高中数学讲义微专题42 利用函数性质与图像比较大小

微专题42利用函数性质与图像比较大小

一、基础知识:

(-)利用函数单调性比较大小

1、函数单调性的作用：/(x)在可单调递增，则

Vx1?x2e[a,b],Xl<x2<=>/(x,)</(当卜在单调区间内，单调性是自变量大小关系与函数

值大小关系的桥梁)

2、导数运算法则：

⑴(/(x)g(x))=/(x)g(x)+/(x)g(x)

⑵J(x))J(x)g(2--(x)g'(x)

3、常见描述单调性的形式

(1)导数形式：/(x)>On/(x)单调递增；/(x)<On/(x)单调递减

(2)定义形式："*)/(占)〉0或表示函数值的差与

对应自变量的差同号，则说明函数单调递增，若异号则说明函数单调递减

4、技巧与方法：

(1)此类问题往往条件比较零散，不易寻找入手点。所以处理这类问题要将条件与结论结合

着分析。在草稿纸上列出条件能够提供什么，也列出要得出结论需要什么。两者对接通常可

以确定入手点

(2)在构造函数时要根据条件的特点进行猜想，例如出现轮流求导便猜有可能是具备乘除关

系的函数。在构造时多进行试验与项的调整

(3)在比较大小时，通常可利用函数性质(对称性，周期性)将自变量放入至同一单调区间

中进行比较

(-)数形结合比较大小

1、对称性与单调性：若已知单调性与对称性，则可通过作出草图观察得到诸如“距轴越近，

函数值越……”的结论，从而只需比较自变量与坐标轴的距离，即可得到函数值的大小关系

（1）若/（%）关于％=4轴对称，且（4,+00）单调

增，则图像可能以下三种情况,可发现一个共同点:

自变量距离轴越近，其函数值越小

（2）若“X）关于X=4轴对称，且（4,48）单调

减，则图像可能以下三种情况，可发现一个共同点:

自变量距离轴越近，其函数值越大

2、函数的交点：如果所比较的自变量是一些方程的解，则可将方程的根视为两个函数的交点。

抓住共同的函数作为突破口，将其余函数的图像作在同一坐标系下，观察交点的位置即可判

断出自变量的大小

三、例题精析：

2-Y

例1：对于R上可导的任意函数/（x）,若满足了画《0,则必有（）

A./（1）+/（3）＜2/（2）B./（1）+/（3）＜2/（2）

C-〃1）+〃3）＞2〃2）D./（1）+/（3）＞2/（2）

2一无

思路：由可按各项符号判断出（2—x）与/（X）异号，即x＜2时，

/（x）

/（x）＜0,x＞2时,/（x）＞0.•./（X）在（—8,2）单调递减，在（2,+8）上单调递增

.••/（》需=〃2）,进而〃1）＞/（2）,〃3）＞〃2）.•・/（1）+./•⑶＞2〃2）

答案：C

小炼有话说：相乘因式与零比较大小时，可分别判断每一个因式的符号，再判断整个式子的

符号。这样做可以简化表达式的运算。

例2：已知定义域为R的奇函数/(x)的导函数为/'(x),当XHO时，/(x)+/(D>0,

若〃=/=-2"—2)，c=ln2/(ln2),则下列关于a,b,c的大小关系正确的是()

A.h>a>cB.a>c>bC.c>b>aD.h>c>a

思路：观察所给不等式，左侧呈现轮流求导的特点，所比较大小的的结构均为4(x)的

形式，故与不等式找到联系。当x>0时，f(x)+>0=>xf(x)+/(x)>0,即

3(x))>0,令g(x)=M\x)，由此可得g(x)在(0,+8)上单调递增。/(X)为奇函数，

可判定出g(x)为偶函数，关于y轴对称。a==g(-2),c=g(ln2),作图观察距

离y轴近的函数值小，In2与上可作差比较大小：in2-L='(21n2-l)=Lln3>0

2222e

进而可得：h>c>a

答案：D

例3：函数在定义域R内可导，若/(%)=/(2—％),且当8,1)时，

(x-l)/(x)<0,设4=/(0)1=/(g),c=/(3),则仇C的大小关系是()

A.a>b>cB.h>a>cC.b>c>aD.c>a>b

思路：由/(%)=/(2—x)可判断出/(x)关于x=1轴对称，

再由(x—l)f(x)<0,可得x<l时，f(x)>0,所以/(x)

在(一8,1)单调递增，由轴对称的特点可知：/(X)在(1,+°°)

单调递减。作出草图可得：距离X=1越近的点，函数值越大。

所以只需比较自变量距离x=l的远近即可判断出。>a>c

答案：B

例4：已知“X)是周期为2的偶函数，且在区间［0,1］上是增函数，则/(—5.5)J(—1),/(0)

的大小关系是()

A./(-5.5)</(0)</(-1)B./(-1)<./,(-5.5)</(0)

C./(0)</(-5.5)</(-l)D./(-l)</(0)</(-5.5)

