次函数”的定义，求出顶点坐标即可解决问题；（2）根据“反倍顶二次函数”定义，列出方程即可解决问题．【小问1详解】解：，二次函数的顶点坐标为，二次函数的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为，这个“反倍顶二次函数”的解析式为；【小问2详解】，顶点坐标为，，顶点坐标为，函数恰好是的“反倍顶二次函数”，，解得．17.如图，反比例函数的图像与一次函数的图像相交于，两点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）点P在线段AB上，且，直接写出点P的坐标；（3）设直线AB交y轴于点C，点是x轴正半轴上的一个动点，过点N作轴交反比例函数的图像于点M，连接CN，OM．若S四边形COMN＞3，直接写出t的取值范围．【答案】（1）反比例函数的解析式为，一次函数解析式为（2）点P的坐标为（，）（3）t＞【分析】（1）将点B，点A坐标代入反比例函数的解析式，可求a和k的值，利用待定系数法可求一次函数解析式；（2）连接OA，OB，OP，求得OC的长，根据，，求得进而求得点P的坐标；（3）先求出点C坐标，由面积关系可求解．【详解】（1）因为反比例函数的图像与一次函数的图像相交于，两点，所以，所以，所以点，所以反比例函数的解析式为，由题意可得：，解得：，所以一次函数解析式为；（2）连接OA，OB，OP，令代入，解得，所以一次函数与轴的交点C坐标为，所以，因为点P在线段AB上，所以设点P为，因为点A，点B，所以，因为，所以，因为，所以，解得，所以，所以点P的坐标为；（3）因为直线AB交轴于点C，所以点C，所以，因为，所以，所以．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式，反比例函数的性质等知识，求出两个解析式是解题的关键．18.某公司销售一种商品，成本为元件，公司规定售价不能低于元件，经过市场调查发现，该商品的日销售量（件）与销售单价（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的几组对应数值如表：销售单价（元）日销售量（件）（1）求出与之间的函数关系式；（2）该商品的销售单价定为多少元，公司日销售此商品获得的利润最大？最大利润是多少元？（3）若该商品的日销售量不少于件，公司日销售此商品获得的最大利润是多少元？【答案】（1）（2）该商品的销售单价定为元，公司日销售此商品获得的利润最大，最大利润是元（3）该商品的日销售量不少于件，公司日销售此商品获得的最大利润是元【分析】（1）根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式；（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量列出函数解析式，根据函数的性质和自变量的取值范围求函数最值；（3）根据售价不能低于元件和该商品的日销售量不少于件求出的取值范围，再根据（2）中函数解析式，由函数的性质最值．【小问1详解】设与解析式为，将和代入，可得，解得，与之间的函数关系式为；【小问2详解】设公司销售该商品获得的日利润为元，，，且，，，当时，有最大值，最大值为，答：该商品的销售单价定为元，公司日销售此商品获得的利润最大，最大利润是元；【小问3详解】当时，解得，，由（2）知，，，当时，随的增大而增大，当时，最大，最大值为，答：该商品的日销售量不少于件，公司日销售此商品获得的最大利润是元．【点睛】本题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目．19.如图，已知，若三点共线，线段与交于点．（1）求证：；（2）若，，的面积为，求的面积．【答案】（1）见解析（2）32【解析】【分析】（1）由，可得，可得，所以，由两边对应成比例且夹角相等的三角形相似可得结论；（2）由（1）知，，所以，易证，进而得，所以，由此可得出结论．【小问1详解】证明：，，，即，，；【小问2详解】解：由（1）知，，，，，，，，，，．20.如图大楼的高度为37m，小可为了测量大楼顶部旗杆的高度，他从大楼底部处出发，沿水平地面前行32m到达处，再沿着斜坡走20m到达处，测得旗杆顶端的仰角为．已知斜坡与水平面的夹角，图中点，，，，，在同一平面内（结果精确到0.1m）．（1）求斜坡的铅直高度和水平宽度．（2）求旗杆的高度．（参考数据：，，，）【答案】（1）斜坡的铅直高度约为12m和水平宽度约为16m（2）旗杆的高度约为2.7m【分析】（1）在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；（2）过点作，垂足为，根据题意可得：，则然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算即可解答.【小问1详解】在中，，，所以，所以斜坡的铅直高度约为12m和水平宽度约为16m；【小问2详解】过点作，垂足为，由题意得：，所以，在中，，所以，所以所以旗杆的高度约为2.7m．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．21.如图，在四边形中，，点在上，，垂足为．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若平分，求和的长．【答案】（1）见详解；（2），【分析】（1）由题意易得AD∥CE，然后问题可求证；（2）由（1）及题意易得EF=CE=AD，然后由可进行求解