八年级数学上册角度计算中的经典模型(举一反三)(含解析版)

角度计算中的经典模型【举一反三】

模型1双垂直模型

模型2A字模型

模型3双内角平分线模型

模型4内外角平分级模型

。沏分沂】

【模型1双垂直模型】

【条件】ZB=ZD=ZACE=90°.

【结论】ZBAC=ZDCE,ZACB=ZCED.

【例1】（2019春•润州区校级月考）如图，在△ABC中，NAC8=90°,尸是AC延长线上一点，FD1AB,

垂足为。，尸。与8。相交于点£,ZBED=55°.求NA的度数.

【变式1・1】（2019秋•凉州区校级期中）如图,△A8C中,/B=/C,FDLBC,DE1AB,ZAFD=152°,

求NA的度数.

【变式1-2](2019春•莲湖区期中)如图，在△ACT?中，NAC8=90CO_LA8于。.

(1)求证：N4CO=N8：

(2)若AF平分NCA3分别交CO、BC于E、F,求证；/CEF=/CFE.

【变式如图①，在RtAAAC,中，NAC8=9(T,CL)±AH,垂足为。，NAC1)与/〃有什么关系？

为什么？

(2)如图②，在RlZXABC中，ZC=90°,。、E分别在AC,AB±,且NAOE=N3,判断△AOE的形

状是什么？为什么？

(3)如图③，在RtAAAC和中，ZC=90°,ZE=90°,ABLBD,点C,B,E在同一直线上，

【模型2A字模型】

D

BC

【结论】ZBDE+ZCED=180°+ZA

【例2】（2019春•资中县月考）如图所示，ZVIBC中，ZC=75°，若沿图中虚线截去NC,则N1+N2等

于多少度？

【变式2-1］（2019春•长沙县校级期中）如图，已知NA=40°,求N1+N2+N3+N4的度数.

【变式2-2］（2019春•吁胎县期中）我们容易证明，三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和，那么,

三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？

C

（图2）

（图3）

I.尝试探究：

（1）如图1,NO8C与NEC3分别为△ABC的两个外角，试探究NA与N33C+NEC3之间存在怎样的数

量关系？为什么？

II.初步应用：

(2)如图2,在△ABC纸片中剪去△CED,得到四边形Zl=130°,则N2-NC=：

(3)小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3,在△A8C中，BP、CP分别平分外角N/J8C、NECB,

NP与NA有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案.

【变式2-3](2019春•盐都区期中)(I)如图I,已知4A8c为直角三角形，NA=90",若沿图中虚线剪

去NA,则N1+N2等于

A90°旦135°C.2700D.3150

(2)如图2,己知△A8C中，ZA=50a,剪去NA后成四边形，则/1+/2=°.

(3)如图2,根据(1)与(2)的求解过程，请你归纳猜想N1+N2与NA的关系是.

(4)如图3,若NA没有剪掉，而是若它折成如图3形状，试探究N1+N2与NA的关系并说明理由.

【模型3双内角平分线模型】

【条件】BP、CP分别为NABC、NACB的角平分线.

t结论】ZP=90°+1ZA.

2

【例3】(2018秋•开封期中)如图，中，

(1)若N8=70°,点P是△A4C的NBAC和N4C8的平分线的交点，求NAPC的度数.

(2)如果把(I)中N3=700这个条件去掉，试探索NAPC和N5之间有怎样的数量关系.

B

【变式3-1](2018秋•徐闻县期中)如图，在△A8C中，N48C与NACB的平分线交于点O.

(1)如图1,已知NA8C=40°,ZACB=6()a,求N8OC的度数.

(2)如图2.已知N人=90°，求NAOC的度数.

(3)如图1,设NA=〃/，求N80C的度数.

【变式3-2](2019春•南岗区期末)已知在△ABC中，ZA=100°,点3在8c的内部连接8Q,CD,

且NABO=NC8O,NACD=NBCD.

(1)如图1,求N8OC的度数：

(2)如图2,延长8。交AC于点E,延长CO交A8于点凡若/AEO・NAF7)=12°,求NA。/的度数.

