数学-辽宁实验中学2024-2025学年高一下学期第一次月考试卷+答案

27届高一下学期第一次月考一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的2.已知点P(tanθ,sin0)是第二象限的点，则θ的终边位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.下列四个函数中以π为最小正周期且为奇函数的是()A.f(x)=sinxB.f(x)=cos2xC.D.f(x)=tan(-x)4.鲁洛克斯三角形又称“勒洛三角形”(如图1),是一种特殊三角形，指分别以正三角形的顶点为圆心，以其边长R的圆O(如图2),A,B,C分别为圆周上的点，其中,现将扇形AOB,BOC分别剪下来，又在扇形AOC中裁剪下两个弓形分别鲁洛克斯三角形的面积为S₁,扇形AOC剩余部分的面积为S₂,若不计损耗，则S₁:S₂=()图1图25.将函数f(x)=Asin(wx+φ)+B,(A>②横坐标变为原来的,纵坐标不变；③向上平移1个单位长度.可得到g(x)=sinx的图像，则f(x)=()试卷第1页，共4页8.已知函数f(x)=sinx,若存在x₁,x₂,…,xmLf(x₁)-f(x₂)|+|f(x₂)-f(x₃)|+…+|f(xm_1)-f(xm)|=14(m≥2,m∈N),则m的最小值为()A.6二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分9.已知非零平面向量a,b,,下列结论中正确的是()C.若a+6|=1a-6|,则a⊥b;D.若(a+b)·(a-b)=0,则a=b或a=-b.10.已知,则下列说法正确的是()A.f(x)图像对称中心,kez,kez,kezD.若f(x)≥1,则,k∈Z11.海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.已知某港口水深f(t)(单位：m)与时间t(单位：h)从0~24时的关系可近f(t)的图象如图所示，则()C.当t=5时，水深度达到6.5mD.已知函数g(t)的定义域为[0,6],g(2t)=f(2t)-n有2个零点t,t₂,则试卷第3页，共4页试卷第3页，共4页三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分在区间上有且仅有两个零点，则w=四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.(13分)(1)已知tan(π+α)=2,求(2)已知0<α<π,且,求sinα-cosα的值.16.(15分)(1)当(a+2b)⊥(2a-b)且x>0时，求a-b;(2)17.(15分)图象的一条对称轴.18.(17分)某小区南门有条长100米、宽6米的道路(如图1所示的矩形ABCD),路的一侧划有20个长5米、宽2.5米的停车位(如矩形AEFG).由于停车位不足，高峰期时段道路拥堵，小区保安李师傅提出一个改造方案：在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位.记绿化带被压缩的宽度AM=d(米),停车位相对道路倾斜的角度∠E'A'M=θ,其中(1)若,求EE'和E'M的长；(2)求d关于θ的函数表达式d(0);(3)若d=3,按照李师傅的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个?图1(改造前)图2(改造后)19.(17分)“三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系.三角函数线经常可以理解为将单位圆上一点的坐标分别看作这点所在角的余弦和正弦，这样在解决和同一个角的余弦与正弦的方程或不等式或函数问题时可以把余弦与正弦还原成单位圆上一个点的坐标，通过几何意义来解决相关问题.例如要求cosθ+2sinθ的取值范围，只需设t=2cosθ+sinθ=2x+y,即y=-2x+t,使该条直线与单位圆的有公共点时在y轴截距的取值范围即可.(1)当设θ∈[0,π]时，利用上述内容求cosθ-sinθ的取值范围 (2)利用恒等式sin²θ+cos²θ=1和,求函数y₁=x-√1-x²和 最小值.(3)已知：若A+B+C=π,A,B,C∈[0,π]则有cos²A+cos²B+cos²C+2cosAcosBcosC=1.现有实数x,y满足，,求二元函数(x,y)=√x²-4√2x+9+2√2y+2bx²+2Dxy+1+x的最大值.试卷第4页，共4页15.(1)由题可知tanα=2,两边平方可,解得,又∵0<α<π∴,则sina-cosa>0,所以16.(1)因为向量a=(3,2),b=(x,-1).则a+2b=(3+2x,0),2a-b=(6-x,5),又因为(a+2b)⊥(2a-b),则(a+2b)·(2a-b)=0,可得(3+2x)(6-x)+0×5=0,解(2)由C=(-8,-1),b=(x,-1),a=(3,2),则b+c=(x-8,-2),由al|(b+c),可得解得x=5,即b=(5,-1),可得|a|=√13,|6|=√26,a·b=3×5+2×(-1)=13,则,且α∈[0,π],所以向量a与b的夹角(2)令2/π,k₂∈Z,,k₂∈Z,(3)由f(x)=1,f(x)=1在(0,α)内恰有两个不等实数根，所18.(1)由题意得E'F'=EE'=5,A'E'=AE=2.5,(2)由(1)可得EE'=E'F'cosθ=5cosθ,式子①²+②²得25+100=121+m²,解得m=±2,当m=2时，当m=-2时，,解,满足要求，此时由(1)可得∠EE'F'=∠MA'E'=∠A'A₂E=0,故则该路段改造后的停车位比改造前增加31-20=11个。19.(1)令t=cos⁰-sinO=x-y,0∈[0,π],即直线y=x-t与单位圆的上半圆有交(2)设x=cos⁰,0∈[0,π],则y₁=cosθ-sin⁰,囚为0∈[0,π],由(1)可知，其=-√4tan²θ+4+√4tan²0-4tanθ+7=-√(2tan0-0)²+(0-2)²+√(2tan0-1表示点P(2tanθ,0)到点A(0,2)和C(1,√6)的距离之差，所以(3)因为,故-1≤y≤1,同理-1≤x≤1。由已知得A+B+C=π,A,B,C∈[0,π],则令,则故设x=cosA,y=cosB,所以f(x,y)=x²-4√2x+9+2√2y+可得f(A)=√cos²A-4√2=√J2cosA-2)²+(sinA+2)²-=√J2cosA-2)²+(sinA+2)²-√√2=√J2cosA-2)²+(sin