选修4-4-第二讲-参数方程直线的参数方程

第二讲参数方程直线参数方程第1页两点式:点斜式:普通式:直线普通方程都有哪些?第2页M0(x0，y0)M(x,y)解：在直线上任取一点M(x，y)，则xOy所以，直线参数方程为：已知一条直线经过点M(x0,y0)，倾斜角α，求这条直线参数方程第3页实际上第4页所以，直线参数方程中参数t绝对值等于直线上动点M到定点M0距离.|t|=|M0M|M0MxOy由直线参数方程中参数t有什么几何意义？当0<α<π时，sinα>0，直线单位方向向量总是向上，所以有结论：①t>0：则方向向上，即M0在M上方；②t<0：则方向向下，即M0在M下方；③t=0：则点M与点M0重合．第5页直线参数方程也能够表示为：（t为参数）t有否上述几何性质？这里直线l倾斜角α正切时例外）当且仅当且b>0时.其中t才含有上述几何意义。第6页M(-1，2)ABxyO例1.已知直线l:x+y-1=0与抛物线y=x2交于A,B两点,求线段AB长度和点M(-1,2)到A,B两点距离之积．方法一：用普通方程去解方法二：用参数方程去解；点M是否在直线上直线参数方程为：代入抛物线得：由参数几何意义得：第7页寻找规律：直线（t为参数）与曲线y=f(x)交于M1,M2两点，对应参数分别为t1,t2．（1）曲线弦M1M2长是多少？（2）线段M1M2中点M对应参数t值是多少？第8页B练习：若直线参数方程为（t为参数）|AB|为多少？第9页B第10页456第11页例2、经过点M(2,1)作直线l，交椭圆于A,B两点.假如点M恰好为线段AB中点,求直线l方程.解：设过点M(2,1)直线l参数方程为:（t为参数），代入椭圆方程，整理得因为点M在椭圆内，这个方程必有两个实根，设A,B两点对应参数分别为t1,t2，．点M为线段AB中点，所以于是直线l斜率所以，直线方程是:第12页ylXCB450250250PO解：以O为原点,OP为x轴建立坐标系,则P(300,0),圆方程为当台风中心在圆O上或内部时台风将影响该岛．

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解得∴大约2小时以后，将受台风影响，并连续6.5小时.设台风中心所在射线l参数方程为由此可有例3当前台风中心P在某海滨城市O向东300km处生成，并以40km/h速度向西偏北45度方向移动.已知距台风中心250km以内地方都属于台风侵袭范围，那么经过多长时间后该城市开始受到台风侵袭?OyxP··第13页假如台风侵袭半径也发生改变(比如：当前半径为250km，并以10km/h速度不停增大)，那么问题又该怎样处理？圆O方程可改为x2+y2=(250+10t)2由此可有第14页OCADB21xyP例4如图，AB,CD是中心为点O椭圆两条相交弦，交点为P，两弦AB,CD与椭圆长轴夹角分别为∠1，∠2，且∠1=∠2，求证：|PA|·|PB|=|PC|·|PD||PA|·|PB|=|PC|·|PD|第15页|t|=|M0M|小结1.直线参数方程利用直线参数方程中参数t几何意义，简化求直线上两点间距离.3.注意向量工具使用.直线参数方程形式是不是唯一。当且仅当且b>0时.其中t才含有上述几何意义。第16页例1已知过点P(2,0)，斜率为4/3直线和抛物线y2=2x相交于A,B两点，设线段AB中点为M，求点M坐标．例题选：一、求直线上点坐标解：设过点P(2,0)直线AB倾斜角为α,由已知可得：所以，直线参数方程为(t为参数)代入y2=2x，整理得中点M对应参数是所以点M坐标是第17页例2求点A（−1，−2）关于直线l：2x−3y+1=0对称点A'坐标。解：由条件，设直线AA'参数方程为:∵A到直线l距离d=，∴t=AA'=代入直线参数方程得A'(−33/13，4/13)第18页二、求解中点问题例1已知双曲线，过点P（2，1）直线交双曲线于P1,P2，求线段P1P2中点M轨迹方程。解：设M(x0，y0)为轨迹上任一点，则直线P1P2方程是代入双曲线方程得：(2cos2θ−sin2θ)t2+2(2x0cosθ−y0sinθ)t+(2x02−y02−2)=0由题意t1+t2=0，即2x0cosθ−y0sinθ=0，得2x2−y2−4x+y=0为所求轨迹方程第19页第20页三、求定点到动点距离例1直线l过点P(1，2)，其参数方程为直线l与直线2x+y−2=0交于点Q，求PQ。

解：将l参数方程化为“标准形式”代入2x+y−2=0得t'=∴PQ=|t'|=第21页。例2经过点P(−1，2)，倾斜角为π/4直线l与圆x2+y2=9相交于A，B两点，求PA+PB和PA·PB值PA·PB=|t1·t2|=4

解：直线l方程可写成代入圆方程整理得：t2+t−4=0设点A，B对应参数分别是t1，t2，由t1与t2符号相反则t1+t2=t1·t2=−4，所以PA+PB=|t1|+|t2|=|t1−t2|=第22页例1求经过点（1，1）。倾斜角为1350直线截椭圆所得弦长解：由条件可知直线参数方程是：代入椭圆方程:(t为参数)设方程两实根分别为则直线截椭圆弦长是:四、求直线与曲线相交弦长第23页例2已知抛物线y2=2px，过焦点F作倾斜角为θ直线交抛物线于A，B两点，求证：AB=设AB方程为，代入抛物线方程得t2sin2θ−2ptcosθ−p2=0，由韦达定理：AB=|t1−t2|=……第24页例3已知椭圆中心在原点。焦点在y轴上且长轴长为4，短轴长为2。直线l参数方程为当m为何值时,直线l被椭圆截得弦长为(t为参数)第25页例4已知椭圆中心在原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F且倾斜角为60°直线交椭圆于A，B两点，若FA=2FB，求则椭圆离心率FA=2FB转化成直线参数方程中t1=−2t2或|t1|=2|t2|解：设椭圆方程为直线AB方程为代入椭圆得(b2+a2)t2−b2ct−b4=0，因为t1=−2t2,则①2×2+②得：将b2=a2−c2代入8c2=3a2