【变式3-3](2019春•东阿县期末)已知任意一个-:角形的三个内角色和是1800.如图1,在△ABC中，

ZABC的角平分线BO与NACB的角平分线CO的交点为O

(1)若NA=70°,求/8O。的度数；

(2)若NA=m求/8OC的度数：

(3)如图2,若80、C。分别是NAB。、NACB的三等分线，也就是/O8C=g/48C,NOCB=fNACB,

NA=a,求的度数.

OO

BB

图1图2

【模型4内外角平分线模型】

【结论】ZA=1ZP.

2

【例4】（2018秋•江岸区期中）如图，△ABC中，NA8C与NAC5的外角的平分线相交于点£

（1）己知NA=60°,求NE的度数：

【变式4-1］（2019秋•卫滨区校级期中）如图，△A8C的外角NACO的平分线。户与内角NABC平分线8P

交于点P，若N8PC=40°,求NCA8的度数.

【变式4-2］（2019秋•莆田校级期中）如图所示，已知3。为aABC的角平分线，C。为aABC外角N4CE

的平分线，且与3。交于点。；

(1)若N48C=60°,ZDCE=70°,则NO=°:

(2)若N48C=70°,NA=80",则NO=°:

(3)当NA8c和NAC8在变化，而/A始终保持不变，则/。是否发生变化？为什么？由此你能得出什么

【变式4-3](2018秋•彭水县校级月考)如图，已知BO是△ABC的角平分线，C。是△A8C的外角乙4CE

的外角平分线，CD与BD交于点D.

(1)若NA=50°,则NO=:

(2)若NA=80°,则NO=；

(3)若NA=130°,则NO=:

(4)若NO=36°,则NA=；

(5)综上所述，你会得到什么结论？证明你的结论的准确性.

【模型5双外角平分线模型】

【条件】BP、CP分别为NEBC、NBCD的角平分线.

【结论】NP=90°qNA.

2

【例5】（2018秋•鄂伦春自治旗月考）如图，人钻。中，分别延长△ABC的边A3、AC至U。、E,NCBD

与N3CE的平分线相交于点P,爱动脑筋的小明在写作业的时发现如下规律：

（1）若NA=60°,则/尸='；

（2）若NA=40°,则/尸='；

（3）若NA=100°,则/尸=°；

（4）请你用数学表达式归纳NA与NP的关系.

【变式5-1］（2019秋•团风县校级月考）BD、CZ）分别是AABC的两人外角NC8E、NBC/的平分线,

求证：N8OC=90°--7^A.

A

【变式5-2](2019春•雨城区校级期中)如图，BLC7分别平分△A8C的外角/DBC和NEC&

(1)若NA3C=40°,NAC8=36°,求N8/C的大小；

(2)若NA=96°,试求N8/C；

(3)根据前面问题的求解，请归纳/3/C和N4的数量关系并进行证明.

【变式5-3]如图，在△A8C中，BD,C。是内角平分线，BP,CP是/ABC,NACZ?的外角平分线，分别

交于点。，P.

(1)若乙4=30°,求N8OC,/4PC的度数.

(2)若乙4=小°,求NBDC,/3PC的度数(直接写出结果，不必说明理由)

(3)想一想，NA的大小变化，对NZH/尸的值是否有影响，若有影响，请说明理由，若无影响，直接求

【结论】ZA+ZB=ZD+ZE.

【例6】(2019春•辉县市期末)图1,线段A3、CO相交于点。，连接八。、CB,我们把形如图1的图形称

之为“8字形”.如图2,在图1的条件下，/ZMB和N3CO的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、

A8分别相交于M、N.试解答下列问题：

(1)在图1中，请直接写出乙4、NB、NC、NO之间的数量关系：:

(2)仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个：

(3)图2中，当NO=50度，NB=40度时，求NP的度数.

(4)图2中N。和N3为任意角时，其他条件不变，试问NP与N。、N8之间存在着怎样的数量关系.(直

接写出结果，不必证明).

【变式6-1](2018春•新泰市期中)已知：如图，AM,CM分别平分/区4。和N3CD

①若N8=32°,ZD=38°,求NM的度数;

②探索NM与N5、N。的关系并证明你的结论.

