高中数学选修1-1知识点

选修1—1、1-2数学知识点

第一部分简单逻辑用语

1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句.

真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句.

2、“若「，则夕”形式的命题中的p称为命题的条件，g称为命题的结论.

3、原命题：“若夕,则逆命题：“若q,则

否命题：“若「P,贝厂”逆否命题：”若「九则「P"

4、四种命题的真假性之间的关系：

(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系.

5、若pnq,则p是q的充分条件，q是p的必要条件.

若poq，则P是<7的充要条件(充分必要条件).

利用集合间的包含关系：例如：若Aq8,则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B,则A是

B的充要条件；

6、逻辑联结词：⑴且⑷⑷：命题形式〃△</；⑵或(or)：命题形式pvq；

⑶非(not)：命题形式「p.

P7q

Pqp「P

真真真真假

真假假真假

假真假真真

假假假假真

7、⑴全称量词一“所有的”、“任意一个”等，用“V”表示；

全称命题p：VxeA/,p(x)；全称命题p的否定-)p：3%eM,->/?(%).

⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“三”表示；

特称命题p：HxeM,p(x)；特称命题p的否定「p：VxeM,-,p(x)；

第二部分圆锥曲线

1、平面内与两个定点片，鸟的距离之和等于常数(大于|村名|)的点的轨迹称为椭圆.

即：|町|+|g|=2a,(2a>|耳玛|)。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距.

2、椭圆的几何性质：

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

r

图形d

3O

X!\二)

2292

厂+广_广+厂

标准方程靛+/-l(a>/?>0)=l(4Z>/?>0)

范围一QWxW。且一〃<yK5一。WxWZ?且一。＜＞＜。

A1(一〃,0)、A2(«,0)A】（0,—a）、A、（0,a）

顶点

B/0,询、B2(O,^)B4-b，。）、B2（^,0）

轴长短轴的长=2b长轴的长=2。

焦点耳（-G。）、居（c,0）6(o,—c)、6(0,c)

焦距内马=2<?卜2=/_/)

对称性关于x轴、y轴、原点对称

e=—=J1-<(0<e<1)

离心率

a\a

3、平面内与两个定点石，巴的距离之差的绝对值等于常数（小于［村入|）的点的轨迹称为双曲线.即:

\\MFl\-\MF2\\=2a,（2a＜\FiF21）.

这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距.

双曲线的几何彳生质：

焦点的位置焦点在X轴上焦点在y轴上

/

图形71V5

zT\

2222

标准方程点一方=1（。＞。/＞。）为一a=l(a>0力>。)

范围x<-a^x>afyG7?y<-a^y>a,xwR

顶点A1(—q,0)、A2(a,0)A、(0,—a)、A2(0,a)

轴长虚轴的长=2。实轴的长=2。

焦点6(—G。)、鸟(GO)£(0,—c)、6(0,c)

222

焦距\F{F2\=2C(C=a+b)

对称性关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

e=-=J1+^T(e>1)

离心率

a\a

b

渐近线方程y=±-xy=+-x

ab

5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.

6、平面内与一个定点厂和一条定直线/的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点万'称为抛物线的焦点，定直

线/称为抛物线的准线.

7、抛物线的几何性质：

y2=2Pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py

标准方程

(0>。)(p>o)(夕>。)(0>。)

fea

图形务

顶点(0,0)

对称轴X轴y轴

焦点户停。）小,一£l

准线方程X--P-x_p.y=y=

22-22

离心率e=l

范围x>0x<0y>0y<0

8、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A、B两点的线段AB,称为抛物线的“通径”，即卜2P.

7.椭圆的的内外部

2222

（1）点P（X。,为）在椭圆——+yv=1（。>/?>0）的内部<=>—Y+yy<1.

ab~ab~

2222

（2）点P（x0,y°）在椭圆一=1（。>b>0）的外部=—Y+>1.

abab"

8.直线与圆锥曲线相交的弦长公式［43|=J（%—期）2+（弘一%）2或

|A5|=J(l+%2)(%2—3)2=1%-aIJl+tan2a=|y—必iJl+cot2a(弦端点人(2/1),8(%2，了2)，由

v—kx+b

方程《，一消去y得到af+8工+，=0,。为直线AB的倾斜角，上为直线的斜率).

