高中数学直线、平面平行的判定与性质专项练习

高中数学直线、平面平行的判定与性质专项练习

1.给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直.

其中，为真命题的是

A.①和②B.②和③

C.③和④D.②和④

2.设m,n是平面a内的两条不同直线，4,4是平面夕内的两条相交直线，则。〃B

的一个充分而不必要条件是

A.m///?且1〃a

B.m//1且n〃1

C.m〃，且n〃/?

D.m〃，且n〃1

3.已知a,B表示两个不同的平面，m为平面a内的一条直线，则“a_L£”是“加，尸”的

)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.如图，在直三棱柱ABC-4BC1中，E,尸分别是A由，AC的中

点，点。在上，4O1BC.

求证：(1)EF”平面ABC;

(2)平面A尸DL平面BB\C\C.

B

5.已知加、〃是两条不同直线，a、｝/是三个不同平面.下列命题中正确的是

()

A.若mHa,nila、则相〃几

B.若a_L/,/?_L7,则a〃夕

C.若mHa,mHB,则a〃/?

D.若相_L_La,则加〃〃

6.已知两条直线〃z、ny两个平面a、/?.给出下面四个命题：

@m//n,mLa-=>nVa；

②aHB、mua,nu/=>机〃〃；

③〃2〃n,mHa=nila\

@all/3,mlln,mA-a^>nX.13.

其中正确命题的序号是()

A.①③B.②④

C.①④D.②③

7.设〃、。为两条直线，a、尸为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是

()

A.若小人与。所成的角相等，则〃加

B.若"a,b〃/,则4必

C.若aua,bu0,a//b,则a〃夕

D.若aLb,bL0,a工0,则〃_LZ?

8.已知m、n为两条不同直线，。、/为两个不同的平面，则下列命题中正确的是

()

A.mua,nua,mll/3,nH°=aHB

B.aHB，mua,nu°nmHn

C.m±1«=>nila

D.n//m,n1.a=>m.La

9.如图5,矩形ABC。和梯形所在平面互相垂直，BE//CF,/BCF=

NCEF=90°,AD=®EF=2.

(1)求证：AE〃平面DCF;

(2)当AB的长为何值时，二面角4—E尸一C的大小为60。？

10.如图6,在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为1的菱形，

JI

ZABC=—,OAJ■底面ABC。，OA=2,M为。4的中点，N为BC的

4

中点.

(1)证明：直线MN//平面。CD;

(2)求异面直线AB与M。所成角的大小；

(3)求点B到平面OCD的距离.

H.平面a〃平面£的一个充分条件是()

A.存在一条直线a,alla,all[3

B.存在一条直线a,aua,a〃夕

C.存在两条平行直线ua,/?u民

all(3,blla

D.存在两条异面直线a、b,aua,bu0,

aIIP，blla

答案与解析

【考点11】直线、平面平行的判定与性质

1.答案：D

【解析】命题①中的两条直线为两相交直线，则两平面平行，命题③垂直于同一条直线的两

条直线的位置关系为可以平行、相交或异面，正确的命题为②和④，故应选D.

2.答案：B

【解析】若加/〃机•〃ua，44u£,则可得a〃尸.若a〃夕则存在

3.答案：B；

【解析】由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面a内的一条直线,机J.△，则a_L/,

反过来则不一定.所以“a"!•夕”是“m1£”的必要不充分条件.

【点评】本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念.

4.【解析】(1)由邑F分别是AC的中点知ER7BC,

因为E&X平面ABC,BCu平面ABC,所以EF//平面ABC;

(2)由三棱柱4BC-43G为直三棱柱知CC」面AHG,

又A[Z)u平面,；♦CC|_LA|Z).

又因为AiZXLSC,CCiAB,C=C,BCu平面8B|CC,故因DL平面BBCC.

又AQu平面A]FD,所以平面4FDL平面BB\C\C.

【点评】本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查空间想象

能力、推理论证能力.

5.答案：D

【解析】举反例：如图:

排除A:

排除C;

D是线面垂直的一个性质，故选D.

6.答案：C

【解析】由a〃/?，加uu/?=>/〃〃〃或m、n异面，

，②错；由相〃=>〃〃a或〃ua,③错，故选C.