B

M

D

【变式6-2]（2018秋•南昌期中）如图1,已知线段48、CQ相交于点。，连接AC、BD,则我们把形如这

样的图形称为“8字型”.

(1)求证：N4+NC=NB+NO；

（2）如图2,若NC48和N8QC的平分线AP和QP相交于点P,且与C。、分别相交于点M、N.

①以线段AC为边的“8字型”有个，以点。为交点的“8字型”有个：

②若NB=10（r,ZC=120°,求NP的度数：

@若角平分线中角的关系改为NCA”,ZCD/*=1^CDB\试探究N/＞与N。、NC之间存在

【变式6-3]（2018秋•青岛期末）【问题背景】

（1）如图1的图形我们把它称为“X字形”，请说理证明NA+N“=NC+/〃

【简单应用】

（2）如图2,AP.CP分别平分/BAD、/BCD,若NABC=20°,ZADC=26°,求NP的度数（可直接

使用问题（1）中的结论）

【问题探究】

（3）如图3,直线AP平分/朋。的外角/用D,CP平分NBC。的外角NBCE,若NA3C=36°,ZADC

=16°,猜想NP的度数为

【拓展延伸】

（4）在图4中，若设NC=x,NB=y,NC4P=；NC4&NCDP=；NCDB,试问N/）与NC、NB之间

的数量关系为（用小），表示NP）

（5）在图5中，AP平分NBA。，CP平分NBCO的外角N8CE,猜想NP与N8、NZ）的关系，直接写出

结论，

【模型7燕尾模型】

AA

【结论】ZBPC=ZA+ZB+ZC.

【例7】（2019春•冠县期末）（1）探究：如图I,求证：NBOC=NA+NB+NC.

（2）应用：如图2,NA8C=100",NOE尸=130°,求N4+NC+NO+N尸的度数.

【变式7-1］（2019秋•平度市期末）材料阅读：如图①所示的图形，像我们常见的学习用品-圆规.我

们不妨把这样图形叫做“规形图”.

解决问题：

.4

（】）观察“规形图”，试探究N8QC与N4,/艮NC之间的数量关系，并说明理由：

（2）请你直接利用以上结论，解决以下两个问题：

I.如图②，把一块三角尺。EF放置在△A8C上，使三角尺的两条直角边。£,Q尸恰好经过点8,C,若

ZA=40°,则NA8D+NACO=°.

II.如图③，8。平分NA8P,C。平分N4CP,若乙4=40°,ZfiPC=130°,求N8OC的度数.

【变式7-2］（2019秋•阜阳月考）在数学学习中整体思想与转化思想是我们常用到的数学思想.如图（I）

中，求NA+N8+NC+NQ+NE的度教等于多少时，我们可以连接CO,利用三角形的内角和则有NB+NE

=NECD+NBDC,这样NA、NB、NC、ND、NE的和就转化到同一个△AC。中，

即NA+N8+NC+//HNE=18（）°.

图（2）中N4+N3+NC+NO+/E的度数等于.

图（3）中N4+N3+NC+NO+/E的度数等于.

图（4）中NA+N8+NC+NO+NE+NF的度数等于.

【变式7-3］（2019秋•襄城区期中）已知：点。是△A8C所在平面内一点，连接A。、CD.

（1）如图1,若NA=28°,ZZ?=72°,ZC=11O,求N4OC；

（2）如图2,若存在一点P,使得P5平分NA3C,同时P。平分NAOC,探究NA,NP,NC的关系并证

明；

（3）如图3,在（2）的条件下，将点。移至NA3C的外部，其它条件不变，探究NA,NP,NC的关系

并证明.

AA

CC'

图1图2图3

【模型8筝型】

【结论】ZPBD+ZPCD=Z/\+ZP

【例8】(2019春•邳州市校级月考)如图,在折纸活动中,小明制作了一张△ABC纸片，点。、E分别在

边AB、AC上，将△ABC沿着。E折莅压平，A与A'国曷合.

(1)若NA=75。,则Nl+N2=______.

(2)若NA=〃°,则Nl+/2=______.