思路：/(x)的周期为2,所以可利用周期性将自变量放置同一个

周期内：/(—5.5)=/(0.5),而由/(x)偶函数及［0』单调递增，

作图可知在区间［-1,1］中，距离y轴近的函数值小，所以有

/(0)</(0.5)=/(-5.5)</(-1)

答案：C

小炼有话说：周期性的一大应用就是可在已知区间中找到与所给自变量相同函数值的点。从

而代替原来的自变量。

例5：己知函数/'(x+1)为偶函数，当xe(l,+oo)时，函数/(x)=sinx—x,

b=/（3）,c=/（0）,则的大小关系为（）

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.b<a<c

思路：本题依然是利用对称性与单调性比较函数值大小，先分析了(x)的性质，由/(x+1)为

偶函数可得：/(—x+l)=/(x+l),从而/(X)关于X=1轴对称，

当XG(1,4-00)，可计算/(x)=cosx—1W0,所以)(x)在(L+00)

单调递减，结合对称性可得距离对称轴X=1越近，函数值越大，所

以〃3)</卜£|</(0)

答案：D

小炼有话说：本题的关键在于确定入手点是用函数的对称性单调性比较大小，从而对

/(x)=sinx—x的处理才会想到选出单调性而不是将自变量代入解析式。所以说题目中有的

条件可以有多种用途，要根据所求及其他条件来选择一个比较正确的方向。

例6：已知函数/(x)是定义在R上的偶函数，且在区间(0,+o。)上是增函数，令

a=/(sin.,b=/fcos-^-,c=/(tan^^

，则凡加c大小关系为—

思路：由/(X)为偶函数且在(0,48)单调递增可得距离y轴越近，函数值越小。所以需比较

cos斗人生|2万5/r\I2乃2万

a,b,c自变量与y轴距离：二cos——,tan——=tan——二tan——，则需比

7||7I77|I77

2427r27r27r242乃24

较sin——,cos——,tan——的大小，因为——>-,所以tan——>1>sin——>cos——,所以

77774777

c>a>h

答案：c>a>h

小炼有话说：本题实质上是一道三角函数大小关系和函数性质比较大小的综合题，只需分解

成这两步分别处理即可。在比较三角函数时，本题有这样两个亮点：一是“求同存异”发现

涉及的角存在互补关系，进而利用诱导公式和绝对值运算将角统一，以便于比较；二是利用

jr

好“桥梁”，比较的关键之处在与一这个角的选择，这个角是两条分界线，一条是正切值与1

4

2乃

大小的分界线，而正余弦不大于1,所以一的正切值最大：另一条是正余弦大小的分界线，

7

7171

a卜寸，sinaccosa；而aw“5时，sin。>cos。。

例7：已知函数y=Iog(x+1),且a>b>c>0,则，Z，的大小关系是

2abc

()

/(叽/(叭/(c)R/(，)>/(叭/⑷

A.D.-------->--------->--------

abba

n."叽/(c)J的

C.U.-------->-------->--------

bab

f(x\logjx+l)

思路：本题具备同构特点y=±3=———人,但导数

xx

71-------log,(X+1)

(x+l)ln2'V7/、/

y=-^——』----；------------难于分析/(x)单调性，故无法

X-

f(a\f(b)f(c]/、

比较的大小。换一个角度，可发现了(X)的图像可作，且具备几何

abcx

含义,,即(x,/(x))与原点连线的斜率。所以作出/(X)的图像，可观

x-x-Q

察到图像上的点横坐标越大，与原点连线的斜率越小，所以由a>b>c>0可得：

/(c)、/㈤、/(«)

-----〉------〉------

cba

答案：B

例8：已知函数/(x)在E上可导，其导函数为/(X),若/(x)满足：

(%-1)[/'(%)-/(%)]>0,/(2-x)=/(x)e2-2",则下列判断一定正确的是()

A./(1)</(0)B./(2)>ef(0)C.〃3)>/〃0)D./(4)<e7(0)

思路：联系选项分析条件(x)—/(x)]>0：当x>l时，/'(x)-/(x)>0,

e/(无J；：/(X)〉0即«!)〉()令尸(9=芈立.•.F(x)在(l,+oo)单调递增，而

选项中/(1),〃0)均不在单增区间中，考虑利用〃2—月=〃%)022进行转换。首先要读

懂7(2—x)=/(x)e2-2x说的是〃2—力与“X)的关系，而2—X与X刚好在x=1的两侧,

所以达到一个将x=1左侧的点转到右侧的作用。在/(2—力=/(x)e2-2v中令x=2可得：

/(0)=/(2)"2=/承，可代入B,C选项进行比较，C正确。而A,D两个选项也可以代入

e~

进行验证。

答案：C

小炼有话说：由于卜*)=",所以在求导时此项不发生变化，有可能在化简时隐藏起来。所

以对于形如/(x)-/'(x)>0,/(%)+/(X)>0等轮流求导的式子可猜想隐含e'项，进而结

合选项进行变形

例9：定义在(o，m上的函数“X),/'(X)为它的导函数，且恒有/(%)</(%)311%成立,

则()

