2023八年级数学上册 第十五章 分式15.2 分式的运算15.2.3 整数指数幂第2课时 负整数指数幂的应用教学设计（新版）新人教版

2023八年级数学上册第十五章分式15.2分式的运算15.2.3整数指数幂第2课时负整数指数幂的应用教学设计（新版）新人教版授课内容授课时数授课班级授课人数授课地点授课时间课程基本信息1.课程名称：八年级数学上册第十五章分式15.2分式的运算15.2.3整数指数幂第2课时负整数指数幂的应用

2.教学年级和班级：八年级（2）班

3.授课时间：2023年3月15日，第2节课

4.教学时数：1课时

亲爱的同学们，大家好！今天我们要一起走进数学的奥秘世界，探索负整数指数幂的神奇魅力。让我们一起用数学的思维，解开这个神秘的面纱吧！🎓🔍💡核心素养目标1.理解和运用负整数指数幂的概念，提高抽象思维和逻辑推理能力。

2.学会运用指数运算解决实际问题，增强数学应用意识。

3.培养合作学习的能力，通过小组讨论和交流，提高沟通与表达技巧。

4.增强解决问题的信心，学会面对数学挑战时保持积极乐观的态度。教学难点与重点1.教学重点：

-重点掌握负整数指数幂的定义及其运算规则。

-理解并能够正确进行负整数指数幂的乘除运算。

-能够运用负整数指数幂简化表达式，如\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)。

-举例：讲解\(2^{-3}\times4^{-2}\)的计算过程，强调指数运算的规则。

2.教学难点：

-理解负整数指数幂的直观意义，即分数的倒数和指数的关系。

-突破对负指数运算的直观理解障碍，如\(a^{-n}\)如何转化为\(\frac{1}{a^n}\)。

-应用负整数指数幂解决实际问题，如将指数运算应用于几何图形的面积或体积计算。

-举例：在讲解\(a^{-n}\)的含义时，可以通过实际例子，如\(a^{-2}\)代表一个数的平方的倒数，帮助学生建立直观理解。在解决实际问题中，如计算一个立方体的体积时，如何利用\(a^{-3}\)来表示其体积的倒数。教学资源准备1.教材：确保每位学生都备有最新版的新人教版八年级数学上册教材。

2.辅助材料：准备与负整数指数幂相关的图片、图表，以及指数运算的动画演示视频，以帮助学生直观理解概念。

3.教学工具：准备计算器，以便学生在进行复杂运算时使用。

4.教室布置：设置小组讨论区，并准备白板或投影仪，以便展示解题过程和互动讨论。教学流程1.导入新课（用时5分钟）

-首先复习上节课的内容，引导学生回顾分数指数幂的概念和运算规则。

-展示一些简单的分数指数幂运算题目，让学生自主完成，以激活学生的已有知识。

-提问：“大家知道，当指数为正整数时，分数指数幂是如何计算的？那么当指数为负整数时，又该如何处理呢？”

-通过这样的提问，自然过渡到本节课的主题——负整数指数幂。

2.新课讲授（用时15分钟）

-第一步：介绍负整数指数幂的定义，用具体例子说明\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)的含义。

-举例：讲解\(2^{-3}\)是\(2\)的三次方的倒数，即\(\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}\)。

-第二步：讲解负整数指数幂的运算规则，强调乘除运算的规则。

-举例：计算\(2^{-3}\times4^{-2}\)，引导学生思考如何运用指数运算的规则进行简化。

-第三步：通过实例展示如何将负整数指数幂应用于实际问题中。

-举例：使用负整数指数幂计算一个图形的面积或体积，如计算一个边长为\(a\)的立方体的表面积。

3.实践活动（用时10分钟）

-第一步：让学生独立完成一些负整数指数幂的运算题目，如\(3^{-2}\times5^{-3}\)。

-第二步：小组合作，解决一些实际问题，如计算一个长方体的体积，已知长、宽、高分别为\(a^{-2}\)、\(b\)、\(c^3\)。

-第三步：让学生尝试将负整数指数幂与分数指数幂进行对比，找出它们的异同点。

4.学生小组讨论（用时10分钟）

-第一方面：讨论负整数指数幂的直观意义。

-举例：讨论\(a^{-n}\)和\(a^n\)的关系，如何通过图形或实际物品来帮助理解倒数和指数的关系。

-第二方面：讨论负整数指数幂在解决实际问题中的应用。

-举例：讨论如何使用负整数指数幂来简化复杂表达式，如化简\(a^{-3}\timesb^4\divc^2\)。

-第三方面：讨论学生在运算过程中遇到的问题和困惑。

-举例：讨论如何正确处理指数为负数的除法运算，如\(2^{-4}\div2^{-2}\)。

5.总结回顾（用时5分钟）

-对本节课的内容进行总结，强调负整数指数幂的定义、运算规则和实际应用。

-提问学生：“今天我们学习了负整数指数幂，你们觉得它有什么特点？它在数学中有什么作用？”