(3)由(1)(2)探索NA与N1+N2之间的数量关系,并说明理由.

C

【变式8-1](2018春•迁安市期末)动手操作：

一个三角形的纸片ABC沿OE折叠，使点A落在点人'处.

观察猜想

（1）如图1,若NA=40°,则Nl+/2=°：

若NA=55°,则Nl+N2=°：

若NA=〃°,则Nl+N2=°.

探索证明：

（2）利用图I,探索N1、/2与NA有怎样的关系？请说明理由.

拓展应用：

（3）如图2,把△人/?（?折叠后，HA'平分NAAC,CA'平分N4。,若Nl+N2=10g",利用（2）中结

论求NZM'C的度数.

【变式8-2］（2019春•宿城区校级月考）RlaABC中，NC=90°,点D、E分别是△ABC边人C、BC卜.的

点,点尸是一动点.令NPDA=/1,NPEB=N2,ZDPE=Za.

（1）若点尸在线段八8上，如图（1）所示，且Na=50°,求N1+N2的度数：

（2）若点尸在边AB上运动，如图（2）所示，则Na、Nl、N2之间有何关系？猜想并说明理由：

（3）若点P运动到边AB的延长线上，如图（3）所示，直接写出Na、Nl、N2之间关系为：.（不

需说明理由）.

cc

图1图2

图3

【变式8-3](2019秋•南漳县校级月考)如图(I),在折纸活动中，小明制作了一张△ABC的纸片，点Z)、

E分别在A3、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与4,重合，若/A=70°,则NI+/2=；

如图(2),当点A落在AAAC.外部时，那么/2-/1=.

图1图2

专题02角度计算中的经典模型【举一反三】

模型1双垂直模型

模型2A字模型

模型3双内角平分线模型

模型4内外角平分线模型

K典豳加I

【模型1双垂直模型】

【条件】NR=ND=NACE=90。.

【结论】ZBAC=ZI)CE,ZACB=ZCEI).

【例1】(2019春•润州区校级月考)如图，在△ABC中,NACB=90°,户是AC延长线上一点,FDJ.AB,

垂足为。，与相交于点E,NBED=55°.求NA的度数.

【分析】首先由FOL4B于。，根据直角三角形两锐角互余得出N8£O+N3=90°,同理，由NACB=

90°,得出NA+N8=90°,然后根据同角的余角相等得出NA=N8£7J=55°.

【答案】解：；FO_LA8于。，

:.NBED+NB=90",

VZACB=909,

.•.NA+NB=900,

••.NA=N8£O=55°.

【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质以及余角的性质，比较符单.

【变式1-1］（2019秋•凉州区校级期中）如图,ZkABC中，NB=NC,FDLBC,DE工AB,ZAFD=\52°,

【分析】利用外角性质可求得NC,在△ABC中利用三角形内角和定理可求得NA.

【答案】解：

AZroC=90°,

VZAFD=152Q,

：.ZC=ZAFD-ZFDC=152°-90°=62°,

":/B=/C,

••.NA=180°-ZZ?-ZC=180°-62°-62°=56°.

【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，掌握三角形三个内角和为180°是解题的关键.

【变式1-2］（2019春•莲湖区期中）如图，在aACB中，NAC8=90CO_LA3于。.

（1）求证：NACO=N3：

（2）若4/平分NC44分别交C。、8C于E、F,求证：/CEF=/CFE.

【分析】（1）由于NAC。与都是/3C。的余角，根据同角的余角相等即可得证;

（2）根据直角三角形两锐角互余得出NCM=90'-ZCAF,NA占0=90°-NOAE,再根据角平分线

的定义得出NCAF=ND4£,然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明NCE"=NCFE.

【答案】证明：（1）•••/AC8=90°,CDLAB于Q,

AZACD+ZBCD=9（）°,NB+N8CD=90°,

：.NACD=NB；

（2）在RtZXAFC中，ZCM=900-ZCAF,

同理在RtZkAEQ中，ZAED=9（）°-ADAE.