7.答案：D

【解析】对选项A,如直线a、b///3,a//j3,则a、b平行，相交或异面；对选项B,如

alla,bll/3,aH(3,则a、6平行，相交或异面；对选项C,若aua,bu/7,a〃b则

。、〃平行或相交；对选项D,由两个平面互相垂直，则其法向量垂直可得证，故选

D.

8.D【解析】对于选项A,当初〃“时，不一定有a〃力,a与/?可能相交；对于选项B,

aH。，mua,nu0K,m、n可能异面;对于选项C,m1a,m1n时,可能有〃ua.

故选D.

9.【解析】：解法一：(1)证明：过点E作交CF于G,连结。G,

可得四边形8CGE为矩形，所以

AD//EG,从而四边形AOGE为平行

四边形，椒阳/DG.

因为AEa平面DCF,

OGu平面。CF,所以4E//平面。CF.

(2)过点B作BHLEF交FE的延长线于H,连结AH.由平面ABCDA.平面BEFC,

AB1BC,得AB1平面BEFC,从而AH，EF,所以NAHB为二面角A-EF-C的

平面角.在RfAEFG中,

因为EG=AD=V3,EF=2,

所以NCFE=60°,

FG=1.又因为。七1EF,所以CF=4.从BE=CG=3.

9

于是BH=BE.sinNBEH=二—,因为AB=8atan/AHB,所以当AB为一时，二面角

22

A—EF—C的大小为60°.

解法二：如图，以点C为坐标原点，以CB、CF和CD分别作为x轴、y轴和z轴建立

空间直角坐标系C-xyz.

设AB=a,BE=b,

CF=c,

则c(0,0,0),

A(百,0,a),

8(73,0,0),E(V3,Z?,0),F(0,c,0).

(1)证明：A.E=(0,b,-d),CB=(V3,0,0)

BE=(0,6,0),所以CB.AE=0,CB-BE=0,从而C8±AE,CB±BE,所以CB1

平面ABE.因为CB_L平面DCCF,所以平面ABE//平面DCF.

(2)因为JET7=(一6,c一瓦0),

CE=(y[3,bff),所以而•无=0,

\EF\=2,

[-3+b(c-b)=0,

从而[师二铲=2,

解得b=3,c=4.所以E(V3,3,O),F(0,4,0).

设〃=(1,y,z)与平面AEF垂直，则

n•AE=EF-0

解得77=(1,J5,二)

又因为6A，平面BEFC,BA=(0,0,a),

所以

Icos/rt,|=P句=——=g,得至！Ia=g.所以当AB为g时，二面角

'/\BA\-\n\aV4o7+27222

A—EF—C的大小为60°.

10•【解析】：解法一(综合法):

0

(1)取OB中点E,连结ME、NE.A

/.MN〃平面OCD.

⑵

OC//AB,:.NMDC

为异面直线AB与所成

的角(或其补角).作

42，8于点P，连结MP.

,/OA_L平面ABCD,

CD1MP.

匹

ZADP=DPMD=

42

4MA)+AD'=V2,cosNMDP=-=ZMDC=NMDP=-,

MD23

IT

：.48与MQ所成角的大小为y.

(3)•.•AB〃平面OCD,

•.点B和点A到平面OCD的距离相等，连结OP,过点A作AQ_L。尸于点Q

AP±CD,OA±CD,:.CD1,平面OAP,

AQ±CD.

又AQ±OP,：.A。_L平面OCD,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离.

OP=ylOD*32-DP2=ylOA2+AD2-DP2

2.也

OAAP2

AQ=2

OP3723

2

2

•••点B到平面OCD的距离为

解法二（向量法）：作AP_LCO于点P.如图,

分别轻AB、AP、AO所在

直线为x、y、z轴建立空间

直角坐标系.

A(0,0,0)B(1,0,0),

P(0,-^-,0),Z)(-,0),0(0,0,2)

222

.Jl2

M(0,0,1),N(1..-,—,0),

44

----^2,y/^2,

(1)w=(l--,—,-1)

44

而=（0,字-2）,而=（一拳拳一2）.

设平面OCD的法向量”(x,y,z)

则n-OP=0,n-OD=0.

°

——y-2z=0n,

即I2LL

V2V2on

[22■

取z=J^，解得〃=(0,4,痣).

___/y