A.何仔)>何闺B./(l)<2/^sinl

C研伊，图

思路：尽管发现/（x）</'（x>tanx存在轮流求导很难直接发现乘除关系。看选项不难发现

规律:

川）<2尼卜n』喏等，不等号两侧均为y=23的形式,

其导函数为

siisinx

6

f(x)sinx-cosxf{x}

于是考虑构造条件中的不等式：

(sinx)2

小）</3—小）〈舞八x）/.sin/(^)-008%/(^)>0

/Q)sinx-cosV(x))°即1](明>0,y=4CD在（0,工]上单调递增，根据单调性

2

(sinx)1sinxjsinxI2）

即可判断四个选项是否正确

答案：D

例10:设%,%2，%3均为实数，且(g)=l°g2(X|+l)，(g)=lOg3X2,^|=lOg2X3,则

%,12，七的大小关系为（）

A.x,<x3<x2B.x3<x2<X]C.x3<x,<x2D.x2<x,<x3

思路：本题单从指对数方面，不便于比较西,马,当大小。进一

步可发现Xi，/，/均可视为两个函数的交点，且每一个等式的

左侧为同一个函数y=|-,而右侧也都可作图，所以考虑

在同一个坐标系下作图，并观察交点的位置，进而判断出西,々,*3的大小

答案：A

三、历年好题精选

1、(2016,内江四模)设函数/(x)在R上存在导数/'(X),在(0,+8)上/'(x)<sin2x,

且VxeR,W/(-x)+/(x)=2sin2x,则以下大小关系一定正确的是()

B./周<〃乃)

D.</(一万)

2、(2015,福建)若定义在H上的函数/(x)满足/(O)=—1,其导函数/(x)满足

f(x)>Z>l,则下列结论中一定错误的是()

3、(2015,陕西文)

设/(x)=lnx,0<a<Z?.若p==区=+/(/?)],则下列关

系式中正确的是()

A.q=r<pB.q=r>pC.p=r<qD.p=r>q

4、(2015,天津)已知定义在尺上的函数/(尤)=/叫一l(weR)为偶函数，记

a=/(^053),/?=/(log25),c=/(2m),则a,。,c的大小关系为()

A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<hD.c<b<a

5、(2014,山东)己知实数满足优</(O<a<l),则下列关系式恒成立的是()

A，”>了\B.ln(x2+l)>ln(y2+l)

C.sinx>sinyD.x3>y3

6^已知/(x)=log“>1)的导函数是/(x),记A=/=f(a+1)—

,C=f(a+1),则()

A.A>B>CB.A>C>BC.B>A>CD.C>B>A

7、定义在R上的可导函数/(x),当X€(l,+8)时，+f(x)<"(x)恒成立,

a=〃2)为="⑶,c=(五+1”⑷,则a,0,c的大小关系为()

A.c<a<bB.b<c<aC.a<c<bD.c<b<a

8、(2014陕西省五校联考

10)已知/(x)为R上的可导函数，且VxeR,均有/(x)>/'(x),则有()

A.?017(-2013)</(O),/(2O13)>e2017(0)

B.e2O13/(-2O13)</(O),/(2O13)<e2OI3/(O)

C./3/(—2013)>/(O),/(2O13)>e2,>13/(0)

D.e2OI3/(-2O13)>/(O),/(2O13)<e2013/(0)

习题答案：

1、答案：C

解析：由./1'(%)<sin2x可得：/'(x)-sin2x<0=>［/(x)+gcos2x<0

设g(x)=〃x)+；cos2x,则g(x)在(0,+oo)单调递减

r.g(x)+g(—x)=/(x)+f(—x)+cos2JC=2sin2x+cos2x=1

g(x)=l-g(-x),可得g(x)关于中心对称

g(x)在R上单调递减且/(x)=g(x)-；cos2尤

分别比较四个选项，可知在C选项中：

_.(4(5TT］5K.4K.

再由g［一_-l>__：J可知/(一~—)</(——)

2、答案：C

解析：构造函数g(x)=/(x)-Ax,WJg(x)=/(x)-A:>0>即g(x)在H上为增函数,

因为人>1,所以」一>0,g［」一)>g(O)=/(」一］一——>-1,所以可得:

k-1\k-l)Jk-\

/I」一]〉」一，c错误。其它选项则无法判断对错

U-k-\

3,答案：C

解析：p=f{4ab^^\nyjab,q=f^-^^-\n^-^-,r--^\na+^\nb=lny[ab,所以

p=r,由Z?>a>0可得<“*,,从而p=r<q

4、答案：C

解析：通过数形结合可知/(6=2卜时—1为偶函数时加=0,即/(%)=2国一1,作图可知

距离y轴越近的点，其函数值越小。考虑0<|log