又："平分NC4B,

:.NCAF=NDAE,

二ZAED=/CFE,

又,：，CEF=ZAED,

：.NCEF=NCFE.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质，三角形角平分线的定义，对顶角的性质，余角的性质，难度适

中.

【变式如图①，在RLM8C中，N4c8=90°,CDA.AB,垂足为。，NACO与N8有什么关系？

为什么？

（2）如图②，在RtZ\48C中，/C=90°,。、E分别在AC,AB上,且NAOE=N-判断△/1/用的形

状是什么？为什么？

（3）如图③，在RtZ\A8c和RtAOBE中，ZC=90°,ZE=90°,ABA.BD,点C,B,E在同一直线上,

【分析】（1）根据直角三角形的性质得出/4。开/A=/8+/。。8=90°,再解答即可；

（2）根据直角三角形的性质得出/AOE+NA=NA+N8=90",再解答即可；

（3）根据直角三角形的性质得出入4&:+/4=/48。+/。/^=//用/忏/£>=90°,再解答即可.

【答案】解：（I）ZACD=ZB,理由如下：

•・,在RtaABC中，/AC8=90°,CDA.AB,

.•./48+/4=/8+/。。8=90°,

:.NACD=NB：

（2）△?1£）£是直角三角形.

•・•在RtaABC中，ZC=90°,。、E分别在AC,48上，且NAQ£=N8,NA为公共角,

AZAED=ZACB=9（）a,

.•.△AQE是直角三角新；

（3）Z4+ZD=90°.

二,在和Rt2\/J8£中，NC=90°,N£=90°,AHA.HD,

：.ZABC+ZA=ZABC+ZDBE=NDBE+ND=90",

：.ZA+ZD=9（）°.

【点睛】此题考查直角三角形的性质，关键是根据直角三角形的性质得出两锐角互余.

【模型2A字模型】

【结论】ZBDE+ZCED=180°+ZA

【例2】（2019春♦资中县月考）如图所示，AABC中，ZC=75°,若沿图中虚线截去NC,则N1+N2等

于多少度？

【分析】根据三角形内角和定理求出N/UN从根据多边形的内角和公式求出即可.

【答案】解：VZA+ZB+ZC=180°,

AZA+ZB=1800-ZC,

VZC=75°,

AZA+ZB=180°-75°=105°，

VZl+Z2+ZA+ZZJ=360°,

.•.Nl+/2=360°-(/A+N8),

・,.Nl+N2=360°-105°=255°.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和多边形的内角和公式，能熟记定理是解此题的关键.

【变式2-1](2019春•长沙县校级期中)如图，已知/八=40°,求N1+N2+N3+N4的度数.

【分析】根据三角形的内角和定理分别求得N1+/2,Z3+Z4,就可求得最后结果.

【答案】解：・・・N4=40°,

.,.Zl+Z2=Z3+Z4=180°-ZX=140a.

.,.Zl+Z2+Z3+Z4=280°.

【点睛】此题主要是三角形内角和定理的运用.

【变式2-2](2019春•吁胎县期中)我们容易证明，三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角的和，那么,

三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在怎样的数量关系呢？

（图1）（图2）

（图3）

I.尝试探究:

(1)如图1,NO8C与NEC8分别为△ABC的两个外角，试探究/人与ND8C+NEC8之间存在怎样的数

量关系？为什么？

II.初步应用:

(2)如图2,在△ABC纸片中剪去△(?£：»得到四边形A8DE,Zl=130°,则N2-NC=

(3)小明联想到了曾经解决的一个问题：如图3,在△A8C中，BP、CP分别平分外角ND8C、/ECB,

NP与NA有何数量关系？请利用上面的结论直接写出答案

【分析1（1）根据三角形的一个外带等于与它不相邻的两个内角的和表示出NQ8C+NEC8,再利用三角

形内角和定理整理即可得解：

（2）根据（1）的结论整理计算即可得解：

（3）表示出NO8C+NEC8,再根据角平分线的定义求出N〃BC+N/>C8,然后利用三角形内角和定理列

式整理即可得解：

【答案】解：（1）NDBC+NECB

=180°-N4Adi800-ZACH

=360°-（NABC+NAC8）

=360°-（180°-NA）

=180°+NA；

（2）VZ1+Z2=Z18O0+ZC,

.•.130°+Z2=180;，+NC,

AZ2-ZC=50a：

（3）N/»C+NEC8=180"+ZA,

•；BP、”分别平分外角ND8C、/ECB,

:"PBC+/PCB=LQDBC+/ECB）=工（180。+ZA）

22

在8c中，/尸=180°■工（1X0°+/A）=90°・工/4

22

即NP=90°-工/4：

2

故答案为：50°,/k=9。°-

2

【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，

角平分线的定义，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键.