-引导学生回顾本节课的重难点，如负整数指数幂的定义和运算规则。

-布置课后作业，让学生巩固所学知识，如完成教材中的练习题和拓展题。

整个教学流程用时约35分钟，剩余时间可以用于个别辅导和课堂小结。教学资源拓展1.拓展资源：

-负整数指数幂的几何解释：可以引入几何图形，如正方体、长方体等，通过图形的面积和体积来帮助学生理解负整数指数幂的几何意义。

-指数运算的历史背景：介绍指数运算的发展历程，从古埃及到现代数学，让学生了解指数运算是如何演变成今天的形式。

-指数函数的性质：介绍指数函数的基本性质，如单调性、奇偶性等，这些性质在理解负整数指数幂时也会有所帮助。

2.拓展建议：

-学生可以尝试自己绘制一些指数函数的图像，观察图像随指数的变化而变化的规律。

-鼓励学生通过实际生活情境来应用负整数指数幂，例如计算贷款利息、计算折扣后的价格等。

-组织学生进行小组项目，每个小组选择一个与负整数指数幂相关的数学问题，通过合作研究，提出解决方案并展示给全班。

具体拓展建议如下：

-**几何解释拓展**：

-让学生制作一个正方体模型，并计算其表面积和体积，然后讨论如何使用负整数指数幂来表示这些几何量的倒数。

-通过实验，让学生观察不同形状的图形在缩小或放大时，其面积和体积如何变化，从而理解指数幂在几何中的应用。

-**历史背景拓展**：

-提供一些关于指数运算历史发展的资料，让学生了解指数的概念是如何从古埃及的数学文献中逐渐发展起来的。

-通过研究历史文献，让学生了解指数运算在古代数学中的应用，以及它们是如何被现代数学所采纳和发展的。

-**指数函数性质拓展**：

-通过图形计算器或在线工具，让学生绘制指数函数\(y=a^x\)（\(a>1\)）和\(y=a^{-x}\)的图像，比较两者的差异。

-讨论指数函数的单调性、奇偶性和周期性，让学生通过实际操作来观察这些性质。

-**实际问题应用拓展**：

-设计一些实际问题，如计算复利的利息，或者计算折扣后的价格，让学生应用负整数指数幂来解决这些问题。

-让学生收集现实生活中的例子，如科技发展中的指数增长，如计算机处理速度的提高等，分析这些例子中的指数增长模式。

-**小组项目拓展**：

-分配给每个小组一个与负整数指数幂相关的数学问题，如“如何使用负整数指数幂来计算一个物体的表面积或体积的倒数？”

-小组需要研究问题、设计解决方案、收集数据、进行实验、分析结果，并最终向全班展示他们的发现。典型例题讲解1.例题1：计算\(3^{-2}\times4^{-3}\)。

-解答：首先，将每个数的指数部分转换为正整数指数幂的倒数，即\(3^{-2}=\frac{1}{3^2}\)和\(4^{-3}=\frac{1}{4^3}\)。然后，进行乘法运算：

\[

3^{-2}\times4^{-3}=\frac{1}{3^2}\times\frac{1}{4^3}=\frac{1}{9}\times\frac{1}{64}=\frac{1}{576}

\]

-答案：\(\frac{1}{576}\)

2.例题2：化简表达式\(\frac{2^{-3}}{8^{-2}}\)。

-解答：首先，将分母的指数转换为正整数指数幂的倒数，即\(8^{-2}=\frac{1}{8^2}\)。然后，将分子和分母的指数相减：

\[

\frac{2^{-3}}{8^{-2}}=\frac{2^{-3}}{\frac{1}{8^2}}=2^{-3}\times8^2=\frac{1}{2^3}\times64=\frac{64}{8}=8

\]

-答案：8

3.例题3：求解方程\(x^{-3}=27\)。

-解答：首先，将方程两边同时乘以\(x^3\)，得到\(1=27x^3\)。然后，解\(x^3\)：

\[

x^3=\frac{1}{27}\Rightarrowx=\sqrt[3]{\frac{1}{27}}=\frac{1}{3}

\]

-答案：\(x=\frac{1}{3}\)

4.例题4：计算\((\frac{1}{2})^{-4}+(2^4)^{-1}\)。

-解答：首先，计算每个部分：

\[

(\frac{1}{2})^{-4}=2^4=16

\]

\[

(2^4)^{-1}=2^{-4}=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}

\]

然后，将两部分相加：

\[

16+\frac{1}{16}=\frac{256}{16}+\frac{1}{16}=\frac{257}{16}

\]

-答案：\(\frac{257}{16}\)

5.例题5：化简表达式\(\frac{a^{-3}}{b^3}\timesb^{-3}\timesa^3\)。

-解答：首先，将分母和分子中的指数部分合并：

\[

\frac{a^{-3}}{b^3}\timesb^{-3}\timesa^3=a^{-3}\timesa^3\timesb^{-3}\timesb^{-3}=a^{(-3+3)}\timesb^{(-3-3)}=a^0\timesb^{-6}=1\times\frac{1}{b^6}=\frac{1}{b^6}

\]

-答案：\(\frac{1}{b^6}\)内容逻辑关系①负整数指数幂的定义

-知识点：\(a^{-n}=\frac{1}{a^n}\)

-词句：倒数、指数、分数指数幂

②负整数指数幂的运算规则

-知识点：乘法运算\(a^{-m}\timesa^{-n}=a^{-(m+n)}\)，除法运算\(\frac{a^{-m}}{a^{-n}}=a^{-(m-n)}\)

-词句：指数法则、幂的乘除运算

③负整数指数幂的实