[F(x,y)=O

9.双曲线的内外部

2222

(1)点尸(X。,为)在双曲线一x—七~=1(。>0,Z?>0)的内部—学->1.

ab~a~b-

2222

(2)点PS。,％)在双曲线[一1=1(4>0，8>0)的外部=乌一冬<1・

a~b~a~b~

10.双曲线的方程与渐近线方程的关系

2222

(1)若双曲线方程为「一二=10渐近线方程：「―[=0。y=±?x.

aba-b-a

2222

(2)若双曲线与二•-5=1有公共渐近线，可设为二-4=入(入〉0,焦点在x轴上，入<0,焦点在

a2b2a2b2

y轴上).

9、焦半径公式：

若点P伍,为)在抛物线y=2px(p>。)上，焦点为F，则.习=%+日:

若点P(M，yo)在抛物线f=2py(p>0)上，焦点为F,则|PF|=%+日;

第三部分导数及其应用

1、函数/(x)从占到毛的平均变化率：/3)一/(为)

马—%

2、导数定义：/(x)在点/处的导数记作y|=/,(x。)=1加=%+口一八%)；。

'XBX°As。Ax

3、函数y=〃x)在点不处的导数的几何意义是曲线>="”在点0&'/■))处的切线的斜率-

4、常见函数的导数公式：

①C=0；②(%")=〃②t；③(sinx)=cosx；@(cosx)=-sinx；

⑤(优)=a"lna；@(eA)=ex；⑦(log.%)=--—；⑧(Inx)

x\nax

5、导数运算法则：

(1)[/(X)土g(x)]'=f'(x)±g'(x).

»

(2)[/(x>g(x)J=r(x)g(x)+/(x)g'(x).

»

/(X)_/'(x)g(x)—/(x)g'(x)

(g(x)=0)

(3)|_g(x)_[g(x)了

6、在某个区间(a,。)内，若/'(x)>0,则函数y=〃x)在这个区间内单调递增;

若/'(x)<0,则函数y=/(x)在这个区间内单调递减.

7、求函数y=/(x)的极值的方法是：解方程r(x)=O.当/'(%)=0时：

⑴如果在飞附近的左侧r(x)>o,右侧r(x)<o,那么/(不)是极大值；

(2)如果在不附近的左侧/'(x)<0,右侧r(x)>0,那么/(毛)是极小值.

8、求函数y=/(x)在［a,b］上的最大值与最小值的步骤是：

(1)求函数y=/(x)在(。㈤内的极值；

(2)将函数y=/(x)的各极值与端点处的函数值/(。)，/仅)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是

最小值.

9、导数在实际问题中的应用：最优化问题。

第四部分复数

1.概念：

(1)z=a+bi£R=b=0(a,bGR)Oz=z<=>z2>0；

⑵z=a+bi是虚数O厚0(a力GR)；

(3)2=。+句是纯虚数0。=0且厚0(2002+2=0(z#))oz2<0；

⑷a+bi=c+di<=>a=c且c=d(a,b,c,dGR)；

2.复数的代数形式及其运算：设zi=a+0i,Z2=c+di(a,4c,dGR),则：

⑴zi土Z2=(a+加土(c+J)i；

(2)z\.zz=(a+bi),(c+di)=Cac-bd)+(ad+bc)i；

(a+bi)(c-di)

(3)Z1.Z2ac+bd+宾，30)；

(c+di)(c-di)c2+d2

3.几个重要的结论：

(1)(1±02=±2z；(4)_=,；-=-/-；

\-i1+z

(2)i性质：T=4；i4n=l,z4n+l=i,i4n+2=-l,z4n+3=-i；i4n+i4n+'+iM+i4n+3=(y,

-1

(3)|z|=1<=>zz=loz=­Q

4.运算律：(1)Z"'・Z〃=ZEX2)(Z〃T=Z"N3XZ|・Z2)〃'=Z/Z2'"(〃，，〃GN);

5.共施的性质:(1)(2,±z2)=Zj±z2；(2)Zjz2=Zj-z2；(3)(—)==；(4)z=z0

z?z?