【变式2-3］（2019春•盐都区期中）（1）如图1,已知aABC为直角三角形，ZA=90°,若沿图中虚线剪

去NA,则N1+N2等于

人90°A1350C.270°0.315°

B

（2）如图2,已知△ABC中，NA=50°,剪去/人后成四边形，则Nl+N2=

（3）如图2,根据（1）与（2）的求解过程,请你归纳猜想N1+N2与NA的关系是.

（4）如图3,若/A没有剪掉，而是?C它折成如图3形状，试探究/1+N2与NA的关系并说明理由.

【分析】（1）利用了四边形内角和为360°和直角三角形的性质求解；

（2）根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和求解；

（3）根据（1）（2）可以直接写出结果：

（4）根据折叠的性质，对应角相等，以及邻补角的性质即可求解.

【答案】解：（1）•・,四边形的内角和为360°,直角三角形中两个锐角和为90°

.,.Zl+Z2=360°-（NA+N8）=360°-90°=270°.

JN1+N2等于270°.

故选C：

（2）Zl+Z2=180°+50°=230°.

故答案是：230；

（3）N1+N2与NA的关系是:Zl+Z2=180°+ZA：

故答案是：Zl+Z2=180°+NA：

（4）•.•△EEP是由外折禄得到的，

:"AFE=NPFE,NAEF=/PEF

.,.Zl=180a-2NAFE,Z2=180°-2ZAEF

.,.Zl+Z2=360°-2（NAFE+NAEF）

又YNA产E+NAE尸=180°-NA,

...N1+N2=36O°-2（180°-NA）=2NA,

即N1+N2=2NA.

【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系.

（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和.

（2）三角形的内角和是180度.求角的度数常常要用到“三角形的内角和是180°”这一隐含的条件.

【模型3双内角平分线模型】

【条件】BP、CP分别为NABC、NACB的角平分线.

【结论】NP=90°+-J-ZA.

2

【例3】（2018秋•开封期中）如图，△ABC中，

（1）若N8=70°,点P是AABC的NBAC和NACB的平分线的交点，求NAPC的度数.

（2）如果把（1）中N8=70°这个条件去掉，试探索NAPC和N8之间有怎样的数量关系.

【分析】（1）依据点P是△A8C的/8AC和/4C8的平分线的交点，即可得到/%C=L/E4C,ZPCA

2

=IZZ;CA,再根据三角形内角和定理，即可得到NAPC的度数.

2

（2）依据点P是aABC的/BAC和/ACB的平分线的交点，即可得到/用C=LNBAC,NPCA==/

22

BCA,进而得出/出C+/PCA=L（/以C+NPCA）,再根据/P=180°-（/以C+/PCA）进行计算

2

即可.

【答案】解：（1）VZB=70°,

•・.NBAC+N3CA=110°,

,・•点P是aABC的N3AC和ZACB的平分线的交点，

N/XC=L/8AC,ZPCA=—ZHCA,

22

••.NB4C+NPCA=L(/以C+NPCA)=^X1IO°=55°,

22

AZP=180°-55°=125°：

(2)•・•点P是△ABC的/孙C和/ACB的平分线的交点,

・，./出C=L/8AC,/尸CA=L/BC4,

22

：.^PAC+ZPCA=1-(ZBAC+ZPCA),

2

AZP=180°-(.ZPAC^ZPCAy

=180°-L(N8AC+N5c4)

2

=180°(180°・/8)

2

=90。+-kzB.

2

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，解决问题的关键是掌握三角形内角和

定理：三角形内角和是1800.

【变式3-1](2018秋•徐闻县期中)如图，在△48。中，/A8c与NACB的平分线交于点。.

(1)如图1,己知NA8C=40°,ZACZJ=60°,求N8OC的度数.

(2)如图2,已知乙4=90",求NBOC的度数.

(3)如图1,设乙4=m°,求/80C的度数.

【分析】根据三角形内角和定理以及角平分线的定义求解即可:

【答案】解：⑴・・・8C平分NA8C,NABC=40°,

：.ZOBC=^-ZABC=20°,

2

,；CO平分NACB,ZACB=60a,

：.ZOCB=1-ZACB=W，

2

AZBOC=180°-20°-30°=130°.

(2)VZA=90°,

AZABC+ZACB=180°-90°=90°,

乂••,/O8C=L/A8C,/OC8=L/AC8,

22

：.NOBC+NOCB=45°,

••.N3OC=180°-45°=135°.

(3)VZA=m°

••.NA3C+/4C8=I8O°-m°，

又,.,NO8C=LNA8C,ZOCB=kzACB,

22

："OBC+/OCB=90°-L?。，

2

AZBOC=90°+L/

2

【点睛】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问

题,属于中考常考题型.

【变式3-2］（2019春•南岗区期末）已知在△A3C中，NA=100°,点。在AABC的内部连接8D,CD,

且NA3O=NC8。，NACD=/BCD.

（1）如图1,求N8OC的度数;

（2）如图2,延长8。交AC于点E,延长C。交A3于点凡若N4ED-NA"O=12°,求/ACT的度数.

(图1)(图2)

【分析】（1）依据三角形内角和定理以及角平分线的定义，即可得到NBDC的度数;

（2）设NAC”=a,则/BCO=a,ZCBD=40°-a=ZABD,依据三角形外角性质，即可得到N4E。

=NAC”+NC。凡NA/7）=NABE+/3。凡再根据/AE。-NA/D=12°,即可得到a的值.

【答案】解：（1）・・・NA=100°,

.•.NA8C+NAC8=80”,

又,：NABD=NCBD,NACD=NBCD,

：.ZCBD=1-ZABC,NBCD=L〃CB,

22

••./CB/)+/8CO=L(/A8C+/ACB)=40。,

2

••.N80C=I80°-40°=140°；

(2)设/AC”=a,则N3CO=a,

VZ/?DC=I4O°,

.,.ZC5D=40°-a=ZABD,

VZAED是△OCE的外角，ZAFD是尸的外角，

:.ZAED=^ACF+ZCDF,ZAFD=NABE+NBDF,

：.^AED-ZAFD=ZACF+^CDF-ZABE-^BDE=a-<400-a)=12°,

解得a=26°,

AZACF=26°.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三角形内角和是

180°.

【变式3・3】(2019春•东阿县期末)已知任意一个三角形的三个内角的和是180°.如图1,在△ABC中,

NA8C的角平分线8。与NAC3的角平分线CO的交点为O

(1)若NA=70°,求N30。的度数;

(2)若NA=a,求N8O。的度数；

(3)如图2,若BO、CO分别是/ABC、NAC8的三等分线，也就是/04C=gNA4C,ZOCZ?=|ZACB,

NA=a,求NBOC的度数.

【分析】(1)根据三角形的内角和定理求出N/1BC+N/ICB,根据角平分线的定义求出/O8C+NOCB,

根据三角形内角和定理求出即可：

⑵根据三角形的内知和定理求出/A8C+N4C8,根据角平分线的定义求出NO8C+NOC8,根据三角

形内角和定理求出即可：

(3)根据三角形的内角和定理求出N48C+NAC8,求出NO8C+N0C8,根据三角形内角和定理求出即

可.