7I7I

6.模的性质：（Dllzj-|zIISz,±z国zJ+ZI；⑵|宇21=1z,IIZh⑶⑷|z"|=|z|"；

222Z

z2I2I

第五部分统计案例

1.线性回归方程

①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；

②制作散点图，判断线性相关关系

③线性回归方程：;=以+〃（最小二乘法）

一〃___

-nxy

b=-^------__

{V2_注意：线性回归直线经过定点（x,y）。

/=1

a-y-bx

_

Z（Xj-x）（y,.-y）

2.相关系数（判定两个变量线性相关性）：r=「“.

仕区—x）2£（y—»

Vi=li=l

注：⑴r>0时，变量x,y正相关；r<0时，变量x,y负相关；

⑵①|川越接近于1,两个变量的线性相关性越强；②接近于。时，两个变量之间几乎不存在线性相

关关系。

3.回归分析中回归效果的判定：

〃-AA〃A

⑴总偏差平方和：Z（y,-y）2⑵残差：e,=y.一%；⑶残差平方和：；⑷回归平方和：

i=l/=1

一〃A

Z（%-y）2-X（w-w）2；⑸相关指数RI。

t*2=-之T—（％-万:

/=1

注：①卡得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；

②玄越接近于1,,则回归效果越好。

4.独立性检验（分类变量关系）：

随机变量K2越大，说明两个分类变量，关系越强，反之，越弱。

第六部分推理与证明

一.推理:

⑴合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有事实,经过观察、分析、比较、联想，在进行归纳、类比，然后

提出猜想的推理，我们把它们称为合情推理。

①归纳推理:由某类食物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者有个

别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理，简称归纳。

注：归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。

②类比推理：由两类对象具有类似和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称

为类比推理，简称类比。

注：类比推理是特殊到特殊的推理。

⑵演绎推理：从一般的原理出发,推出某个特殊情况下的结论，这种推理叫演绎推理。

注：演绎推理是由一般到特殊的推理。

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：⑴大前提-----已知的一般结论；⑵小前提------所研究的特殊情况;

⑶结论------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

二.证明

1.直接证明

⑴综合法

一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成

立，这种证明方法叫做综合法。综合法又叫顺推法或由因导果法。

⑵分析法

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显

成立的条件（已知条件、定义、定理、公理等），这种证明的方法叫分析法。分析法又叫逆推证法或执果索因法.

2.间接证明---反证法

一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立，这种

证明方法叫反证法。

选修4-4数学知识点

一、选考内容《坐标系与参数方程》高考考试大纲要求：

1.坐标系：

①理解坐标系的作用.

②了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

③能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行

极坐标和直角坐标的互化.

④能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.通过比较这些图形在

极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示平面图形时选择适当坐标系的意义.

2.参数方程：①了解参数方程，了解参数的意义.

②能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.

二'知识归纳总结：

1.伸缩变换：设点P（x,y）是平面直角坐标系中的任意一点，在变换°:J：='r'C＞（）），的作用下，点P（x,y）

,y=〃・y,（〃＞。）.

对应到点P'（x',y'）,称9为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点。，叫做极点；自极点。引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单

位、一个角度单位（通常取弧度）及其正方向（通常取逆时针方向），这样就建立了一个极坐标系.

3.点M的极坐标：设M是平面内一点，极点。与点M的距离10Ml叫做点朋的极径，记为°；以极轴Ox

为始边，射线0M为终边的“M叫做点M的极角，记为6。有序数对（0,6）叫做点M的极坐标，记为

⑼.

极坐标（0,。）与（pf+2k哈*eZ）表示同一个点。极点。的坐标为（0,6）（。eR）.

4.若夕＜o,则—0＞o,规定点(―Q,e)与点(夕,0)关于极点对称,即(-p,0)与(夕,%+0)表示同一点。

如果规定p＞O,O＜0＜27r,那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标3。)表示；同时，极坐标

表示的点也是唯一确定的。

5.极坐标与直角坐标的互化：p-=x2+y2,x=pcosO,

y

y=psinO,tan6=—