【答案】解：(1)・・・NA=70°,

.•.48dNACB=180°-Z4=1IO°,

:在△ABC中，ZABC的角平分线B。与N4C8的角平分线C。的交点为。，

.\ZOBC=^ZABC,ZOCB=^/ACB,

220

:.NOBC+NOCB=L(NABC+NACB)=55°，

2

••.N30C=I80°-(N03C+/0C8)=125°；

(2)•・NA=a,

・•.NA3C+/AC8=I8O°-ZA=I3O0-a,

•・,在△ABC中，ZABC的角平分线BO与/ACB的角平分线CO的交点为O,

：.ZOBC=^ZABC,ZOCB=^./ACB,

22

.,.NOBC+NOC”工(NA8C+NACB)=-^(180°-a)=90°--^a，

222

••,/8OC=180°-(NORC+NOCB)=180°-(90°-^a)=90°+—a-

22

(3)•・・NA=a,

r.ZABC+ZACB=1800-NA=IS00-a,

VZOBC=—ZABC,ZOCB=^ACB,

33

...NOBC+NOC8=L(NA8C+NACB)=-^(180°-a)=60°--^a，

333

・••/6OC-180。-(/OBC+JOCB)-180°-(60°-1a.)-1200Q.

33

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和角平分线的定义，能求出/O8C+NOC3是解此题的关键,

求解过程类似.

【模型4内外角平分线模型】

【条件】BP、CP分别为NABC、NACD的角平分线.

【结论】ZA=1ZR

【例4】（2018秋•江岸区期中）如图，AABC中，N48c与N4C8的外角的平分线相交于点£

（1）己知N4=60°,求NE的度数;

【分析】（1）根据角平分线的定义得到NECO=L/ACDNEBC=LNABC,根据三角形的外角的性质

22

计算：

（2）仿照（1）的计算过程证明.

【答案】解：（1）VCE.BE分别平分NACD、/ABC,

;.NECD=LNACD,NEBC=L/ABC,

22

AZE=AECD-ZEBD=1-（ZACD-ZABC）=L/A=30°；

22

（2）由（1）得，NE=L/A,

2

I.NA=2NE

故答案为：ZA=2ZE.

【点睛】本题考查的是角平分线的定义，三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻

的两个内角的和是解题的关键.

【变式4-1］（2019秋•卫滨区校级期中）如图，△八8。的外角NACO的平分线CP与内角NABC平分线3P

交于点P.若NBPC=40°,求NC48的度数.

【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得NACO=N&IC+N/3CNPCD=

/P+/〃CB,根据角平分线的定义可得/PC/）=L/AC。，NPBC=LNABC,然后整理得到/PCQ=

22

400+L/A8C,再代入数据计算即可得解.

2

【答案】解：在△A8C中，ZACD=ZBAC+ZABC,

在APBC中，NPCD=NBPC+NPBC,

•；PB、PC分别是NA8C和NA。。的平分线，

.,.ZPCD=A.ZACD,NPBC=L/ABC,

22

二ZPCD=NRPC+/PRC=4U°+^ZABC,

2

.」NACO=L/"C+4（r,

22

...NACO-NA8C=80°,

：.ZBAC=ZACD-ZABC=^，

即NCA8=80。.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角

平分线的定义，熟记定理与性质并求出/产（曾=4。°+L/Azyc是解题的关键.

2

【变式4-2］（2019秋•莆111校级期中）如图所示，已知8。为△A8C的角平分线，CO为△ABC外角N4CE

的平分线，且与8。交于点。：

（1）若NA8C=60°,NOC£=70°,则ND=°：

（2）若NA8C=70°,ZA=80°,则NO=°:

（3）当NABC和/人CB在变化，而/人始终保持不变，则/。是否发生变化？为什么？由此你能得出什么

结论？（用含N/\的式子表示ND）

B

【分析】(1)根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求得；

(2)根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求得；

(3)根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出N。、NA的等式，推出即可求得

2

结论.

【答案】解：(I):8。为△ABC的角平分线，N4BC=60°,

・・.NOBC=30°,

VZDCE=70°,

:./D=/DCE-/DBC=：O0-30°=40°：

(2)VZABC=70°,NA=80°,

•IZACE=150°

,：BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角/ACE的平分线，

AZD«C=1Z4^C=35°,ZDCE=lzACE=750,

22

：,ZD=ZDCE-^DBC=75°-35°=40°；

(3)不变化,

理由；•:/DCE=NDBC+/D,

：.ZD=^